数学苏教版必修4优化训练：2.5向量的应用 WORD版含解析.doc

1、2.5 向量的应用5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.解:由题设F1+F2+F3=0，得(3，4)+(2，-5)+(x，y)=(0，0)，即F3=(-5，1).2.在四边形ABCD中,=0,且=,则四边形ABCD是( )A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形思路解析:由=0得ABBC,又=,AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案:C10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来

2、.试求实际风速和方向.解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.设=-a，=-2a.+=，=v-a.这就是感到由正北方向吹来的风速.+=，=v-2a.于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知PBO=45，BO，BA=AO，可知POB为等腰直角三角形，PO=PB=a，即|v|=a.实际风速是a的西北风.2.已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求:(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1、F2的合力F对质点

3、所做的功.思路解析:设物体在力F作用下位移为s,则所做的功为W=Fs.解: =(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1=(3,4)(-13,-15)=-99(焦耳),W2=F2=(6,-5)(-13,-15)=-3(焦耳).(2)W=F=(F1+F2)=(3,4)+(6,-5)(-13,-15)=(9,-1)(-13,-15)=-102(焦耳).3.(2005 上海)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4，则点P的轨迹方程是_.思路解析:设点P的坐标是(x,y)，则由=4知x+2y=4x+2y-4=0.答案:x+2y-4=04.如图2-5-1

4、所示,已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证:EFBC.图2-5-1证明:设=a，=b.，=b.则=-=b-a.E为BD的中点，=(b-a).F为AC的中点，=+=+=+(-)=(+)=(-)=(b-a).=-=(b-a)-(b-a)=(-)b=(-).，即EFBC.5.如图2-5-2所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证:ACBD.图2-5-2思路解析:对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的条件.而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的条件.证法一:=+，=-，=(+)(-)=|2-|2=0.ACBD.证法

5、二:以BC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A(a，b)，C(c，0)，则由|AB|=|BC|得a2+b2=c2.=-=(c，0)-(a，b)=(c-a，-b)，=+=(a，b)+(c，0)=(c+a，b)，=c2-a2-b2=0.，即ACBD.志鸿教育乐园少年风范 约翰是个聪颖的孩子,成绩不算很好,但凡事都有独特的见解.一次,老师请一位心理学家来考他,那位专家单刀直入地问道:“罗密欧与朱丽叶是谁的作品？” “我怎么会知道呢！”约翰爱理不理地答道，“像我这样的年纪，是不会看莎士比亚的作品的。”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.用力F推动一物体G，使其沿水平方向运

6、动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体G所做的功为( )A.Fscos B.FssinC.|F|scos D.|F|ssin思路解析:根据力对物体做功的定义，W=Fscos(90-)=Fssin.答案:B2.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )A.|v1|v2| B.|v1|v2| C.|v1|v2| D.|v1|v2|思路解析:只有当船速大于水速时，船速在水速方向的分速度能够和水速抵消，船才能垂直到达对岸.答案:B3.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速

7、度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQP0Q0时，t=_.思路解析:P0(-1,2),Q0(-2,-1),=(-1,-3).又e1+e2=(1,1),|e1+e2|=.3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=.当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).=(-1+2t,-3+t).PQP0Q0,(-1)(-1+2t)+(-3)(-3+t)=0.t=2.答案:24.已知A(-1，-1)、B(1，3)、

8、C(2，5)，求证:A、B、C三点共线.证明:=(2，4)，=(1，2)，=2.，且与有公共点B.A、B、C三点共线.5.设a、b、c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证:以a、b、c的模为边,必构成一个三角形；(2)如果向量a、b、c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?思路解析:运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答.解:(1)如图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=+=a+b+c=0.B与D重合,故向量a、b、c能构成一个三角形.(2)设向量a、b、c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即+=0.a=-,b=-,c=-,a、b

9、、c有下列四种关系之一即可:a+b-c=0,a+b+c=0,a-b-c=0,a-b+c=0.6.用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路解析:本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量.证明:如右图，AD、BE、CF是ABC的三条高，设BE、CF交于点H.方法一:设=a，=b，=h，则=h-a，=h-b，=b-a，(h-a)b=0，(h-b)a=0.(h-a)b=(h-b)a.化简得h(b-a)=0.AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点.方法二:设=a，=b，=c，则=b-a，=c-a，=b-c，b(c-a)=0，c(b-a)

10、=0.b(c-a)=c(b-a).ab=ac，即a(b-c)=0.，故AD、BE、CF交于一点.7.如图2-5-3所示,ABC三边长为a、b、c,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,有最大值?图2-5-3思路解析:先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积ab|a|b|求解.解:+=,+=-,=(-)(-)=-2+-=-r2+(-)=+-r2=cbcosBCA+-r2.r、a、b、c,BAC均为定值,故当且仅当有最大值时，有最大值.而当与同向共线时，其夹角为0，有=ra.当,且与反向时,有最大值bccosBAC+ar-r2.8.如图2-5-4所示,已知A、B、C是不共线的三点,O是ABC内的一点,若+=0,求证:O是ABC的重心.图2-5-4思路解析:以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得|=2|,即O为ABC的重心.证明:由于+=0,=-(+),即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,=,AE是ABC的中线,且|=2|,故O是ABC的重心.