数学妙想奇思：奇妙的切割.doc

1、数学妙想奇思：奇妙的切割a.兰莎是个测量员，他善于把各种形状的木头分割成若干形状相同的小块。b.一次，有人请他把这块木头分割成形状相同的四块。这要怎么分呢?c.对这块木头只能这样分割。d.又有一次，有人请他把这块土地划分为形状相同的四部分。这可不是件容易的事情。e.但是，经过一番苦思冥想，他终于解决了问题。f.把一块正方形的木头分成四块相同的小正方形，这对于兰莎来说自然不成问题，但是要把它分成同样形状的五块，兰莎有些犯难了。g.“这如何是好!”兰莎暗想，“一定能找出一种办法来，噢，有了!”你知道兰莎想到怎样分割了吗?h.“真是聪明一世糊涂一时，”兰莎想，“用这种方法可以把一个正方形分成任意等份

2、!”分割理论拿兰莎的三个问题来和朋友开个玩笑倒是挺有意思。前两个问题的答案都不是规则的图形。这些图形的巧妙分割表明，一个正方形既然不能被分成五个小正方形，那它一定能被分成五个别的什么形状。解答方法如此浅显却很少有人想到，这真是令人遗憾。而这种方法又是把正方形五等份的唯一方法。如果你的朋友对这类问题有兴趣，你可以接下来给他(或她)出第四个类似的问题。首先让你的朋友看看图2-17所示的图形，怎样能分成相同形状的四小块?能分成形状相同的三小块吗?图2-17你的朋友可能经过一番苦苦思索百思不解而放弃，这时你把答案给他(或她)看看，面对如此浅显的解答，你的朋友一定会瞠目而汗颜。这个问题的解答方法同兰莎分

3、割正方形的思路如出一辙，答案如图2-18所示。这个方法同样可以把这个图形分割成任意等份。图2-18这类问题和前面切乳酪的问题一样，都属于娱乐数学(recreationaI mathematics)的一个重要的分支，有时称作“分割理论”。它为我们解决平面几何和立体几何中的许多实际问题提供了有效的方法。兰莎的头两个问题更有趣，因为分割后的小块与分割前的大块形状相似。如果一个图形能分成若干彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么，这个图形就叫做“可缩图形”(reptile)。图219又列了几个可缩图形，你能把它们分别分成若干彼此全等又和原图形状相似的小图形吗?图2-19“显然，若干小的可缩图形可以拼成

4、同形状的大的可缩图形。假设某种可缩图形能够取之无尽用之不竭，可以推想，他们拼成的同形状的大的可缩图形会逐渐布满无尽的平面。比如，兰莎解决的第一个问题L形可缩图形，四个同样的小L形可以拼成一个大L形，然后四个同样的大L形可以拼成一个更大的L形。这样无止境地拼下去，结果当然会拼成一个无尽头的平面。反之一个大L形分成四个小L形，一个小L形再分成四个更小的L形。这样无止境地分下去，图形会越来越小，直至无穷小。关于可缩图形我们研究得还很不够。凡已知的可缩图形都可以通过重复的拼接而充满一个平面。也就是说，一个基本的可缩图形通过水平延展而不是旋转或折转来拼成一个平面。有没有可缩图形不能重复地拼下去呢?这是拼

5、接理论中一个尚未解决的比较艰深的问题。关于空间的可缩图形我们研究得就更有限了。立方体属于这类空间的可缩图形，因为八个立方体可以组合成一个大立方体，就像四个正方形拼成一个大正方形一样。你能再想出别的立体的可缩图形吗?如果我们不要求分割后的小图形与原来的图形形状相似，那么我们还能从这类问题中琢磨出别的趣味。例如图220所示，是一个由五个小正方形拼成的T字图形，它不能被分割成四个小T字图形但是你能把它分割成四个别的什么图形吗?要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自

6、然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮

7、，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。图2-20这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯

8、安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。把一个平面图形分割成尽可能少的全等图形(如两份)，这一目标更难达到。图221给出了几个例子，你有兴趣试着分割一下吗?答案见本书的附录。分割理论还有一个分支，是将已知的多边形分割成尽可能少的几部分，当然形状不限，然后这些部分可以重新组合成另一个不同的给定的多边形。例如，一个正方形最少能被分成多少份，使被分割的部分能重新组合成一个正三角形?(答案是4份)这部分内容在几何分割中的重组同题(Recreational problems in Geomeerie Dissections)和亨利林格如何解决这些问题(How to Solve Them by Harry Lindgren)两书中有详尽而精彩的论述。