2022版高中数学 第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模提升训练（含解析）北师大版必修1.docx

1、实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题 函数建模案例基础过关练题组一利用已知函数模型解决问题1.(2020江西南昌洪都中学期中)据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与第x年近似满足关系y=alog3(x+2),观测发现2015年冬(作为第1年)有越冬白鹤3000只,估计到2021年冬有越冬白鹤()A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只2.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x之间满足关系y=a0.5x+b,现已知该厂今年1月份,2月份分别生产该产品1万件,1.5万件,则此工厂3月份生产该产品万件.3.(2019湖南张家界高一期末联考)习近平总书记在十

2、九大报告中指出:“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”为落实好这一精神,某市环保局规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的45.(1)求函数P(t)的关系式;(2)要使污染物的含量不超过初始值的11000,至少需过滤几小时?(参考数据:lg20.3)题组二自建函数模型解决问题4.(2019四川成都实验中学高一期中)如图所示,点P在边

3、长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点.当点P沿路线A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图像大致是()5.已知光线每通过一块玻璃板强度就减弱10%,要使通过玻璃板的光线的强度不大于原来强度的13,则至少需要通过玻璃板的块数为()A.8B.9C.10D.116.(2020山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有()A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=47.(2020山东烟台高一期中)某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每

4、年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图像大致为()8.某公司拟投资100万元,有两种获利的方案可供选择.第一种方案是年利率为10%,按单利的方式计算利息,5年后收回本金和利息;第二种方案是年利率为9%,按复利的方式计算利息,5年后收回本金和利息,哪一种投资更有利?5年后,这种投资比另一种投资可多得利息多少万元?(不计利息税,参考数据:1.0941.4116,1.0951.5386,1.0961.6771)题组三拟合函数模型解决问题9.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律

5、,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=log12x10.(2019重庆涪陵高一调研)为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年,特发行黑山谷纪念邮票,从2017年11月1日开始上市.通过市场调查,得到该纪念邮票在一周内每张的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x(天)126市场价y(元)5210(1)分析上表数据,说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的变化关系,并判断y与x满足下列哪种函数关系:一次函数,二次函数

6、,对数函数,并求出函数的解析式;(2)利用你选取的函数,求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低价格.11.(2020广东仲元中学高一模拟)表中表示的是某款车的车速与刹车距离的关系,试分别就y=aekx(a0),y=axn(a0),y=ax2+bx+c(a0)三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟函数,根据最佳模拟函数求车速为120km/h时的刹车距离.车速(km/h)1015304050刹车距离(m)47121825车速(km/h)60708090100刹车距离(m)344354668012.(2020山东滕州一中高一上期末)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一

7、些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(xN)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k0,a1)与y=px12+q(p0)可供选择.(参考数据:21.414,31.732,lg20.3010,lg30.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1000倍.能力提升练一、选择题1.(2019福建

8、福安一中高一期中,)某企业制订奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩的员工给予奖励,奖励金额(元)满足f(n)=k(n)(n-500)(n为年销售额),而k(n)=0.3,500n1000,0.4,1000n2000,0.5,n2000,若一员工获得400元的奖励,那么该员工一年的销售额为()A.800B.1000C.1200D.15002.(2020北京丰台中学高一期中联考,)一种放射性元素,每年的衰减率是8%,那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于()A.lg0.50.92B.lg0.920.5C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.53.(2020湖南长沙宁乡

9、一中高一下质量检测,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+1004.(2020安徽芜湖高一上期末,)某单位为鼓励职工节约用水,有如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为()A.13立方米B.14立方米C.18立方米D.26立方米5.(2019

10、湖北宜昌一中高一上期中,)下图是一直角墙角,两边的长度足够长,P处有一棵树与两墙的距离分别是am、4m,其中0a12,不考虑树的粗细,现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为S(单位:m2),若将这棵树围在花圃内,则函数S=f(a)的图像大致是()二、填空题6.()一件商品的成本为20元,售价为40元时每天能卖出500件,若售价每提高1元,每天的销量就减少10件,则商家定价为元时,每天的利润最大.7.(2021山东烟台高一上联考,)依法纳税是每个公民应尽的义务.根据中华人民共和国个人所得税法,自2019年1月1日起,以居民个人每一纳税年度的综合所得收

