2022版新教材高中数学 第二章 平面解析几何 6 双曲线及其方程 2 双曲线的几何性质训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、双曲线的几何性质基础达标练1.（2021山东临沂高二期中）双曲线y24-x2=1的渐近线方程是( )A.y=4x B.y=14xC.y=2x D.y=12x答案：C2.已知双曲线C:x24-y29=m(m0)，当m变化时，下列关于双曲线C的说法正确的是( )A.顶点坐标不变B.焦距不变C.离心率不变D.渐近线不变答案：D3.（2020山东济南期末）以椭圆x24+y23=1的焦点为顶点，左、右顶点为焦点的双曲线方程为( )A.y23-x2=1 B.x2-y23=1C.x24-y23=1 D.x23-y24=1答案：B4.若双曲线C1:y23-x2a=1与双曲线C2:x26-y29=1的渐近线相同

2、，则双曲线C1的离心率为( )A.102 B.153 C.52 D.33答案：B5.（多选）（2021广东深圳高级中学高二期中）已知双曲线的方程为x29-y27=1，则下列说法正确的是( )A.焦点为(2,0)B.渐近线方程为7x3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为144答案：B ; C6.已知以双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的实轴、虚轴为两条对角线的四边形的面积为16，且双曲线的两条渐近线将坐标平面四等分，则该双曲线的方程为( )A.x28-y28=1 B.x216-y216=1C.x24-y24=1 D.x28-y216=1答案：A7.（2020黑龙江大庆实验

3、中学高二月考）已知圆x2+y2=1与双曲线x24-y2b2=1(b0)的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为b，则b= .答案：2解析：易知双曲线x24-y2b2=1(b0)的渐近线方程为y=b2x，不妨设点B(x0,y0)位于第一象限，则y0=b2x0，根据圆与双曲线的对称性可得，四边形ABCD为矩形，且|AB|=2x0，|BC|=2y0=bx0，又四边形ABCD的面积为b，所以|AB|BC|=2bx02=b，解得x0=22，则B(22,2b4)，又点B(22,2b4)在圆x2+y2=1上，则12+2b216=1,解得b=2 .素养提升练8.设点F1，F2分别是双曲线

4、C:x2a2-y22=1(a0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点若ABF2的面积为26，则双曲线的渐近线方程为( )A.y=3x B.y=33xC.y=2x D.y=22x答案：D解析：设F1(-c,0)，A(-c,y0)，则c2a2-y022=1，y022=c2a2-1=c2-a2a2=b2a2=2a2，y02=4a2，|AB|=2|y0|=4a又SABF2=26，122c|AB|=122c4a=4ca=26，ca=62，ba=c2a2-1=22双曲线的渐近线方程为y=22x .故选D.9.（2021山东潍坊诸城一中高二期末）已知双曲线x2a2-y2b2=1

5、(a0,b0)的左焦点为F，过原点的直线与双曲线分别交于A，B两点.若|AB|=20，|AF|=16，且cosABF=35，则双曲线的离心率为( )A.5B.3C.2D.6答案：A解析：由题意及余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF，即(|BF|-12)2=0，解得|BF|=12设F为双曲线的右焦点，连接BF，AF根据对称性可得四边形AFBF是矩形如图.|BF|=16，|FF|=20 .2a=|16-12|，2c=20，解得a=2，c=10.e=ca=510.已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y=0，且双曲线与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距，求双曲线的

6、标准方程答案：椭圆方程为x264+y216=1，则椭圆的焦距为83 .当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)，a2+b2=48ba=33，解得a2=36b2=12，双曲线的标准方程为x236-y212=1 .当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0)，a2+b2=48ba=33，解得a2=12b2=36，双曲线的标准方程为y212-x236=1由可知，双曲线的标准方程为x236-y212=1或y212-x236=1 .11.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(c,0)（1）若双曲线的一条渐近线方程为

7、y=x且c=2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作圆的切线，斜率为-3，求双曲线的离心率答案：（1）由题意，知ba=1，c=2，因为a2+b2=c2，所以a2=b2=2，所以双曲线的方程为x22-y22=1 .（2）设A(m,n)，由题意知，kOA=33，从而n=33m，又m2+n2=c2，所以m=32c，n=c2，所以A(32c,c2)，将A(32c,c2)代入双曲线方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)中得，3c24a2-c24b2=1，所以c2(3b2-a2)=4a2b2，又c2=a2+b2，所以(a2+b2)(3b2-a2)

8、=4a2b2，所以3b4-2a2b2-a4=0，即3(ba)4-2(ba)2-1=0，所以b2a2=1，所以e2=1+b2a2=2，又e1，所以e=2，即双曲线的离心率为2 .创新拓展练12.已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且F1PF2=23，若e2(2,7)，则e1的取值范围是( )A.(23,53) B.(53,255)C.(53,73) D.(73,255)答案：D解析：命题分析本题综合考查椭圆、双曲线的定义，离心率以及余弦定理，综合考查学生分析问题，解决问题的能力.答题要领设椭圆的半长轴长为a1，双

9、曲线的半实轴长为a2，根据椭圆和双曲线的定义得出|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，从而得|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，又由余弦定理可得3a12+a22=4c2，进而得3e12=4-1e22,再由e2(2,7)，可求得e1的取值范围.详细解析设椭圆的半长轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，焦点坐标为(c,0)，不妨设P为第一象限的点，作出示意图如图所示，由椭圆与双曲线的定义得|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1-a2，由余弦定理得cosF1PF2=cos23=-12=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1|PF2|，所以3a12+a22=4c2，即3a12c2+a22c2=4，即3e12+1e22=4，所以3e12=4-1e22，因为e2(2,7)，所以e22(4,7)，所以1e22(17,14)，4-1e22(154,277)，所以3e12(154,277)，所以1e12(54,97)，所以e12(79,45)，所以e1(73,255)，故选D.方法感悟解题的关键在于得出椭圆的半长轴长、双曲线的半实轴长和半焦距之间的关系，进而得出椭圆、双曲线的离心率之间的关系.