2022版新教材高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 加练课6 直线与抛物线的位置关系基础训练（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、加练课6 直线与抛物线的位置关系1.（2020湖北鄂西北五校高二期中）已知抛物线x2=4y 内一点P(1,1) ，过点P 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点P 为弦AB 的中点，则直线l 的方程为( )A.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0C.2x-y+1=0 D.x+y-2=0答案：B2.F 为抛物线y2=4x 的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为M(x0,y0) ，若x0=32 ，则( )A.y0=13 B.y0=12C.y0=1 D.y0=32答案：C3.设抛物线C:y2=4x 的焦点为F ，倾斜角为钝角的直线l 过点F 且与曲线C 交于A ，B

2、两点，若|AB|=163 ，则l 的斜率为( )A.33 B.-33C.3 D.-3答案：D4.设抛物线y2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.-12,12 B.-2,2 C.-1,1 D.-4,4答案：C5.设抛物线y2=2px(p0) 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E,O 为坐标原点，且|OE|=13 ，则p= ( )A.2B.3C.6D.12答案：A6.（2021重庆云阳江口中学高二月考）直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点F 且与抛物线交于AB 两点，过A

3、、B 两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则PQF 的面积的最小值是( )A.23 B.4C.42 D.6答案：B7.已知直线y=2x-3 与抛物线y2=4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为k1 ，k2 ，则1k1+1k2= .答案：128.（2021江苏连云港海头高级中学高二第二次月考）抛物线x=14y2 的准线方程为 ；已知过点(1,0) 的直线交抛物线于A(x1,y1) 、B(x2,y2) 两点，则y1y2= .答案：x =-1; -4素养提升练9.（多选题）已知抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛

4、物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则( )A.C 的准线方程为y=1B.线段PQ 长度的最小值为4C.M 的坐标可能为(5,2)D.OPOQ=-3答案：B; D解析：因为焦点F 到准线的距离为2，所以p=2 ，所以抛物线C 的焦点为F(1,0) ，准线方程为x=-1 ，故A错误；当PQ 垂直于x 轴时，长度最小，此时P(1,2) ，Q(1,-2) ，所以|PQ|=4 ，故B正确；设P(x1,y1) ，Q(x2,y2) ，直线PQ 的方程为x=my+1 ，联立x=my+1 ，y2=4x ，消去y 可得x2-(4m2+2)x+1=0 ，消去x 可得y2-4my-4=0

5、 ，所以x1+x2=4m2+2 ，y1+y2=4m ，当m=1 时，点M 的坐标为(3,2)，故C错误；又x1x2=1 ，y1y2=-4 ，所以OPOQ=x1x2+y1y2=-3 ，故D正确.10.（2021黑龙江高二学业水平考试）已知抛物线y2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且|FA|FB|=8 ，则|AB|= ( )A.6B.7C.8D.9答案：C解析：由y2=4x 得p=2 ，所以F(1,0) ，准线方程为x=-1 ，设直线AB:x=ty+1 ，联立得x=ty+1,y2=4x, 消去x 后整理得y2-4ty-4=0 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2)

6、，则y1+y2=4t ，y1y2=-4 ，所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2 ，x1x2=y124y224=(y1y2)216=1 ，因为|AF|=x1+1 ，|BF|=x2+1 ，|FA|FB|=8 ，所以(x1+1)(x2+1)=8 ，所以x1x2+x1+x2+1=8 ，所以1+4t2+2+1=8 ，即t2=1 ，所以x1+x2=4+2=6 ，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=6+2=8 .11.（多选题）设抛物线y=ax2(a0) 的准线与对称轴交于点P ，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，则( )A.点P 的坐标为(0,

7、-14a) B.直线AB 的方程为y=-14aC.PAPB D.|AB|=12a答案：A; C解析：由y=ax2 得，x2=1ay ，则焦点为F(0,14a) ，准线方程为y=-14a ，P(0,-14a) ，A正确；设切线方程为y=kx-14a(k0) ，由y=ax2, y=kx-14a, 得ax2-kx+14a=0 ，令=k2-4a14a=0 ，解得k=1 . 切点A(12a,14a) ，B(-12a,14a) ，因此直线AB 的方程为y=14a ，B错误；又PA=(12a,12a) ，PB=(-12a,12a) ，PAPB=-14a2+14a2=0 ，PAPB ，即PAPB ，C正确；|

8、AB|=|12a-(-12a)|=1a ，D错误.12.已知曲线C 上每一点到点F(1,0) 的距离等于它到直线x=-1 的距离.（1）求曲线C 的方程；（2）是否存在正数a ，对于过点M(a,0) 且与曲线C 有两个交点A、B 的任一直线，都有OAOB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）由抛物线的定义可得p2=1 ，p=2 ， 曲线C 的方程是y2=4x .（2）存在.设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，当直线的斜率存在时，其方程可设为y=k(x-a) ，由y=k(x-a),y2=4x, 消去y 得k2x2-(2ak2+4)x+a2k2=0 ，则x1+x2=2a

9、k2+4k2 ，x1x2=a2 ，y1y2=-4a ，若OAOB ，则OAOB=x1x2+y1y2=a2-4a=0 ，解得a=0 或a=4 ，又a0 ，a=4 .当直线的斜率不存在时，由x=a, y2=4x, 同理可得a=4 .综上，a=4 .13.（2021山东济南高二期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px 的准线方程为x=-12 .（1）求p 的值；（2）直线l:y=x+t(t0) 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OAOB ，求线段AB 的长度.答案：（1）由已知得-p2=-12 ，所以p=1 .（2）由（1）知抛物线的方程为y2=2x ，联立y2=2x 与y=x+t

10、 得y2-2y+2t=0 ，所以=4-8t0 ，即t0 ，由根与系数的关系可得x1+x2=2(k2+2)k2 ，x1x2=1 .由抛物线的定义可得|AF|=x1+1 ，|CF|=x2+1设直线m 的倾斜角为 ，则k=tan ，所以sinAFC=|sin(-2)|=2|sincos|=2|sincos|sin2+cos2=2|tan|tan2+1=2|k|k2+1 ，所以SAFC=12|AF|CF|sinAFC=12(x1+1)(x2+1)2|k|k2+1=(x1x2+x1+x2+1)|k|k2+1=4(1+k2)k2|k|k2+1=4|k|=6 ，解得k=23 ，故直线m的方程为y=23(x-1) ，即2x3y-2=0 .解题感悟利用根与系数的关系解决直线与抛物线相交问题的基本步骤：（1）设出直线方程及交点坐标；（2）联立直线与抛物线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时需计算 ；（3）列出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2 、x1x2 的形式；（5）代入根与系数的关系求解.