数学人教B版选修4-5课后导练：2.3　平均值不等式（选学） WORD版含解析.doc

1、课后导练基础达标1.设x,yR+,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是()A.（-,lg6B.（-,2lg3C.lg6,+）D.3lg2,+）解析:lgx+lgy=lg(xy)lg()2=2lg3.答案:B2.（2005高考福建卷）下列结论正确的是()A.当x0且x1时,lgx+2B.当x0时,+2C.当x2时,x+的最小值为2D.当00,+2=2,当且仅当=,即x=1时,等号成立.答案:B3.在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值是()A.(-1)2B.2(+1)2C.3(-1)2D.4(+1)2解析:a+b+=ab2+且a=b时取等号,ab24+16.S=ab4(

2、+1)2.答案:D4.如果存在实数x,使cos=+成立,那么实数x的集合是()A.-1,1B.x|x0,或x=-1D.x|x-1,或x1解析:由|cos|1,所以|+|1.又+|=|+|2=1.所以+1.当且仅当|x|=1时成立,即x=1时取等号.答案:A5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处.解析:设仓库建在离车站d千米处,由已知y1=2=,得k1=20,y1=.y2=8=k210,得k2=,

3、y2=d.y1+y2=+2=8.当且仅当=,即d=5时,费用之和最小.答案:56.求f(x)=3+lgx+的最大值(0x1).解:0x1,lgx0, 0,-0.(-lgx)+(-)2=4,即(-lgx)+(-)4,lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时,取等号.则有f(x)=3+lgx+(0x0,y0,且,求4x+y的最小值.解:x0,y0,4x+y=()(4x+y)=+1312+13=25.当且仅当=,又=1,即x=,y=15时,上式等号成立.故当x=,y=15时,(4x+y)min=25.8.求证:a2+b2ab+a+b-1.证明:a2+b22ab,a

4、2+12a,b2+12b.相加得a2+b2+a2+1+b2+12ab+2a+2b2(a2+b2)2ab+2a+2b-2a2+b2ab+a+b-1.(当且仅当a=b=1时取等号)综合运用9.已知a,b,cR+且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)8.证明:a+b+c=1,-1=.又a,b,c0,0.-10.同理, -10, -10.故(-1)(-1)(-1)=8,即(-1)(-1)(-1)8(当且仅当a=b=c时取等号).10.已知a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2.证明:,则()2.又1=a+b2ab,ab.(a+)2+(b+)22()2=.(a+)2+(b+)2.11.若x,

5、y是正数,则(x+)2+(y+)2的最小值为多少?解:由题意(x+)2+(y+)22(x+)(y+)=2(xy+1)2(2+1)=4.“=”成立的条件是即x=y=时,则最小值为4.12.函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0);(2)求f(x);(3)不等式f(x)ax-5当0xax-5化为x2+x-2ax-5,axx2+x+3,x(0,2),a=1+x+.当x（0,2）时,1+x+1+2,当且仅当x=,x=时取等号,由(0,2)得(1+x+)min=1+2,a1+2.拓展探究13.某种生产设备购买时费用为10万元,每年的设备管理费共计9千元,这种生产设备的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种生产设备,最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?解:设使用x年的年均费用为y万元,由已知,即y=1+(xN*),y1+2=3.(当且仅当=,即x=10时等号成立)故使用10年报废最合算,年平均费用为3万元.