11、入额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额作为应纳税所得额,按照百分之三至百分之四十五的超额累进税率(见下表),计算个人综合所得个税:级数全年应纳税所得额税率(%)1不超过36000元的32超过36000元至144000元的部分103超过144000元至300000元的部分204超过300000元至420000元的部分255超过420000元至660000元的部分306超过660000元至960000元的部分357超过960000元的部分45若小王全年缴纳的综合所得个税为1380元,其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%,专项附加扣除和依法确定的其他扣除为500

12、00元,则小王全年综合所得收入额为元.三、解答题8.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,经研究发现,鲑鱼的游速可以表示为函数v=12log3100,单位是m/s,表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数;(3)某条鲑鱼若把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?9.()如图,已知底角为45的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为22cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分

13、成两部分,令BF=xcm,试写出直线l左边阴影部分的面积y(cm2)与x(cm)的函数解析式.10.(2020山东菏泽高一上期末联考,)为了预防某流感病毒,某学校对教室进行药熏消毒,室内每立方米空气中的含药量y(单位:毫克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示,在药物释放的过程中,y与x成正比;药物释放完毕后,y与x的函数关系式为y=116x-a(a为常数).根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式;(2)根据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?1

14、1.(2019四川成都外国语学校高一上期中,)习总书记在十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属炼化等)的产能过剩,严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从 2018 年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0x1).(1)设n年后(2018 年记为第1年)年产能为 2017 年的a倍,请用a,n表示x;(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?(参考数据:lg20.301,lg30.477)

15、12.()某航天有限公司试制一种仅由金属A和金属B组成的合金,现已试制出这种合金400克,它的体积为50立方厘米,已知金属A的密度d每立方厘米小于9克,每立方厘米大于8.8克;金属B的密度约为每立方厘米7.2克.(1)试用d分别表示出此合金中金属A、金属B克数的函数关系式;(2)求已试制出的这种合金中金属A、金属B克数的取值范围.答案全解全析第四章 函数应用2实际问题的函数建模第2.1实际问题的函数刻画第2.2用函数模型解决实际问题第2.3函数建模案例基础过关练1.C4.A5.D6.D7.D9.B1.C当x=1时,由3000=alog3(1+2),得a=3000,所以到2021年冬,即当x=7

16、时,有3000log3(7+2)=6000(只).故选C.2.答案1.75解析由题意得1=0.5a+b,1.5=0.25a+b,解得a=-2,b=2,y=-20.5x+2,3月份该产品的产量为-20.53+2=1.75(万件).3.解析(1)根据题意,得45P0=P0e-k,易知P00,e-k=45,P(t)=P045t.(2)由P(t)=P045t11000P0,得45t11000,两边同时取以10为底的对数,并整理,得t(1-3lg2)3,t30.因此,至少需过滤30小时.4.A由题意得,当0x1时,SAPM=121x=12x;当1x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=12

17、1+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34;当2xy1,按第二种方案投资更有利.y2-y1153.86-150=3.86(万元),5年后,按第二种方案投资比按第一种方案投资可多得利息3.86万元.9.B由题中表格可知函数在(0,+)上是增函数,且增长速度越来越快,分析选项可知B符合,故选B.10.解析(1)由题表知,市场价y随上市时间x的增大先减小后增大.模型均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数.设y=ax2+bx+c(a,b,c均为常数且a0),由题表中数据可知a+b+c=5,4a+2b+c=2,36a+6b+c=10,解得a=1,b=-6,c=10,y=x2-6x

18、+10(xN*).(2)由(1)知y=x2-6x+10=(x-3)2+1,当x=3时,黑山谷纪念邮票市场价最低,最低为1元/张.故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市时间为第3天,最低价格为1元/张.11.解析若以y=aekx(a0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得ae10k=4,ae40k=18,解得k0.050136,a2.4228,y=2.4228e0.050136x,以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时的刹车距离分别为220.8m,364.5m,与实际数据相比,误差较大.若以y=axn(a0)为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关

19、系式,得a10n=4,a40n=18,解得n1.085,a0.3289,y=0.3289x1.085,以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时的刹车距离分别为43.39m,48.65m,与实际数据相比,误差也较大.若以y=ax2+bx+c(a0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数关系式,得a102+b10+c=4,a402+b40+c=18,a602+b60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2,y=1150x2+215x+2,以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时的刹车距离分别为68m,82m,与前两个函数相比,此函数更

