河北省石家庄市正定中学2016届高三上学期期末数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合M=x|x3，N=x|x1，全集U=R，则U（MN）=（）Ax|x1Bx|x3Cx|0x3Dx|x1或x32已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数4等比数列an中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）

2、A9B100C135D805设函数f（x）=，则f（98）+f（lg30）=（）A5B6C9D226某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD87过三点A（1，2），B（3，2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）ABCD8根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A0B3C6D129球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A60B50C60D5010汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消

3、耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11已知双曲线E： =1（a0，b0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角满足cos=，则E的离心率为（）AB2CD12设函数f（x）是偶函数f（x）（xR）的导函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（1，1）D（2，2）二

4、、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13设向量，是相互垂直的单位向量，向量+与2垂直，则实数=14若x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为15已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=16已知数列an满足a1=1，an=（n2），其中Sn为an的前n项和，则S2016=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a（I）求；（）若c2=a2+，求角C18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，AC=BC=

5、，D是棱AA1的中点，DC1BD（）证明：DC1BC；（）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离19班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析（）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（i

6、i）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与xi对应的回归估计值参考数据：457，23.520已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P，点M满足，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（）

7、求曲线E的方程；（）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程21已知函数f（x）=（）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（）若当x0时，f（x）恒成立，求正整数k的最大值请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，选修4-1：几何证明选讲22如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2（）求AC的长；（）求证：BE=EF选修4-4：坐标系与参数方程23以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，

8、且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合M=x|x3，N=x|x1，

9、全集U=R，则U（MN）=（）Ax|x1Bx|x3Cx|0x3Dx|x1或x3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出MN，从而求出MN的补集即可【解答】解：集合M=x|x3，N=x|x1，全集U=R，则MN=x|1x3，则U（MN）=x|x1或x3，故选：D2已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解： =1+i，=（3+i）（1+i）=2+4i，z=24i，则复数z在复平面上对应点（2，4）位于第四象限故选：D3已知函数f（x）=

10、（1+cos2x）sin2x，xR，则f（x）是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论【解答】解：f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x=，故选D4等比数列an中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A9B100C135D80【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意可得等比数列的

11、公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，q2=，a7+a8=（a1+a2）q6=40=135，故选：C5设函数f（x）=，则f（98）+f（lg30）=（）A5B6C9D22【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解【解答】解：函数f（x）=，f（98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg301=3，f（98）+f（lg30）=3+3=6故选：B6某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD8【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高【解答】解：

12、由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高四棱锥的高h=2，棱锥的体积V=4故选A7过三点A（1，2），B（3，2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）ABCD【考点】圆的一般方程【分析】设圆的标准方程为（x6）2+（yb）2=r2，代入A（1，2），B（3，2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|【解答】解：设圆的标准方程为（x6）2+（yb）2=r2，代入A（1，2），B（3，2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D8根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A0B3C6D

13、12【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A60B50C60D50【考点】球内接多面体【分析】求出ABC的外接圆的半径，可得O到平面AB

14、C的距离，计算ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积【解答】解：AB=12，AC=BC=12，cosACB=，ACB=120，ABC的外接圆的半径为=12，O到平面ABC的距离为5，SABC=36，四面体OABC的体积是=60故选：A10汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数

15、的图象与图象变化【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确11已知双曲线E： =1（a0，b0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，AB

16、M为等腰三角形，且顶角满足cos=，则E的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据ABM是顶角满足cos=的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cosMBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：ABM是顶角满足cos=的等腰三角形，|BM|=|AB|=2a，cosMBx=，点M的坐标为（a+，2a），即（，），又点M在双曲线E上，将M坐标代入坐标得=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，e2=，因此e=，故选：C12设函数f（x）是偶函数f（x）（xR）的导函数，f（x）在区间（0，+）

17、上的唯一零点为2，并且当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（2，0）（0，2）B（，2）（2，+）C（1，1）D（2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）0的解集即可【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）=xf（x）+f（x），当x（1，1）时，xf（x）+f（x）0，g（x）在（1，1）递减，而g（x）=xf（x）=xf（x）=g（x），g（x）在R是奇函数，f（x）在区间（0，+）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+

18、）上的唯一零点为2，g（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（2）=0，如图示：，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：0x2，x0时，f（x）0，即xf（x）0，由图象得：2x0，综上：x（2，2），故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13设向量，是相互垂直的单位向量，向量+与2垂直，则实数=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出【解答】解：向量，是相互垂直的单位向量，=0，+与2垂直，（+）（2）=2=0解得=2故答案为214若x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值为2【考点】简单线

