广东省广州市2018-2022年近五年中考数学试卷Word版附答案.docx

1、2018 年广东省广州中考数学一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的）1四个数 0，1，122，中，无理数的是() A2B1C 1 2D02. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有()A1 条B3 条C5 条D无数条3. 如图所示的几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是()A. BCD4. 下列计算正确的是()A (a + b)2 = a2 + b2B a2 + 2a2 = 3a4C x2 y 1 = x2 (y 0)yD (-2x2 )3 = -8x65 如图， 直线 AD ， BE 被直线 B

2、F 和 AC 所截， 则 1 的同位角和 5 内错角分别是A 4 ， 2B 2 ， 6C 5 ， 4D 2 ， 46. 甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2；乙袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2从两个口袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是() A 1 2B. 13C. 14D. 167. 如图， AB 是eO 的弦， OC AB ，交eO 于点C ，连接OA ， OB ， BC ，若ABC = 20 ，则AOB 的度数是( ) A 40 B 50 C 70D 808. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄

3、金九枚，白银一十一枚，称之重适等交易其一，金轻十三两问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计）问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得( )(10 y + x) - (8x + y) = 13A 11x = 9 yB 10 y + x = 8x + y9x + 13 = 11y(8x + y) - (10 y + x) = 13C 9x = 11yD 9x = 11y(10 y + x) - (8

4、x + y) = 139. 一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y = a - b 在同一直角坐标系中的大致图象是()xA B C D 10. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上， 向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m 其行走路线如图所示，第 1 次移动到 A1 ，第 2 次移动到 A2 ，第n 次移动到 An 则 OA2 A2018 的面积是()A 504m2B 1009 m22C 1011 m22D1009m2二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11. 已知二次函数 y = x2 ，当 x 0 时， y

5、 随 x 的增大而（填“增大”或“减小” ) 12. 如图，旗杆高 AB = 8m ，某一时刻，旗杆影子长 BC = 16m ，则tan C =13. 方程 1 =4的解是 xx + 614. 如图，若菱形 ABCD 的顶点 A ， B 的坐标分别为(3, 0) ， (-2, 0) ，点 D 在 y 轴上，则点C 的坐标是a2 - 4a + 415. 如图，数轴上点 A 表示的数为a ，化简： a +=16. 如图，CE 是Y ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与 DA 的延长线交于点 E 连接 AC ， BE ， DO ， DO 与 AC 交于点 F ，则下列结论：四边

6、形 ACBE 是菱形； ACD = BAE ； AF : BE = 2 : 3 ； S四边形AFOE : SDCOD = 2 : 3 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分.）2x -1 0 18. 如图， AB 与CD 相交于点 E ， AE = CE ， DE = BE 求证： A = C 19. 已知T =a2 - 9a(a + 3)2+6a(a + 3)（1）化简T ；（2）若正方形 ABCD 的边长为a ，且它的面积为 9，求T 的值20. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生为了解某小区居民使用共享单车的情况，

7、某研究小组随机采访该小区的 10 位居民，得到这 10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9（1） 这组数据的中位数是，众数是；（2） 计算这 10 位居民一周内使用共享单车的平均次数；（3） 若该小区有 200 名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数21. 友谊商店 A 型号笔记本电脑的售价是a 元/ 台最近，该商店对 A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过 5 台，每台按售价销售；若超过 5 台，超过的部分每台按售价的八折销售某公司一次性从友谊商店购买 A 型号笔记本

8、电脑 x 台（1） 当 x = 8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？（2） 若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围 22设 P(x, 0) 是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离为 y1 （1） 求 y1 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象；（2） 若反比例函数 y= k 的图象与函数 y 的图象相交于点 A ，且点 A 的纵坐标为 22x1求k 的值；结合图象，当 y1 y2 时，写出 x 的取值范围23. 如图，在四边形 ABCD 中， B = C = 90 ， AB CD ， AD = AB + CD （1） 利用尺规作ADC 的平分线 DE

