2022版高中数学 第一章 数列 2 等差数列 综合拔高练（含解析）北师大版必修5.docx

1、综合拔高练五年高考练考点1等差数列的通项公式及性质1.(2016课标全国,3,5分,)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.972.(2020北京,8,4分,)在等差数列an中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2an(n=1,2,),则数列Tn()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项3.(2018北京,9,5分,)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.考点2等差数列的前n项和公式及其性质4.(2019课标全国,9,5分,)记Sn为等差数列an的前n项和.

2、已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n5.(2018课标全国,4,5分,)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.126.(2017课标全国,4,5分,)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.87.(2020全国理,4,5分,)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一

3、环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块8.(2020浙江,7,4分,)已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且a1d1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,nN+,下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b89.(2019课标全国,14,5分,)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则S10S5=.10.(2019江苏,8,5分,)已知数列an(nN

4、+)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.11.(2020全国新高考,14,5分,)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.考点3数列的求和12.(2017课标全国,17,12分,)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.三年模拟练一、选择题1.()已知数列an满足a1=15,且3an+1=3an-2.若akak+10,则正整数k=()A.24B.23C.22D.212.(2021山西大学附中高二上质检,)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=

5、1,若am+1+am+am-1=15,且Sm=27,则m的值是()A.7B.8C.9D.103.(2020湖北随州高二上期末,)有两个等差数列2,6,10,190和2,8,14,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序排列得到一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15B.16C.17D.184.(2020湖北恩施州高中教育联盟高二上期中,)已知等差数列an的前n项和Sn有最大值,且a2021a20200的最大正整数n的值为()A.4041B.4039C.2021D.20205.()若数列an2是等差数列,则称数列an为“等方差数列”,给出以下判断:常数列是等方差数列;若数列an是等方

6、差数列,则数列an2是等差数列;若数列an是等方差数列,则数列an2是等方差数列;若数列an是等方差数列,则数列a2n也是等方差数列.其中正确的序号为()A.B.C.D.6.(2020上海七宝中学高一下期中,)有一个三人报数游戏:首先A报数字1,然后B报两个数字2、3,接下来C报三个数字4、5、6,然后轮到A报四个数字7、8、9、10,依次循环,直到报出10000,则A报出的第2020个数字为()A.5979B.5980C.5981D.以上都不对二、填空题7.(2020安徽六安一中高一下期中,)设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,S9=-a5,则使得Snan成立的最大正整数n的值为.8.

7、(2020福建福州一中高二下质检,)在等差数列an中,首项a1=3,公差d=2,若某学生对其连续10项求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下9项的和为199,则此连续10项的和为.三、解答题9.()已知无穷等差数列an中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项数能被4除余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2;(2)求bn的通项公式;(3)bn中的第503项是an中的第几项?10.(2020江西南昌二中高一下月考,)已知正项数列an的前n项和Sn满足2Sn=an2+an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2n(n-1)nan(nN+),求数列bn的前n项和Tn;(3)是否存在实数使得

8、Tn+2Sn对nN+恒成立?若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.答案全解全析2综合拔高练五年高考练1.C由a1+a2+a9=27,得9a5=27,即a5=3,设an的公差为d,则a1+4d=3,a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,所以an=a1+(n-1)d=n-2,将n=100代入,得a100=100-2=98.故选C.2.B设等差数列an的公差为d,因为a1=-9,a5=-1,所以4d=a5-a1=-1-(-9)=8,解得d=2,所以等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-11,所以a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,an=

9、2n-11,且当n6时,an=2n-110恒成立.因为Tn=a1a2an(n=1,2,),所以T1=-9,T2=63,T3=-315,T4=945,T5=-945,当n6时,Tn=a1a2a3a4a5a6an0恒成立,且n越大,Tn的绝对值越大,因此,在数列Tn中,T4最大;当n6时,Tn0,b42b2b8,D不可能成立.故选D.9.答案4解析设等差数列an的公差为d,a2=3a1,a2=a1+d=3a1,d=2a1,S10=10a1+1092d=100a1,S5=5a1+542d=25a1,又a10,S10S5=4.10.答案16解析设数列an的公差为d,则(a1+d)(a1+4d)+a1+

