数学人教B版选修2-2课堂探究：1.3.2利用导数研究函数的极值 WORD版含解析.DOC

1、课堂探究探究一 利用导数求函数的极值求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，不是极值另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值【典型例题1】 求下列函数的极值：(1)f(x)13xx3；(2)f(x)；(3)f(x)x2ex.思路分析：按照求极值的方法，首先从方程f(x)0入手，求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点，然后按极值的定义判断并求值解：(1)函数定义域为R，且f(x)33x2，令f(x)0得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1

2、)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)13所以f(x)在x1处取极小值1，在x1处取极大值3.(2)函数定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x，且当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)在x处取得极大值f()，无极小值(3)函数f(x)的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)x(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2从表中可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0；当x2时，函数有极大值，且f(2)4e2.探究二 利用导数求函数的最值1如果在区间a，

3、b上函数yf(x)的图象是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值和最小值2如果函数yf(x)在区间(a，b)内可导，求f(x)在区间a，b上的最值可简化过程，即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值3求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论4求函数在开区间上的最值时，要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况，从而画出函数的大致图象，结合图象求出最值【典型例题2】 求下列函数的最值：(1)f(x)x32x21，x1,2；(2)f(x)sin 2xx，x；(

4、3)f(x)x.思路分析：按照求函数最值的步骤求解，其中(3)要注意结合函数图象解：(1)f(x)3x24x，令f(x)0，有3x24x0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)211从上表可知，最大值是f(0)f(2)1，最小值是f(1)2.(2)f(x)2cos 2x1，x，令f(x)0得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)由上表可知：当x时f(x)取得最大值f，当x时f(x)取得最小值f.(3)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，得x21ln x，显然x1是方程的解令

5、g(x)x2ln x1，x(0，)，则g(x)2x0，函数g(x)在(0，)上单调递增，x1是方程f(x)0的唯一解当0x1时，f(x)10，当x1时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，当x1时，函数f(x)有最大值，且最大值是f(1)1，函数无最小值点评 本例(3)中，为了说明x1是方程f(x)0的唯一根又构造了函数g(x)，通过求导分析其单调性从而说明根的唯一性，这种方法在导数应用中经常使用探究三 根据函数的极值与最值求参数值1已知函数的极值或最值求参数值时，主要根据极值点处的导数值为0和已知的极值，列出方程(组)，利用待定系数法求解；同时应注意：导数值

6、等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f(x0)0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f(x)0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解3有些含参数的问题，需要对参数进行分类讨论求解【典型例题3】 (1)若函数f(x)ax3bx4在x1处取得极值，且极值为0，求实数a，b的值(2)已知函数f(x)ax36ax2b(a0)，问是否存在实数a，b使f(x)在区间1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由思路分析：(1)可利用f(1)0，f(1)0求解；(2)利用求

7、最值的方法建立关于a，b的方程组确定a，b的值，注意对a的讨论解：(1)由于f(x)ax3bx4，所以f(x)3ax2b.依题意可得f(1)0且f(1)0.即解得(2)存在f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，解得x10，x24(舍去)当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x1,000,2f(x)0f(x)极大值所以当x0时，f(x)取得最大值所以b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)，所以当x2时，f(x)取得最小值，所以16a329，即a2.当a0，x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x1,000,2f(x)0f(x)极小值所以

8、当x0时，f(x)取得最小值所以b29.又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1)，所以当x2时，f(x)取得最大值，所以16a293，即a2.综上所述，a2，b3或a2，b29.探究四 易错辨析易错点：忽视极值存在的条件而出错【典型例题4】 已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求常数a，b的值错解：因为f(x)在x1处有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或综上所述，a1，b3或a2，b9.错因分析：根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，错解中未验证x1两侧函数的单调性，故求错正解：因为f(x)在x1处有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.