9、 ，交 BC 于点 E ，连接 AE （保留作图痕迹，不写作法）；（2） 在（1）的条件下，证明： AE DE ；若CD = 2 ， AB = 4 ，点 M ， N 分别是 AE ， AB 上的动点，求 BM + MN 的最小值24. 已知抛物线 y = x2 + mx - 2m - 4(m 0) （1）证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ，B （点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点C ， A ，B ， C 三点都在eP 上试判断：不论m 取任何正数， eP 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若

10、点C 关于直线 x = - m 的对称点为点 E ，点 D(0,1) ，连接 BE ， BD ， DE ，DBDE 的周长记为2l ， eP 的半径记为r ，求 l 的值r25. 如图，在四边形 ABCD 中， B = 60 ， D = 30 ， AB = BC （1）求A + C 度数；（2）连接 BD ，探究 AD ， BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AB = 1 ，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE2 = BE2 + CE2 ，求点 E 运动路径长度参考答案1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 D 8 D 9 A 10 A 11增大1

11、2 1 13 x = 2 14 (-5, 4) 1521622x - 1 0，解不等式，得 x -1 ，解不等式，得 x 2 ，不等式，不等式的解集在数轴上表示，如图，原不等式组的解集为-1 x 5 ，方案一：w = 90%ax = 0.9ax ，方案二：当 x 5 时，w = 5a + (x - 5)a 80% = 5a + 0.8ax - 4a = a + 0.8ax ， 则0.9ax a + 0.8ax ， x 10 ， x 的取值范围是 x 10 22. 解：（1）由题意 y1 =| x | 函数图象如图所示：（2）当点 A 在第一象限时，由题意 A(2, 2) ， 2 = k ， k

12、 = 4 2同法当点 A 在第二象限时， k = -4 ，观察图象可知：当k 0 时， x 2 时， y1 y2 或 x y2 当k 0 时， x y2 或 x 0 时， y1 y2 23. 解：（1）如图， ADC 的平分线 DE 如图所示（2）解法一：在 DA 上截取 DG = CD ，连接GE ，由（1）知GDE = CDE ， 又 DE = DE ， DGDE DCDE ，DGE = C = 90 ， DEC = DEC ，在DAGE 和DABE 中， AGE = ABE = 90 ，而 AD = AG + DG = AB + CD ， DG = CD ， AG = AB ，又 AE

13、= AE ， RtDAEG RtDAEB AEG = AEB ，DEG + AEG = DEC + AEB = 90 ， 即AED = 90 ，故 AE DE 解法二：延长 DE 交 AB 的延长线于 F Q CD / / AF ， CDE = F ，Q CDE = ADE ，ADF = F ， AD = AF ，Q AD = AB + CD = AB + BF ， CD = BF ，Q DEC = BEF ， DDEC DFEB ， DE = EF ，Q AD = AF ， AE DE 作点 B 关于 AE 的对称点 K ，连接 EK ，作 KH AB 于 H ， DG AB 于G 连接 M

14、K Q AD = AF ， DE = EF ， AE 平分DAF ，则DAEK DAEB ， AK = AB = 4 ，AD2 - AG22在RtDADG 中， DG = 4，4 2Q KH / / DG ， KH = AK ， KH = 4 ， KH = 8 2 ，DGAD63Q MB = MK ， MB + MN = KM + MN ，当 K 、M 、 N 共线，且与KH 重合时， KM + MN 的值最小，最小值为KH 的长，8 23 BM + MN 的最小值为 24解：（1）令 y =0，x2 +mx-2m-4=0， = m2 - 4-2m - 4 = m2 + 8m +16 ，Q m

15、 0 ， 0 ，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；（2）令 y =0，x2 +mx-2m-4=0，(x -2)x +(m+ 2) = 0 ， x = 2 或 x = -(m+2) ，A(2,0) ， B(-(m + 2) ， 0) ， OA = 2 ， OB = m + 2 ，令 x = 0 ，y = -2(m+ 2)，C(0 ， -2(m+2) ，OC =2(m+2)，通过定点(0,1) 理由：如图，Q点 A ， B ， C 在eP 上， OCB = OAF ，在RtDBOC 中， tan OCB = OB = m + 2 = 1 ， OC2(m + 2)2在RtDAOF 中， tanO