10、7d=0,9a1+982d=27,解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+8722=16.11.答案3n2-2n解析数列2n-1的项为1,3,5,7,9,11,13,数列3n-2的项为1,4,7,10,13,数列an是首项为1,公差为6的等差数列,an=1+(n-1)6=6n-5,数列an的前n项和Sn=(1+6n-5)n2=3n2-2n.12.解析(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1),两式相减得(2n-1)an=2,所以an=22n-1(n2).又由题设可得a1=2,适合上式,所以an的通项公式为an=22n-1(

11、nN+).(2)设an2n+1的前n项和为Sn,由(1)知an2n+1=2(2n+1)(2n-1)=12n-1-12n+1,则Sn=11-13+13-15+12n-1-12n+1=2n2n+1.三年模拟练一、选择题1.B由已知得an+1-an=-23,所以数列an是以15为首项,-23为公差的等差数列,所以an=-23n+473,由此可知an为递减数列.所以由akak+10,ak+10,-23(k+1)+4730,解得22.5k23.5,又kN+,所以k=23.2.Can是等差数列,am-1+am+am+1=3am=15,am=5,Sm=m(a1+am)2=m(1+5)2=27,m=9.故选C

12、.3.B等差数列2,6,10,190的公差为4,等差数列2,8,14,200的公差为6,所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成的新数列的公差为12,首项为2,设该数列为an,则其通项公式为an=12n-10,由12n-10190,解得n503,而nN+,所以n的最大值为16,即新数列的项数为16.故选B.4.B因为等差数列an的前n项和Sn有最大值,所以d0.又a2021a20200,a20210,a2020+a20210,S4040=4040(a1+a4040)2=4040(a2020+a2021)20的最大正整数n的值为4039.5.B中,常数列既是等方差数列,又是等差数列,故正确

13、;中,an是等方差数列,an2-an-12=p(p为常数),得到an2是首项为a12,公差为p的等差数列,an2是等差数列,故正确,不正确;中,an是等方差数列,an2是等差数列,an+12-an2=an+22-an+12=an+32-an+22=a2n2-a2n-12=p,a2(n+1)2-a2n2=a2(n+1)2-a2n+12+a2n+12-a2n2=2p(p为常数),a2n是等方差数列,故正确.故选B.6.答案B信息提取A第n(nN+)次报数的个数为3n-2;B每次比A多报1个数,C每次比B多报1个数;求A报出的第2020个数字.数学建模以三人报数游戏为背景,建立等差数列模型,应用数列

14、模型解决求值问题.首先分析出A第n次报数的个数,得到A第n次报完数后总共报数的个数,计算出A是第n0次报数中会报到第2020个数字,再计算当A第n0次报数时三人总的报数次数m,再推算出此时报数的最后一个数Sm,再推出A报出的第2020个数字.解析由题可得A第n(nN+)次报数的个数为3n-2,则A第n次报完数后总共报数的个数Tn=n1+(3n-2)2=n(3n-1)2,令Tn2020,则n37,得T37=2035,而A第37次报数时,三人总共报数次数为363+1=109,当A第37次报完数时,三人总的报数个数Sm=1+2+3+109=109(109+1)2=5995,即A报出的第2035个数字

15、为5995,故A报出的第2020个数字为5980.故选B.二、填空题7.答案10解析设an的公差为d,则由S9=-a5,得9a1+982d=-(a1+4d),即a1+4d=0,a5=0,d0.满足Snan,即Sn-10成立的最大正整数n的值为10.8.答案220解析由题意知,数列an的通项公式为an=2n+1,设连续10项为ai+1,ai+2,ai+3,ai+10,iN,设漏掉的一项为ai+k,1k10,kN+,则由等差数列前n项和公式得,(ai+1+ai+10)102-ai+k=199,又因为ai+1=2i+3,ai+10=2i+21,ai+k=2i+2k+1,所以9i-k=40,即9i=40+k,因为1k10,所以419i50,即4419i509Sn对一切正整数n恒成立,即存在实数,使得2n+2n(n+1)(n+3)对一切正整数n恒成立,只需满足f(n);当1n2时,f(n+1)f(2)=815,f(3)=49f(4)f(5)f(6),当n=3时,f(n)取得最小值,最小值为f(3)=49,所以49.