河北省石家庄正定中学2021届高三数学上学期第二次半月考试题（含解析）.doc

1、河北省石家庄正定中学2021届高三数学上学期第二次半月考试题（含解析）(考试时间:120分钟 分值:150分)一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，1-8题为单选题，912为多选题)1. 若集合，函数的定义域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合A和集合B，即可求出交集【详解】的定义域为，满足，即，故选：A.【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，属于基础题.2. “，或”的否定是（ ）A. ，且B. ，且C. ，或D. ，或【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得答案.【详解】由题意，命题“，或”的否定是“，且

2、”.故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=的共轭复数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据欧拉公式，代入可得复数，化简后由共轭复数定义即可得.【详解】欧拉公式，则，根据共轭复数定义可知，故选：A.【点睛】本题考查了数学文化与简单应用，复数的相关概念和共轭复数

3、定义，属于基础题.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数单调性得到，幂函数的单调性得到，进而得到a，b的关系，再利用“1”与c比较.【详解】因为，且，故，而，所以故选：C【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5. 已知平面，和直线，下列命题中错误的是（ ）A. 若，则B. 若，则存在，使得C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A正确；根据线面平行的判定定理可知B正确；根据面面垂直的性质定理可知C正确；根据线面垂直的判定定理可知D错误【详解】对于A，因为，所以存在直线a，使a

4、，又，所以a，有，正确；对于B，设m，则在平面内存在不同于直线m的直线l，满足lm，根据线面平行的判定定理可知，l，正确；对于C，过直线l上任意一点作直线m，根据面面垂直的性质定理可知，m既在平面又在平面内，所以直线l与直线m重合，即有l，正确；对于D，若，l，则l不一定成立，D错误故选：D【点睛】本题主要考查线面位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题6. 已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个

5、传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（ ）A. 243B. 248C. 363D. 1092【答案】D【解析】【分析】可知每轮传播人数是等比数列，先求出传播指数RO，即可由等比数列前6项和得出【详解】记第1轮感染人数为，第2轮感染人数为，第轮感染人数为，则数列是等比数列，公比为，由题意，即，所以，总人数人.故选：D【点睛】本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，从第一轮开始每

6、轮传播的人数为数列的项，问题就是求等比数列的前6项和7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角，已知条件化为，这样可得，代入，应用切化弦公式及诱导公式可得结论【详解】由已知，设，且为锐角，则，即，故选：A【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法8. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，由抛物线的定义可得再根据勾股定理及不等式求出数值，代入化简即得答案【详解】

7、设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义可得，因为为线段的中点，所以 ，又，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为，故选B【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题9. 已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】ABD【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再根据条件分析集合间包含关系，进行求解得选项【详解】因为，条件，所以p对应的集合为；因为条件，所以当时，q对应的集合为；当时，q对应的集合为；当时，q对应的集合为； 因为p是q的

8、充分不必要条件，所以AB，所以当时，q对应的集合为，此时满足AB，故满足题意；当时，q对应的集合为，此时满足AB，需，解得；当时，q对应的集合为，此时满足AB，故满足题意；所以实数a的取值范围是：.故选：ABD【点睛】本题考查集合包含关系，以及简易逻辑，属于中档题10. 如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有（ ）A. 直线与平面平行B. 直线与直线垂直C. 线段与线段长度相等D. 与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】连接，利用线面平行的判定定理判断A；设的中点为，连接，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的

9、性质得出为直角三角形，求出的长度，利用余弦定理得出与所成角的余弦值，证明不是直角，从而得出不是等腰三角形，从而判断CD.【详解】如图，连接，易知，由线面平行的判定定理得面，正确.在菱形中，为等边三角形.设的中点为，连接，则，由线面垂直的判定定理得出平面，B正确.平面平面，由面面垂直的性质可得为直角三角形设，则，.在中，可得故异面直线与所成角的余弦值为在中，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误，D正确故选：ABD【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.11. （多选题）函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若把函数的图像向左平移个单位，则所

10、得函数是奇函数C. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数D. ，若恒成立，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图像可得，进而求出，再利用最值与特殊值可求出解析式，即可判断A；利用图像的平移伸缩变换可判断B；通过函数的平移伸缩变换求出变换后的解析式，根据正弦函数的单调区间整体代入即可判断C；不等式化为，利用三角函数的性质求出即可判断D.【详解】如图所示：，所以，即，（），（），故A正确；把的图像向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，在上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，则， ，的最小值为，

11、故D正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式、三角函数的平移伸缩变换、三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.12. （多选题）已知函数，函数，下列选项正确的是（ ）A. 点是函数的零点B. ，使C. 函数的值域为D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】BC【解析】【分析】根据零点的定义可判断A；利用导数判断出函数在、上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断D.【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误.对于选项B，当时，可得，当时，单调递减；当

12、时，单调递增；所以，当时， ，当时， 当时，单调递减；当时，单调递增； 图像 所以，当时， ，综上可得，选项B正确；对于选项C，选项C正确.对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有两个不相等的实数根关于的方程有一个非零的实数根函数与有一个交点，且，当时，当变化时，的变化情况如下：00极大值极小值极大值，极小值，当时，当变化时，的变化情况如下： 12 0 极小值极小值， 图像综上可得，或，的取值范围是，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若，满足约束