19、性规划【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图ABC及内部），变形目标函数可得y=xz，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：215已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=0【考点】二项式定理的应用【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a7x7，若a

20、1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+a7，再令x=1，可得 （m1）（11）6=0=a0a1+a2+a7，由可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=232，m=0，故答案为：016已知数列an满足a1=1，an=（n2），其中Sn为an的前n项和，则S2016=【考点】数列的求和【分析】通过对an=（n2）变形可知2SnSn1=Sn1Sn，进而可知数列是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论【解答】解：an=（n2），2=2Snanan，22Snan=Sn1Sn，即2SnSn1=Sn1Sn，2=，又=1，数列是首项为1、公差为2的

21、等差数列，S2016=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a（I）求；（）若c2=a2+，求角C【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解（II）设b=5t（t0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，即，故 （II）设b=5t（t0），则a=3t，于是即c=7t由余弦定理得所以18如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面AB

22、C，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1BD（）证明：DC1BC；（）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形D为AA1的中点，DC=DC1又，可得，DC1DC而DC1BD，DCBD=D，DC1平面BCDBC平面BCD，DC1BC（2）解：由（1）知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，CA，CB，CC1两两垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的

23、正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz由题意知，则，设是平面BDC1的法向量，则，即，可取设点P到平面BDC1的距离为d，则12分19班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析（）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均

24、为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与xi对应的回归估计值参考数据：457，23.5【考点】线性回归方程【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使

25、用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种故所求的概率（ii）变量y与x的相关系数可以看出，物理与数学成绩高度正相关也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩

26、高度正相关设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.8750.6677.533.73，所以y与x的线性回归方程是20已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P，点M满足，当P在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）利用代入法，求曲线E的方程；（）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上

27、，所以x2+4y2=4，即.（II）经检验，当直线lx轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率设直线l：y=kx+2设C（x1，y1），D（x2，y2），则=（16k）24（1+4k2）120，得，又由，得，将它代入，得k2=1，k=1（满足）所以直线l的斜率为k=1所以直线l的方程为y=x+221已知函数f（x）=（）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（）若当x0时，f（x）恒成立，求正整数k的最大值【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算f（1）即可；（）问题转化为对x0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从

28、而求出正整数k的最大值【解答】解：（）f（x）=+，（）当x0时，恒成立，即对x0恒成立即h（x）（x0）的最小值大于k，记（x）=x1ln（x+1）（x0）则，所以（x）在（0，+）上连续递增又（2）=1ln30，（3）=22ln20，所以（x）存在唯一零点x0，且满足x0（2，3），x0=1+ln（x0+1）由xx0时，（x）0，h（x）0；0xx0时，（x）0，h（x）0知：h（x）的最小值为所以正整数k的最大值为3请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，选修4-1：几何证明选讲22如图，等腰梯形ABDC内接

29、于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2（）求AC的长；（）求证：BE=EF【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：PACCBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系【解答】解：（I）PA2=PCPD，PA=2，PC=1，PD=4，又PC=ED=1，CE=2，PAC=CBA，PCA=CAB，PACCBA，AC2=PCAB=2，证明：（II），CE=2，而CEED=BEEF，EF=BE 选

30、修4-4：坐标系与参数方程23以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）对极坐标方程两边同乘，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出【解答】解：（I）sin2=4cos，2sin2=4cos，曲线C的直角坐标方程为y2=4x（II）将代入y2=4x，

31、得sin2t2+（2sin4cos）t7=0，所以，所以，或，即或选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x|+|xa|，xR（）求证：当a=时，不等式lnf（x）1成立（）关于x的不等式f（x）a在R上恒成立，求实数a的最大值【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当a=时，根据f（x）= 的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3lne=1，不等式得证（）由绝对值三角不等式可得 f（x）|a|，可得|a|a，由此解得a的范围【解答】解：（）证明：当a=时，f（x）=|x|+|x+|= 的最小值为3，lnf（x）最小值为ln3lne=1，lnf（x）1成立（）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x|+|xa|（x）（xa）|=|a|，再由不等式f（x）a在R上恒成立，可得|a|a，aa，或 aa，解得a，故a的最大值为2016年8月2日