16、AF = OF = OF = 1 ， OF = 1 ，OA22点 F 的坐标为(0,1) ；如图 1，由知，点 F(0,1)，QD(0,1) ，点 D 在eP 上，Q点 E 是点C 关于抛物线的对称轴的对称点， DCE = 90 ， DE 是eP 的直径， DBE = 90 ，Q BED = OCB ，tanBED = 1 ，2设 BD = n ，在RtDBDE 中， tan BED = BD = n = 1 ，BEBE2BD2 + BE2 BE = 2n ，根据勾股定理得， DE = 5n ，l = BD + BE + DE = (3 +5)n ， r = 1 DE =5 n ， l = (

17、3 +5)n = 10 + 6 5 22r5 n5225解：（1）如图 1 中，在四边形 ABCD 中，Q A + B + C + D = 360 ， B = 60 ， C = 30 ， A + C = 360 - 60 - 30 = 270 （2） 如图 2 中，结论： DB2 = DA2 + DC2 理由：连接 BD 以 BD 为边向下作等边三角形DBDQQABC = DBQ = 60，ABD = CBQ ，Q AB = BC ， DB= BQ，DABD DCBQ ，AD =CQ ， A = BCQ ，QA+BCD=BCQ+BCD= 270，DCQ=90，DQ2 = DC2 + CQ2 ，

18、QCQ = DA， DQ = DB ，DB2 = DA2 + DC2 （3） 如图 3 中，连接 AC ，将DACE 绕点 A 顺时针旋转60 得到DABR ，连接 RE 则DAER 是等边三角形，QEA2 = EB2 + EC2 ， EA = RE ， EC = RB ， RE 2 = RB 2 + EB 2 ， EBR = 90 ， RAE + RBE = 150 ， ARB + AEB = AEC + AEB = 210 ， BEC = 150 ，点 E 的运动轨迹在O 为圆心的圆上，在eO 上取一点 K ，连接 KB ， KC ， OB ， OC ，Q K + BEC = 180 ，

19、K = 30 ， BOC = 60 ，Q OB = OC ， DOBC 是等边三角形，点 E 的运动路径= 60gpg1 = p18033. 如图 1 ， 有一斜坡 AB， 坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30m， 斜坡tan BAC =2 ，则次斜坡的水平距离 AC 为（）5（A）75m（B）50m（C）30m（D）12m4. 下列运算正确的是（）1 21（A）-3-2=-1（B） 3-= -（C） x3 x5= x15（3 35. 平面内，O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作O 的（A）0 条（B）1 条（C）2 条（D）无数条6. 甲、乙二人做某种机械零件，已

20、知每小时甲比乙少做 8 个，甲做 12150 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下列方程正确的是（A） 120 = 150（B）120 = 150（C）120 = 150（Dxx - 8x + 8xx - 8x7. 如图 2，平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的重点，则下列说法正确的是（ ）（A）EH=HG（B）四边形 EFGH 是平行四边形（C）ACBD （D） DABO 的面积是DEFO 的面积的 2 倍8. 若点 A(-1, y1) ，B(2, y2) ，C(3, y3) 在反比例

21、函数 y =6 的图像上，则x（A） y3 y2 y1（B） y2 y1 y3（C） y1 y3 y2（9.如图 3，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于则 AC 的长为（）53（A） 4（B） 4（C）10（D）8x - 812. 代数式1有意义时，x 应满足的条件是.13. 分解因式： x2 y + 2xy + y =.14. 一副三角板如图5 放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转a(0o a使得三角板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则a的度数为 15. 如图 6 放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为 2 的等腰直角三则该圆锥侧面展开

