河北省石家庄市行唐县启明中学2016届高三数学上学期9月摸底试卷文含解析.doc

1、2015-2016学年河北省石家庄市行唐县启明中学高三（上）9月摸底数学试卷（文科）一、选择题：1若集合A=x|x2，B=x|3x3，则AB等于( )Ax|x2Bx|2x3Cx|x3Dx|3x32已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则f（3）的值为( )A9B27C64D163已知田径队有男运动员36人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为20的样本，则抽取男运动员的人数为( )A9B12C15D164如图中，矩形长为6，宽为4，向矩形内随机掷300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数204，则一次实验数据为依据估计出椭圆的面积约为( )A7.66B16.3

2、2C17.28D8.685如图所示，程序框图输出的结果为( )A15B16C136D1536在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是( )A3BC6D97已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )AB1CD8函数f（x）=logax与g（x）=bx其中a0，a1，ab=1）的图象可能是( )ABCD9若cos（2x）=，则cos（x）的值为( )ABCD10已知圆x2+y22x4y+a6=0上有且仅有两个点到直线3x4y15=0的距离为1，则实数a的取值范围是( )A（6，7）B（15，1）C（14，2）D

3、（8，1）11如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F为A1C1上的动点，且EF=，则下列结论中错误的是( )ABDCEBCEF的面积为定值C四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而变化D直线BE与CF为异面直线12设F1，F2分别是双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，点A是以F1为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF2与圆相切，则该双曲线的离心率为( )A2BC2D二、填空题：13若a，bR，i为虚数单位，且a+2i=i（b+i），则a+b=_14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_15定义运算：=|sin，其中为向量，的夹角，若向量，满足|=1，|=2，

4、=1，则|的值为_16当nN*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+N（2n）（nN），则S（n）=_三、解答题：（70分）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2a7，S4=17（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和的最大值18在一次抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，为测量A、B两地的距离，救援人员在相距l米的C、D两地（A，B，C，D在同一平面上），测得ACD=45，BCD=30ADC=75（如图），考虑到电线在自然下垂和施工

5、损耗等原因，实际所得电线长度大于应是A、B距离的1.2倍，问救援至少英爱准备多长的电线？19如图，已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，且PA=AD=1，AB=，点E，F分别为AB、PC中点（1）求证：EFPD；（2）求点E到平面PDC的距离20某班A、B两组各有8名学生，他们期中考试的美术成绩如下：A组66，68，72，74，76，78，82，84B组：58，62，67，73，77，83，88，92（1）补全如图所示茎叶图：（2）分别计算这两组学生美术成绩的平均数、标准差、并对它们的含义进行解释21已知椭圆C：=1（ab0）的右顶点，上顶点分别为M、N，过其左焦点F作直线l垂直

6、于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，=（1）求证：a=；（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A1B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程22已知函数f（x）=ax61nx在x=2处取得极值（1）求实数a的值；（2）g（x）=（x3）exm（e为自然对数的底数），若对任意x1（0，2），x22，3，总有f（x1）g（x2）0成立，求实数m的取值范围2015-2016学年河北省石家庄市行唐县启明中学高三（上）9月摸底数学试卷（文科）一、选择题：1若集合A=x|x2，B=x|3x3，则AB等于( )Ax|x2Bx|2x3Cx|x3Dx|3x3【考点】

7、并集及其运算 【专题】集合【分析】直接由并集运算求解【解答】解：由集合A=x|x2，B=x|3x3，则AB=x|x2x|3x3=x|x3故选：C【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型2已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则f（3）的值为( )A9B27C64D16【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】函数的性质及应用【分析】设幂函数f（x）=x，则由f（x）图象经过点（2，8），可得 （2）=8，求得的值，可得函数的解析式，从而求得f（3）的值【解答】解：设幂函数f（x）=x，则由f（x）图象经过点（2，8），可得 （2）=8，=3，故幂函数f（x）=x3，f

8、（3）=33=27，故选：B【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题3已知田径队有男运动员36人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为20的样本，则抽取男运动员的人数为( )A9B12C15D16【考点】分层抽样方法 【专题】计算题；概率与统计【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到男运动员要抽取得人数【解答】解：田径队有男运动员36人，女运动员24人，这支田径队共有36+24=60人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为2

