数学北师大版必修4自主训练：2.3从速度的倍数到数乘向量 WORD版含解析.doc

1、自主广场我夯基 我达标1.O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D.思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底.通过画图可得与不共线；=-，则，所以与共线；与不共线；=-，则，所以与共线.由平面向量基底的概念知可以构成平面内所有向量的基底.答案：B2.如图2-3-8，矩形ABCD中，若=5e1，=3e2，则等于（ ）图2-3-8A.（5e1+3e2） B.（5e1-3e2） C.（3e2+5e1） D.（5e2-3e1）思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.=（-）=

2、（+）=（+）=(5e1+3e2).答案：A3.M为ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则+为（ ）A.6 B.-6 C.0 D.6思路解析：如图2-3-9所示，由题意，知设MB的中点为P，连结DP、PE，得平行四边形MDPE，取向量，为一组基底，则有=2=2（+），=-2，=-2，则有+=0.图2-3-9答案：C4.(2006广东高考卷，3)如图2-3-10所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量为（ ）图2-3-10A.-+ B.- C. - D.+思路解析：用基向量，表示向量.=+=-+.答案：A5.(2006河北石家庄一模，理7)在ABC中，点D在直线BC上，且

3、=4=r-s，则s+t等于（ ）A.0 B. C. D.3思路解析：如图2-3-11所示，由题意，得点D在线段CB的延长线上.=4，=.又=-,= (-)= -,r=s=，s+t=.图2-3-11答案：C6.在ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_,=_.思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.答案：m+n m+n我综合 我发展7.如图2-3-12，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.图2-3-12思路分析：要证M，N，C三点共线，只需证向量与共线即可.证明：设=a，=b(a,

4、b不共线)，则=+=-=b-a.N是BD的三等分点，=b-b.而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，=.又、有共同的起点M，M,N,C三点共线.8.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.思路分析：用向量证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.证明：如图2-3-13，已知梯形ABCD中，E、F是两腰、的中点，求证：，且|=（|+|）.图2-3-13证明：E、F分别是AD、BC的中点，=-，=-,=+，=+.=（+）=（+）.又，设=(R).=(+)=(+)=.E、F、D、C四点不共线，.同理,可证，且同向

5、，|=|（+）|=|+|=（|+|）.|=（|+|）.9.在正六边形ABCDEF中，=a，=b，求,.思路分析：由平面几何的知识可知，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其外接圆的半径也相等.应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算，容易用a,b表示所求的向量.解：如图2-3-14，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形.图2-3-14解法一：根据向量的平行四边形法则有=+=a+b.在平行四边形ABCO中，=+=a+b+a=2a+b.由正六边形知识知，=2=2a+2b.又=+,且=-,=-=2a+2b-a=a+2b.解法二：根

6、据向量的平行四边形法则有=+=a+b.=，=a+b.根据向量加法的三角形法则得=+，=a+b+a=2a+b.又=b，=+=2a+b+b=2a+2b.=+=-=2a+2b-a=a+2b.10.设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.思路分析：这是一个关于未知向量的向量方程，由于向量具有许多与数相同的运算性质，我们可以按照解关于数的方法来解这个方程.解：原方程可化为x+(3a-b)=0，x=-(3a-b）.x=-9a+b.11.如图2-3-15，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ，PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与LN交于A点，=q，=s，试用q,s表示.图2-3-15思路分析：由于，而=，关键是求.又由于与共线，而可用q,s表示，这样可以求得一个关于q,s的分解式(含参数).同样，利用,还可求得另一个关于q,s的分解式(也含参数).由于关于q,s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题得到解决.解：与共线，存在实数1，使=1.=,K为的中点，=,=-,=，=+(-)=，即=q+s.=-q+1s.=+,K为的中点，=q-q+1s，即=（-)q+1s.同样，设=2，=+-=-=q-s，=+2=s+2q-s=(-)s+2q.关于q,s的分解式是唯一的，解得=.