数学苏教版选修2-2互动课堂 2.DOC

1、互动课堂疏导引导 推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式.由于数学中通常把判断称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式.推理一般分为合情推理和演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理.(1)归纳推理 所谓归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.是从特殊到一般的推理. 归纳推理： 根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F的结论的推理.其推理形式是：A1具有性质F,A2具有性质F,An具有性质F, 归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然

2、性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.案例1 观察下图，可以发现：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52 由上述事实，你能得出怎样的结论？【探究】 将上述事实分别叙述如下： 前2个奇数的和等于2的平方； 前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方； 由此猜想：前n(nN+)个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+(2n-1)=n2【规律总结】归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还有待于证明，归纳往往从观察开始，观察，实验，对有限地资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想，是

3、数学研究的基本方法之一.(2)类比推理类比推理是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似,而推出它们的某种其他属性也相同或相似的思维形式,也称为类比法,类比推理是以比较为基础的,在对两个或两类对象的属性进行比较时,若发现它们有较多的相同点或相似点,则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去.由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较,而作出有关另一个特殊属性的结论的,因此类比推理是从特殊到特殊的推理.类比法的类型()简单类比 仅仅依据两个研究对象在形式或现象方面的某些相同或相似,而推出它们在其他某方面相同或相似的方法,称为简单类比.简单类比的结构模式为 对象

4、A：具有属性a1、a2、an、m 对象B：具有属性a1、a2、an. 由于简单类比侧重于外在形式和表面现象的比较,较少涉及事物的本质方面,因而其类比猜想的可靠性较差.()科学类比 为了提高类比猜想的可靠程度,一般来说需要增加作为推理基础的相同方面的属性,因为相同属性越多,推出属性相同的可能性就越大;同时要提高类比属性与推出属性的相关程度,二者联系愈密切,结论就愈可靠.于是,便出现了科学类比的方法.如果所研究的两个对象有较多相同或相似的属性,而且这些属性之间具有因果关系R,由此推出它们有其他相同或相似的属性及关系R,这种方法就是科学类比.科学类比的结构模式为 对象A：具有属性a1、a2、an,m

5、和关系R 对象B：具有属性a1、a2、an. 与简单类比不同的是,科学类比重视因果关系.由于因果关系往往反映了事物的本质与内在联系,因而通过科学类比形成的猜想具有较大的可靠性.案例2 在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b9=1，则有等式_成立.【探究】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列用减法定义性质用加法表述(若m，n，p,qN*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq)； 等比数列用除法定义性质用乘法表述(若m，n，p,qN*且m+n=p+q，则am

6、an=apaq). 由此，猜测本题的答案为：b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*). 事实上，对等差数列an，如果ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=ak+ak=0.所以有：a1+a2+an=a1+a2+an+(an+1+an+2+a2k-2-n+a2k-1-n)(n2k-1,nN*).从而对等比数列bn，如果bk=1，则有等式b1b2bn=b1b2b2k-1-n(n2k-1,nN*)成立.【规律总结】本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列an而得到等比数列bn的新的一般性的结论.活学巧用1.

7、在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线由此猜想凸n边形有几条对角线？解析：凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+(n-2)=n(n-3)(n4,nN*).2.意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的算经一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子.如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？ 我们

8、依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，. 这就是斐波那契数列，此数列中a1=a2=1，你能归纳出，当n3时an的递推关系式吗？解析：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和,即an=an-1+an-2(n3,nN*).3.已知，若(a、b均为实数)，请推测a=_，b=_.解析：由三个等式知：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中：a=6,b=62-1=35, 即a=6,b=35答案：6；354.下列四个图形中，着色三

9、角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A.an=3n-1 B.an=3nC.an=3n-2n D.an=3n-1+2n-3解析：a1=1=30，a2=3=31,a3=9=32,a4=27=33, 由此猜想an=3n-1答案：A5.类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解析：(1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a; a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c); (a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.a+x

10、=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，亦不改变该向量的方向，即a+0=a.6.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)为圆心、r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解析：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球有面积与体积;(4)在空间直角坐标

11、系中，以点(x0，y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面.这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是_.解析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象. 如图所示，与RtABC相对应的，是四面体PDEF；与RtABC的两条边交成1个直角相对应的，是四面体PDEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与RtABC的直角边边长a、b相对应的，是四面体PDEF的面DEF，PDF和DPE的面积S1，S2和S3；与RtABC的斜边边长c相对应的，是四面体PDEF的面PEF的面积S. 由此，我们可以类比RtABC中的勾股定理，猜想出四面体PDEF四个面的面积之间的关系. 如下图(1)(2)所示，我们知道，在RtABC中，由勾股定理，得c2=a2+b2.(1) (2) 于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体PDEF中，我们猜想 S2=S21+S22+S23成立.