9、0的样本，每个个体被抽到的概率是=，田径队有男运动员36人，男运动员要抽取36=12人，故选：B【点评】本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题是一个基础题4如图中，矩形长为6，宽为4，向矩形内随机掷300颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数204，则一次实验数据为依据估计出椭圆的面积约为( )A7.66B16.32C17.28D8.68【考点】模拟方法估计概率 【专题】计算题；概率与统计【分析】欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可【解答】解：黄豆落在椭圆外的概率为：解得：S=16.32故选：B【点评】本题考查几何概

10、型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，称为几何概型5如图所示，程序框图输出的结果为( )A15B16C136D153【考点】程序框图 【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出S120时，变量S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是利用循环计算变量S=0+1+2+=i+的值，并输出S120时，变量S的值，由于S=i+120，解得：i15，故当i=16，

11、可得S=16+=136故选：C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模6在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是( )A3BC6D9【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出A、B、C的坐标，求出AB的长度，再求出C到AB所在直线的距离，代入三角形的面积公式得答案【解答】解：由

12、约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（1，5），联立，解得C（2，2）AB=6，C到AB所在直线的距离为3平面区域的面积是S=故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )AB1CD【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离【解答】

13、解：F是抛物线y2=4x的焦点F（1，0）准线方程x=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=3解得x1+x2=1，线段AB的中点横坐标为线段AB的中点到该抛物线准线的距离为故选：A【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离8函数f（x）=logax与g（x）=bx其中a0，a1，ab=1）的图象可能是( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】对a分类讨论，利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：当a1时，则0b1，利用指数函数与对数函数的单调性可得：函数f

14、（x）=logax与g（x）=bx同为增函数，当0a1时，则b1，利用指数函数与对数函数的单调性可得：函数f（x）=logax与g（x）=bx同为减函数，函数f（x）=logax与g（x）=bx的单调性一致，故选：C【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题9若cos（2x）=，则cos（x）的值为( )ABCD【考点】两角和与差的余弦函数 【专题】三角函数的求值【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos（x）的值【解答】解：由cos（2x）=2cos2（x）1，可得cos2 （x）=，求得cos（x）=，故选：B【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式

15、的应用，属于基础题10已知圆x2+y22x4y+a6=0上有且仅有两个点到直线3x4y15=0的距离为1，则实数a的取值范围是( )A（6，7）B（15，1）C（14，2）D（8，1）【考点】直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】首先把圆的一般式与顶点式的转化为标准式，进一步利用掉到直线的距离与距离1的关系建立不等式，最后求出结果【解答】解：圆x2+y22x4y+a6=0转化为：（x1）2+（y2）2=11a，圆心坐标为：（1，2）半径为：，圆心到直线的距离：d=由于圆上有且仅有两个点到直线3x4y16=0的距离为1，则|4|1，即141，即35，平方得911a25，解得14a2，故选：

16、C【点评】本题考查的知识要点：圆的一般式与顶点式的转化，点到直线的距离及相关的运算问题11如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F为A1C1上的动点，且EF=，则下列结论中错误的是( )ABDCEBCEF的面积为定值C四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而变化D直线BE与CF为异面直线【考点】棱柱的结构特征 【专题】空间位置关系与距离【分析】在A中，由已知能推导出BD平面A1C1C，从而BDCE；在B中，EF=，点C到EF的距离CC1=1，从而CEF的面积为定值；在C中，四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而保持不变；在D中，直线BE与CF既不平行，也不相交【解答】解：在A

17、中：棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是正方形，BDA1C1，且BDCC1，又A1C1CC1=C1，BD平面A1C1C，BDCE，故A正确；在B中：CEF中，EF=，点C到EF的距离CC1=1，CEF的面积S=，为定值，故B正确；在C中：CEF的面积为定值，点B到平面CEF的距离即为点B到平面A1CC1的距离，四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而保持不变，故C错误；在D中：直线BE与CF既不平行，也不相交，故直线BE与CF为异面直线，故D正确故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用12设F1，F2

18、分别是双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，点A是以F1为圆心，b为半径的圆与双曲线的一个交点，且AF2与圆相切，则该双曲线的离心率为( )A2BC2D【考点】双曲线的简单性质 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得A在双曲线的左支上，AF1AF2，且AF1=b，AF2=2a+b，F1F2=2c，运用勾股定理和离心率公式，计算即可得到【解答】解：由题意可得A在双曲线的左支上，AF1AF2，且AF1=b，AF2=2a+b，F1F2=2c，由勾股定理可得，b2+（2a+b）2=4c2，由c2=a2+b2，化简可得b=2a，c=a，即有e=故选：D【点评】本题考查双曲线的定义、