22、扇形的弧长为.（结果保留p）16. 如图 7，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动（不与点 A，点 F 在射线 AM 上，且 AF =2BE ，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC，E2ECF=45 DAEG 的周长为1+a2 BE 2 + DG 2= EG 2 DEAF 的面积的最大值 1 a28其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分。）x - y = 117. 解方程组： x + 3y = 918. 如图 8，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，DE=FE，FC AB，求证： DADE CFE不完

23、整的频数分布表和扇形统计图。频数分布表组别时间/小时频数/人数A 组0 t 12B 组1 t 2mC 组2 t 310D 组3 t 412E 组4 t 57F 组t 54请根据图表中的信息解答下列问题：（1） 求频数分布表中 m 的值；（2） 求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补统计图；（3） 已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生。21. （本小题满分 12 分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等业，据统计，目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底前的

24、 4 倍，到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座。（1） 计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？；（2） 按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平（1） 尺规作图：作弦 CD，使 CD=BC（点 D 不与 B 重合），连接 AD；作法）（2） 在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长。24.（本小题满分 14 分）如图 11，等边DABC 中，AB=6，点 D 在 BC 上，BD=4，点 E 为边 A 重合）， DCDE 关于 DE 的轴对称图形为DFDE .（1） 当点 F 在 AC 上时，求证：DF/AB

25、；（2） 设DACD 的面积为 S1，DABF 的面积为 S2，记 S=S1-S2，S 是否求出 S 的最大值；若不存在，请说明理由；（3） 当 B，F，E 三点共线时。求 AE 的长。25. （本小题满分 14 分）已知抛物线 G： y = mx2 - 2mx - 3 有最低点。（1） 求二次函数y = mx2 - 2mx - 3 的最小值（用含 m 的式子表示（2） 将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线 G1。经过探究发现线 G1 顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函数关系，求这个函数x 的取值范围；（3） 记（2）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图像交于点

26、P 纵坐标的取值范围。ADE = F所以在ADE 与CFE 中： DE = EFADECFE119、（1）化简得： a - b2（2）P= 220.（1）m=5(2)B 组的圆心角是 45，C 组的圆心角是 90.(3)恰21、（1）6（2）70%5222、（1）m=-2,n=1（2）A（1，-2）（3）512423、（1）利用尺规作图（2） 524、（1）由折叠可知：DF=DC，FED=CED=60 又因为A=60所以 BFAB36 - 3（2）存在，S 最大为：3（3）AE = 8 - 225、（1）-3-m（2）y= -x -2（x1）2020 年广州市中考数学第一部分选择题（共 30

27、分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1. 广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15233000 人次. 将 15233000 用科学记数法表示应为（）A. 152.33105B. 15.233106C. 1.5233107D. 0.152331082. 某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每人选一种），绘制了如图的条形统计图，根据图中的信息，学生最喜欢的套餐种类是（）A. 套餐一B. 套餐二C. 套餐三D. 套餐四aa3. 下列运算正确的是（）aba + bA. +=B. 2a 3= 6C.

28、x5 x6 = x30D. (x2 )5 = x104. DABC 中，点 D, E 分别是DABC 边 AB ，AC 中点，连接 DE ，若C = 68 ，则AED =（）A. 22B. 68C. 96D. 1125. 如图所示的圆锥，下列说法正确的是（）A. 该圆锥的主视图是轴对称图形B. 该圆锥的主视图是中心对称图形C. 该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6. 一次函数 y = -3x +1 的图象过点(x1,y1 ) ， ( x1 +1, y2 )， ( x1 + 2, y3 )，则（）A. y1 y2 y3B. y3

29、 y2 y1C. y2 y1 y3D. y3 y1 y27. 如图，RtDABC 中，C = 90 ，AB = 5 ，cos A = 4 ，以点B 为圆心，r 为半径作eB ，当r = 35时， eB 与 AC 的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定8. 往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB = 48cm ，则水的最大深度为（）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm9. 直线 y = x + a 不经过第二象限，则关于 x 的方程ax2 + 2x +1 = 0 实数解的个数是（）.A. 0 个B. 1 个C. 2 个

