数学苏教版必修4互动课堂学案：2.doc

1、互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底e1,e2，已知a=（a1,a2）,b=(b1,b2),则ab=（a1e1+a2e2）(b1e1+b2e2)=a1b1e12+(a1b2+a2b1)e1e2+a2b2e22因为e1e1=e2e2=1,e1e2=e2e1=0,故ab=a1b1+a2b2.疑难疏引 （1）两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和，并且此式是正交基底e1,e2下实现的.（2）引入坐标后，实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设a=（a1,a2）,b=(b1,b2),如果ab，则a1b1+a2b2=0；反之，若a1b1+a2

2、b2=0,则ab；当ab时，若b1b20,则向量（a1,a2）与（-b2,b1）平行，这是因为ab，a1b1+a2b2=0.即a1b1=-a2b1,两向量平行的条件是相应坐标成比例，所以（a1,a2）与（-b2,b1）平行，特别的向量k(-b2,b1)与向量（b1,b2）垂直，k为任意实数，例如向量（3，4）与向量（-4，3），（-8，6），（12，-9）都垂直.疑难疏引 设a=（a1，a2）,b=(b1，b2)a1b1+a2b2=0ab且a1ba1b1+a2b2=0.3.向量的长度、距离和夹角公式（1）已知a=（a1,a2）,则|a|2=a2=a12+a22,即|a|=.语言描述为向量的长度

3、等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x1y2),B(x2y2),则=(x2-x1,y2-y1)|=,此式可视为A、B两点的距离公式.（2）设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),故cosa,b=该处夹角公式是非零向量的夹角公式.活学巧用【例1】 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+tb与b的夹角为45,求实数t的值.解析：利用ab=|a|b|cos建立方程，解方程即可.a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3)(a+tb)b=（4+2t,t-3）(2,1)=5t+5.|a+tb|=由(a+tb)b=|a+tb|b|cos45得5t+5=即t2+2t-3=0.t=-

4、3或t=1，经检验t=-3不合题意，舍去，只取t=1.【例2】 已知点A（2，3），若把向量绕原点O按逆时针旋转90得向量,求点B的坐标.解析：要求点B坐标，可设为B（x,y），利用,|=|列方程解决之.设点B坐标为（x,y），因为OB，|=|所以有解得或(舍去)，所以B点坐标为（-3，2）.【例3】已知a=（2，），b=（1，1）.求a与b的夹角.解析：向量坐标已知可利用夹角坐标公式解决ab=.cos=，又0180，=60.【例4】已知a+b+c=0,|a|=3，|b|=5，|c|=7.求a、b的值.解析：a+b+c=0,a+b=-c.|a+b|=|c|,(a+b)2=c2，即a2+2ab+b2=c2.ab=cosa,b=(35)=,a,b=.