19、方程和性质，考查直径所对的圆周角为直角，考查离心率的求法，属于中档题二、填空题：13若a，bR，i为虚数单位，且a+2i=i（b+i），则a+b=1【考点】复数相等的充要条件 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数相等的充要条件，列出方程组，求解即可【解答】解：a，bR，i为虚数单位，且a+2i=i（b+i），可得，a+b=1故答案为：1【点评】本题考查复数的相等的充要条件，考查计算能力14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由几何体的三视图，知该几何体是三棱柱，作出图形，能够求出其体积【解答】解：由几何体的

20、三视图，知该几何体是如图所示的三棱柱，其中AB=3，BC=2，AP=1，=1，该几何体的体积V=SBCFAB=13=3故答案为3【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答15定义运算：=|sin，其中为向量，的夹角，若向量，满足|=1，|=2，=1，则|的值为【考点】平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cos 的值，可得 的值，从而求得|的值【解答】解：向量，满足|=1，|=2，=12cos=1，cos=，=120，则|=12sin120=，故答案为：【点评】本题主要考查新定义，两个向量的数量积的定义

21、，属于基础题16当nN*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+N（2n）（nN），则S（n）=【考点】数列的求和 【专题】压轴题【分析】由题意当nN*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，从写出的这些项及S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+N（2n）利用累加法即可求得【解答】解：因为当nN*时，定义函数

22、N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，N（所以Sn=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+N（2n），而S2S1=N（3）+N（4）=4，S3S2=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16， S4S3=64，SnSn1=N（2n1+1）+N（2n1+2）+N（2n1+2n1）=4n1以上各式相加得：，而S1=N（1）+N（2）=2，代入得到：【点评】此题重点考查了学生对于新定义的准确理解，另外找准要求的和式具体的数据，有观察分析要求的和式的

23、特点选择累加求和，并计算中需用等比数列的求和公式，累加法注意写出的式子必须是减号且出现前后可以抵消的式子才可用此方法，重点是了学生的理解能力及计算能力三、解答题：（70分）17已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=2a7，S4=17（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和的最大值【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由a3=2a7，S4=17，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得，解出即可得出（2）令an=+0，解得n11即可得出数列an的前n项和取得最大值【解答】解：（1）设等差数列an的公差

24、为d，a3=2a7，S4=17，解得a1=5，d=，an=5=+（2）令an=+0，解得n11当n=11或10时，数列an的前n项和取得最大值，S11=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在一次抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，为测量A、B两地的距离，救援人员在相距l米的C、D两地（A，B，C，D在同一平面上），测得ACD=45，BCD=30ADC=75（如图），考虑到电线在自然下垂和施工损耗等原因，实际所得电线长度大于应是A、B距离的1.2倍，问救援至少英爱准备多长的电线？【考点】解三角形的实际应用 【专题】应用题；解三角

25、形【分析】分别在ACD、BCD中，利用正弦定理，求出AD，BD，再在ABD中，利用勾股定理，求AB，从而可求电线长度【解答】解：在ACD中，ACD=45，CD=l，ADC=75，所以CAD=60根据正弦定理可得AD=l在BCD中，BCD=30，BDC=15，CBD=135根据正弦定理可得BD=l在ABD中，BDA=BDC+ADC=90，ABD是直角三角形AB=l电线长度至少为1.1AB=lm【点评】本题利用正弦定理解决实际问题，解题的关键是确定三角形，正确运用正弦定理，属于中档题19如图，已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，且PA=AD=1，AB=，点E，F分别为AB、PC中点

26、（1）求证：EFPD；（2）求点E到平面PDC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）取PD的中点M，可得AEFM为平行四边形，AMEF，根据AMPD，证得EFPD（2）设点E到平面PDC的距离为h，由于AE平行于平面PCD，故点E到平面PDC的距离等于点A到平面PDC的距离，再根据由VPACD=VEPCD，求得h的值【解答】解：（1）如图所示：已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PA底面ABCD，取PD的中点M，E为AB的中点，故AEMF，AE=MF，AEFM为平行四边形，AMEF由PA=AD=1，AB=，

27、可得PAD为等腰直角三角形，AMPD，故EFPD（2）由于PCD PCE都是直角三角形，利用勾股定理求得PC=2，PD=，设点E到平面PDC的距离为h由于AE平行于平面PCD，故点E到平面PDC的距离等于点A到平面PDC的距离由VPACD=VEPCD 可得 SACDPA=SPCDh，可得SACDPA=SPCDh，即ADCDPA=PDCDh，即ADPA=PDh，即11=h，求得 h= 点E到平面PDC的距离为【点评】本题主要考查证明直线和直线垂直的方法，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题20某班A、B两组各有8名学生，他们期中考试的美术成绩如下：A组66，68

