2022版新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 1.docx

1、椭圆的简单几何性质1.椭圆x24+y23=1 的离心率为( )A.72 B.12 C.32 D.14答案：B2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的两个顶点在直线x+43y=4 上，则该椭圆的焦点坐标是( )A.(5,0) B.(0,5) C.(7,0) D.(0,7)答案：C3.（2021吉林第一中学高二期中）设P(x,y) 是椭圆x2+4y2=4 上的一个动点，定点M(1,0) ，则|PM|2 的最大值是( )A.23 B.1C.3D.9答案：D4.（2021天津耀华中学高二段考）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0) ，离心率等于12 ，则C 的方程是( )A.x23+y

2、24=1 B.x24+y23=1C.x24+y22=1 D.x24+y23=1答案：D5.（2021辽宁大连高二期中）人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1 ，r2 ，则卫星轨道的离心率等于( )A.r2-r12R+r1+r2 B.r2+r12R+r1+r2 C.r2-r12R+2r1 D.r2-r12R+2r2答案：A6.（多选题）（2021湖南怀化高二联考）若椭圆C:x2m+y2m2-1=1 的一个焦点坐标为(0，1) ，则下列结论中正确的是( )A.m=2 B.C 的长轴长为3C.C 的短轴长为22 D.C 的离心率为33

3、答案：A ; C ; D7.已知F1 ，F2 是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的两个焦点，若点P 为椭圆上一点，且F1PF2=60 ，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.22,1 ）B.(0,22) C.12,1 ）D.12,22 ）答案：C8.已知A 为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 上一点，它关于原点对称的点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过点F ，当ABF=6 时，该椭圆的离心率是 .答案：3-1素养提升练9.（多选题）（2021湖南三校高二期中）已知椭圆C：x24+y28=14x2+8y2=1 内一点M(1,2) ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两

4、点，且M 为线段AB的中点，则下列结论正确的有( )A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0)B.椭圆C 的长轴长为22C.直线l 的方程为x+y-3=0D.|AB|=433答案：C ; D解析：由椭圆方程x24+y28=1 可得焦点在y 轴上，且a=22 ，b=2 ，c=2 ， 椭圆的焦点坐标为(0，2) ，(0，-2) ，故A中结论错误；椭圆C 的长轴长为2a=42 ，故B中结论错误；易知直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x124+y128=1,x224+y228=1, 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)8=

5、0 ，2(x1-x2)4+4(y1-y2)8=0 ，解得k=y1-y2x1-x2=-1 ，则直线l 的方程为y-2=-(x-1) ，即x+y-3=0 ，故C中结论正确；联立直线与椭圆的方程得x+y-3=0,x24+y28=1, 整理得3x2-6x+1=0 ，x1+x2=2 ，x1x2=13 ，|AB|=1+(-1)222-413=433 ，故D中结论正确.10.（2021北京平谷五中高二期中）已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为x24a+y2a2-1=1 ，随着a 的增大，该椭圆的形状( )A.越扁B.越接近于圆C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆答案：B解析：依题意有4a0, a2-10,4

6、aa2-1, 解得1a5+2 ，椭圆的离心率e=4a-a2+14a=124+1a-a ，令f(a)=1a-a(1a5+2) ，容易判断f(a) 在(1,5+2) 上单调递减，则f(a)(-4,0) ，于是e(0,1) ，当a 越来越大时，e 越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.11.（2021福建厦门外国语学校高二期中）椭圆E 与椭圆x29+y28=1 有共同的焦点，且经过点A(1,-32) .（1）求椭圆E 的标准方程和离心率；（2）设F 为E 的左焦点，M 为椭圆E 上任意一点，求OMFM 的最大值.答案：（1）由x29+y28=1 可得c=1 ，设椭圆E 的标准方程为x2a2+y2b2=

7、1(ab0) ，因为椭圆E 经过点A(1,-32) ，所以a2=1+b2,1a2+94b2=1, 解得a2=4,b2=3,所以椭圆E 的标准方程为x24+y23=1 ，e=ca=12 .（2）由（1）可知椭圆E:x24+y23=1 ，所以F(-1,0) ，设M(x,y) ，则OM=(x,y) ，FM=(x+1,y)所以OMFM=x2+x+y2=x2+x+3(1-x24)=14(x+2)2+2 ，因为-2x2 ，所以当x=2 时，OMFM 取得最大值，为14(2+2)2+2=6 ，即OMFM 的最大值为6.创新拓展练12.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的左、

8、右焦点分别为F1、F2 ，P 为椭圆C 上一点，且PF2x 轴，连接PF1 并延长交椭圆于另一点Q ，设PQ=PF1 .（1）若点P 的坐标为(1,32) ，求椭圆C 的方程；（2）若4332 ，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.命题分析 本题考查了椭圆方程及性质等知识，考查了转化思想、运算求解能力.答题要领 （1）根据已知条件，建立方程组求解；（2）设P ，Q 的坐标，由PF2x 轴，且P 在椭圆上，得点P 的坐标，根据PQ=PF1 ，求出点Q 的坐标，代入椭圆方程，结合 的取值范围求离心率的取值范围.详细解析（1）PF2x 轴，且点P 的坐标为(1,32) ，a2-b2=c2=1 ，1a2

9、+94b2=1 ，解得a2=4 ，b2=3 ， 椭圆C 的方程为x24+y23=1 .（2）PF2x 轴， 不妨设P 在x 轴的上方，则P(c,y0) ，y00 .设Q(x1,y1) ，P 在椭圆上，c2a2+y02b2=1 ，解得y0=b2a ，即P(c,b2a) .F1(-c,0), 由PQ=PF1 得x1-c=(-2c) ，y1-b2a=-b2a ，解得x1=(1-2)c ，y1=(1-)b2a ，Q(1-2)c,(1-)b2a) ， 点Q 在椭圆上，(1-2)2e2+(1-)2b2a2=1 ，即(1-2)2e2+(1-)2(1-e2)=1 ，(3-2)e2=2- ，从而e2=2-3-2=-13+433-2 ，4332 ，15e213 ，解得55e33 ， 椭圆C 的离心率的取值范围是55,33 .解题感悟 解决圆锥曲线的问题时，“在上必代入”，即已知某点在椭圆上，要考虑将该点的坐标代入，这样能使待求的问题转化为已知或熟悉的问题.