20、符合实际情况.故最佳模拟函数为y=1150x2+215x+2.当x=120时,y=114,即当车速为120km/h时,刹车距离为114m.12.解析(1)y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p0)的增长速度越来越慢,由题可知应选y=kax(k0,a1).由题意得ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,y=832x(xN).(2)当x=0时,y=8.设经过n个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1000倍.所以832n=81000,解得n=log321000=lg1000lg32=3lg3-lg217.04.原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月

21、,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1000倍.能力提升练1.D2.C3.C4.A5.C一、选择题1.D根据题意,奖励金额f(n)可以看成关于年销售额n的函数,那么该问题就是已知函数值为400时,求自变量n的值的问题.根据题中所给的函数关系式可算得n=1500,故选D.2.C由题意知a(1-8%)t=a2,即(1-8%)t=12,等式两边取对数得lg0.92t=lg0.5,即tlg0.92=lg0.5,t=lg0.5lg0.92,故C选项正确.3.C对于A,当x=3或x=4时,y=300或y=400,与实际值相差较大;对于B,当x=3或x=4时,y=400或y=700,与实际值相差也较大;

22、对于C,当x=1,2,3时,与实际值相差为0,当x=4时,与实际值相差为10,误差很小;对于D,当x=4时,y=300,与实际值相差很大.故选C.4.A设职工的用水量为x立方米,需要缴水费f(x)元,当0x10时,f(x)=mx,当x10时,f(x)=10m+(x-10)2m=2mx-10m,即f(x)=mx,0x10,2mx-10m,x10,据此分类讨论:当0x10时,mx=16m,解得x=16,不符合题意,舍去;当x10时,2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.故该职工这个月实际用水为13立方米.5.C设AD长为xm,则CD长为(16-x)m. 因为要将P点围在矩形ABCD内,所

23、以ax12,矩形ABCD的面积为y=x(16-x)=-(x-8)2+64.若0a8,则当且仅当x=8时,S=ymax=64;若8a12,则y=-(x-8)2+64在a,12上递减,因此S=ymax=a(16-a).所以S=64,0a8,a(16-a),8a12. 画出分段函数的图像,可得其形状与C接近,故选C.二、填空题6.答案55解析设每天的销售利润为y元,售价提高x元,则销量为(500-10x)件,故y=(40+x)-20(500-10x)=-10(x-15)2+12250,当x=15时,y取得最大值,故定价为55元时,每天的利润最大.7.答案186250信息提取全年应纳税分七种情况;小王

24、全年缴纳的综合所得个税为1380元,其中专项扣除占全年综合所得收入额的20%,专项附加扣除和依法确定的其他扣除为50000元.数学建模本题以个人所得税为背景,构建分段函数模型,利用函数知识解决实际问题.求解时只需对照题中表格,将全年收入分段纳税,便可得到相应的方程,解之即可.解析若全年应纳税所得额恰好为36000元,则应缴纳个税为360003%=1080(元);若全年应纳税所得额恰好为144000元,则应缴纳个税为1080+(144000-36000)10%=11880(元).因为108013800.1.(2)令116x-0.10.25,即142x-0.21,解得x0.6.故至少需要经过0.6

25、小时后,学生才能回到教室.11.解析(1)设2017年的年产能为1,则第1年后的年产能为1(1-x)=1-x;第2年后的年产能为(1-x)(1-x)=(1-x)2;第n年后的年产能为(1-x)n.依题意得(1-x)n=a,因此x=1-a1n.(2)当x=10%时,n年后的年产能为(1-10%)n.依题意,得(1-10%)n25%,即0.9n0.25,两边取对数得nlg0.9lg0.25,化简,得nlg0.25lg0.9=-2lg22lg3-113.09,故14年后,即至少到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.12.解析(1)设此合金中含金属Ax克,金属By克,则x+y=400,xd+y7.2=50,解得x=40dd-7.2,y=360(d-8)d-7.2(8.8d9).(2)x=40dd-7.2=401+7.2d-7.2在(8.8,9)上是减函数,200x220.又y=360(d-8)d-7.2=3601-0.8d-7.2在(8.8,9)上是增函数,180y200.