28、，72，74，76，78，82，84B组：58，62，67，73，77，83，88，92（1）补全如图所示茎叶图：（2）分别计算这两组学生美术成绩的平均数、标准差、并对它们的含义进行解释【考点】极差、方差与标准差；茎叶图；众数、中位数、平均数 【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）根据题目中的数据，补全茎叶图即可；（2）计算A、B组两种成绩的平均数与方差和标准差，比较即可得出结论【解答】解：（1）根据题目中的数据，补全茎叶图，如图所示；（2）A组成绩的平均数是=（66+68+72+74+76+78+82+84）=75，方差是=（6675）2+（6875）2+（7275）2+（7475）2+（

29、7675）2+（7875）2+（8275）2+（8475）2=35，标准差是sA=；B组成绩的平均数是=（58+62+67+73+77+83+88+92）=75，方差是=（5875）2+（6275）2+（6775）2+（7375）2+（7775）2+（8375）2+（8875）2+（9275）2=131.5，标准差是sB=；=，sAsB，A、B两组的水平相当，但A组比B组成绩更集中些【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差与标准差的计算与应用问题，是基础题目21已知椭圆C：=1（ab0）的右顶点，上顶点分别为M、N，过其左焦点F作直线l垂直于x轴，且与椭圆在第二象限交于点P，=

30、（1）求证：a=；（2）若椭圆的弦AB过点E（2，0）并与坐标轴不垂直，设点A关于x轴的对称点A，直线A1B与x轴交于点R（5，0），求椭圆C的方程【考点】椭圆的简单性质 【专题】压轴题；方程思想；整体思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆方程得M、N的坐标，进一步求得，写出过椭圆左焦点F作直线l的方程：x=c，联立直线方程和椭圆方程，求得P的坐标，再求出的坐标由=可得b=c，结合a2=b2+c2得答案；（2）设椭圆方程为x2+2y2=2b2，设直线AB：y=k（x2），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，求出

31、A1（x1，y1），结合A1、B、R共线得，再结合根与系数关系求得b2=5则椭圆方程可求【解答】（1）证明：由椭圆方程C：=1（ab0）得M、N的坐标为M（a，0），N（0，b），则，又过椭圆左焦点F作直线l垂直x轴，设直线l方程：x=c，由，得P（c，），=（c，），由=，得，化简得b=c，由a2=b2+c2，得a=；（2）解：由（1），椭圆方程可设为x2+2y2=2b2，弦AB经过点E（2，0），并与坐标轴不垂直，设直线AB：y=k（x2），由，得（1+2k2）x28k2x+8k22b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则 点A关于x轴的对称点为A1，A1（x1，y1），由A1、B

32、、R共线得，又，（5x1）（y2）y1（5x2）=0，化简得2x1x2+20=7（x1+x2）将式代入中得解得b2=5椭圆方程为【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了直线和圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常联立直线方程和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系解题，该题（2）采用向量求解简化了运算量，该题是压轴题22已知函数f（x）=ax61nx在x=2处取得极值（1）求实数a的值；（2）g（x）=（x3）exm（e为自然对数的底数），若对任意x1（0，2），x22，3，总有f（x1）g（x2）0成立，求实数m的取值范围【考点】函数模型的选择与应用

33、；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】高考数学专题【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，即可求实数a的值；（2）对任意x1（0，2），x22，3，总有f（x1）g（x2）0成立，等价于f（x）maxg（x）min，求出最值，即可得到结论【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+）求导函数可得函数f（x）=ax61nx在x=2处取得极值，f（2）=0，即=0，a=2当a=2时，x（1，2）时，f（x）0；x（2，+），f（x）0函数f（x）在x=2处取得极值，a=2；（2）由（1）知，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）在（0，1）上是增函数；当x（1，2）时，f（x）0，f（x）在（1，2）上是减函数f（x）在（0，2）上的最大值为f（1）=2g（x）=（x3）exm，g（x）=（x2）ex0在2，3上恒成立g（x）在2，3上单调递增，其值域为e2m，m对任意x1（0，2），x22，3，总有f（x1）g（x2）0成立，f（x）maxg（x）min，2e2mm2e2【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，对任意x1（0，2），x22，3，总有f（x1）g（x2）0成立，转化为f（x）maxg（x）min，是解题的关键