13、条件，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】作出可行域，根据图形得到最优解，将最优解代入目标函数可得结果.【详解】根据约束条件作出可行域，如图：联立，解得，所以，根据可行域可知最优解为，代入可得.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，属于基础题.14. 已知向量，向量与的夹角为，且，则_.【答案】1【解析】【分析】利用向量模的坐标表示求出，再将两边平方，利用向量的数量积即可求解.【详解】由，则 因为，两边平方可得，整理可得，解得.故答案为：1【点睛】本题考查了利用向量数量积的定义求向量的模，向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 在等腰直角三角形中，D为的中点，将

14、它沿翻折，使点A与点B间的距离为，此时四面体的外接球的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据条件找到截面圆半径与外接球半径的关系，即可建立关系求解.【详解】翻折前，因为是等腰三角形且， 所以，所以，翻折后，设底面三角形外接圆半径为，由余弦定理得，所以,由正弦定理得，解得，因为是等腰三角形且为的中点，所以在四面体中，平面，所以CD所在球的截面图如图所示，O为球心，所以外接球半径，解得，外接球体积.故答案为：.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球问题，关键是建立关系找出半径.16. 若数列满足，且对任意都有，则的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】根据题意，分析数列的前5项，结合递推公式分析可得

15、在在中，最大为，设，分析可得，且，将其变形可得，可以得到数列是首项为2，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列通项公式，则有，据此分析恒成立可得答案【详解】解：根据题意，数列满足当时，有，则，分析可得：在中，最大为，设，则有，且，变形可得：，所以数列是首项为682，公比为的等比数列，则，则，即，又为递增数列，且，所以若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8；故答案为8【点睛】本题考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题.三解答题（本题共6小题，共70分）17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求B；（2）若，AD为BC边上的

16、中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理及可得，从而得到；（2）在中，利用余弦定可得，而，故当时，的面积取得最大值，此时，在中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1）由正弦定理及已知得，结合，得，因为，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因为，所以，当且仅当时，的面积取得最大值，此时.在中，由余弦定理得.即.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.18. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由.已知数列为等比数列，数列首项其前项和

17、为， ，是否存在，使得对任意恒成立.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件性选择见解析，存在，使得对任意恒成立.【解析】【分析】由数列为等比数列可得，通过，整理可得进而求出的通项公式，求出，利用单调性可判断；由可知为等比数列，求出的通项公式，求出，利用单调性可判断；由可知是等差数列，求出的通项公式，求出，利用作差法求最大项即可判断.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以 故 则两式相减整理得又 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以所以 由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，所以不存在，使得对任意恒成立. 由知数列是首项为1，公比为的等比数列，所以 所以

18、因为当且仅当时取得最大值 所以存在，使得对任意恒成立. 由可知是以为公差的等差数列， 又，所以设则所以当时，当时，则所以存在，使得对任意恒成立.【点睛】本题主要考查了数列求和、不等式恒成立问题，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，难度适中，属于中档题.19. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级，1（优216252（良510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中

19、点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有多少的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：.【答案】（1）概率分别为：，；（2）350；（3）填表见解析；有的把握认为锻炼的人次与该市的空气质量有关.【解析】【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）利用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得得答案；（3）完善列联表，由公式计算卡方的值，从而查表即可，【详

20、解】解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：；该市一天空气质量等级为2的概率为：；该市一天的空气质量等级为3的概率为：；该市一天的空气质量等级为4的概率为：；（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为：；（3）根据所给数据，可得下面的列联表， 人次 人次 总计 空气质量好 33 3770 空气质量不好 22 8 30 总计 5545100由表中数据可得：，所以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关【点睛】本题考查了独立性检验与频率估计概率，估计平均值的求法，属于中档题20. 已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面（1）证明：

21、 ；（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）连结交于点，连结由题意可证得平面，则由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：连结交于点，连结因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以因为平面， 平面，且平面平面，所以，所以（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系

22、，设，则，所以记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以， 记二面角的大小为，则所以二面角的余弦值为 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点.【解析】【分析】（1）根据离心率可得，再由三角形的面积，求出即可求解. （2）设方程为，将直线与椭圆方程联立，由

23、直线斜率之和为0，结合韦达定理可得，代入直线方程即可求解.【详解】（1）设，则，设，则， 解得.所以椭圆的方程为.（2）设方程，联立，得，因为关于轴对称的两条不同直线的斜率之和为0，即，即，得，即，解得：.直线方程为：，所以直线过定点.【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.22. 已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）若，试讨论函数在上的零点个数.【答案】（1）当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值；（2）当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点【解析】【分析】（1）把代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求【详解】（1）当时 ，令得或，得所以函数在上单调递减，在，上单调递增所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，（2），令得或 因为，所以，所以当 ，即时，在上单调递减，若函数有零点，则，解得：，若函数无零点，则，即当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，由于，令，令，则，所以在上递减，即，所以在上递增， ，即，所以在上没有零点，综上，当时，在上有唯一零点，当时，在上没有零点【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题