数学苏教版选修1-2课堂导学 2.1.1　合情推理 WORD版含解析.doc

1、课堂导学三点剖析各个击破一、运用归纳推理发现新事实,获得新结论【例1】 在平面内观察, 凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线由此猜想凸n边形有几条对角线?解：凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条于是猜想凸n边形的对角线条数为比凸n-1边形的n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+(n-2)= n(n-3)(n4,nN*).温馨提示归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会.在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现

2、象的本质属性和因果关系,如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.类题演练1意大利数学家斐波那契在他的1228年版的算经一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.这就是斐波那契数列,此数列中a1=a2=1,你能归纳出,当n3时,an的递推关系吗?解：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面

3、几项的关系易得：从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an=an-1+an-2(n3,nN*).变式提升1数列an中,a1=2,an+1=,nN*,依次计算a2;a3;a4;并归纳猜想出an的表达.解：a2=，a3=,a4=,故an=.二、运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a;a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都

4、有逆运算，即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方法,在平时的数学学习与复习时,常常以一两个对象为中心,把与它有类比关系的对象归纳整理成一张图表,便于记忆与运用.在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识、方法、规律出发,通过类比，从中得到启发与灵感,从而提出新问题、作出新发现和找到新方法.类题演练2类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的

5、点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：（1）在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；（2）空间中不共面的4个点确定一个球；（3）球有面积与体积；（4）在空间直角坐标系中，以点（x0,y0,z0）为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.变式提升2从大小正方形的数量关系上,观察如下图所示的几何图形,试归纳得出的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现1=12,1+3=22=22,1+3+5=33=3

6、2,1+3+5+7=44=42,1+3+5+7+9=55=52,1+3+5+7+9+11=66=62,观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1+3+5+7+（2n-1）=n2.三、合情推理应用举例【例3】20世纪60年代,数学家角谷发现了一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果?试考察几个数并给出猜想.解：取自然数6,按角谷的作法有:62=3, 33+1=10, 102=5, 35+1=16, 162=8, 82=4, 42=2, 22=1.其过程简记为63105168421.取自然数7,则有7221134175226134020101.取自然数100,则有10050257638195829884422111.归纳猜想:这样反复计算,必然会得到1.类题演练3观察下列已有的数的规律在（）内填入恰当的数.解：到依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和变式提升3,求出S1,S2,S3,S4并归纳猜想Sn的表达.解：取n=1,2,3,4，计算可得S1=，S2=，S3=，S4=，观察4个结果，都是分数，分子正好等于和式的项数，分母比分子大1，故归纳猜想Sn=.计算可得Sn=(1-)+()+=1-.