30、D. 1 个或 2 个10. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点O ， AB = 6 ， BC = 8 ，过点O 作OE AC ，交 AD 于点 E ，过点 E 作 EF BD ，垂足为 F ，则OE + EF 的值为（）A. 48 5B. 32 5C. 24 5第二部分 非选择题（共 120 分）D. 12 5二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11. 已知A = 100，则A 的补角等于 2012. 计算：-=513. 方程x=3的解是x +12x + 214. 如图，点 A的坐标为(1, 3) ，点B 在 x 轴上，把DOAB 沿 x 轴向

31、右平移到DECD ，若四边形ABDC 的面积为 9，则点C 的坐标为15. 如图，正方形 ABCD 中，DABC 绕点A 逆时针旋转到DABC ，AB ，AC 分别交对角线 BD于点 E, F ，若 AE = 4 ，则 EF ED 的值为16. 对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位： mm ）9.9，10.1，10.0，若用a 作为这条线段长度的近以值，当a =mm 时， (a - 9.9)2 + (a -10.1)2 + (a -10.0)2 最小对另一条线段的长度进行了n 次测量，得到n 个结果（单位：mm ）x1 , x2 ,L, xn ，若用 x 作为这条线段长度

32、的近似值，当 x = mm 时， ( x - x )2 + ( x - x )2 +L+ ( x - x)2 最小12n三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分）2x -1 x + 217. 解不等式组： x + 5 0) 的图象经过点 A(3, 4) 和点M x（1）求k 的值和点M 的坐标；（2）求YOABC 的周长22. 粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放市场今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降

33、50%（1） 求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；（2） 求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆23. 如图， DABD 中， ABD = ADB ）（1） 作点A 关于 BD 的对称点C ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹（2） 在（1）所作的图中，连接 BC ， DC ，连接 AC ，交 BD 于点O 求证：四边形 ABCD 是菱形；取 BC 的中点 E ，连接OE ，若OE = 13 ， BD = 10 ，求点 E 到 AD 的距离224. 如图，eO 为等边DABC 的外接圆，半径为 2，点D 在劣弧 $AB 上运动（不与点 A, B 重合），连接 DA ， DB ，

34、 DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线；（2）四边形 ADBC 的面积S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M , N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置， DDMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动， t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值125. 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线G : y = ax2 + bx + c (0 a 12) 过点 A(1, c - 5a)， B ( x , 3)，C ( x2 ,3) ，顶点D 不在第一象限，线段 BC 上有一点 E ，设

35、OBE 的面积为S1 ， OCE 的面积为 S ， S = S + 3 2122（1）用含a 的式子表示b ；（2）求点 E 的坐标；（3）若直线 DE 与抛物线G 的另一个交点 F 的横坐标为 6 + 3 ，求 y = ax2 + bx + c 在1 x 6 时a的取值范围（用含a 的式子表示）参考答案1. C2. A3. D4. B5. A6.B7.B8. C9. D10. C511. 8012.13. 3 214. (4，3)15. 1616. 10.0；.x1 + x2 +L+ xn n2x -1 x + 2 17. x + 5 2,不等式的解集为：x318. 75.19.520. （

36、1）中位数是 82，众数是 85；（2） 13.21. （1）k=12，M（6,2）；（2）2822. （1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元；（2）明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆23. （1）解：如图：点C 即为所求作的点；（2）证明： ABD = ADB ， AC BD ，又 AO = AO ， DABO DADO ； BO = DO ，又 AO = CO ， AC BD四边形 ABCD 是菱形；解：四边形 ABCD 是菱形， AO = CO ， BO = DO ， AC BD又 BD = 10 ， BO=5 ， E 为 BC 的中点， CE = BE ， AO

37、= CO ， OE 为DABC 的中位线， OE = 13 ， AB = 13 ，菱形的边长为 13，2 AC BD ，BO=5 在 RtDAOB 中，由勾股定理得：AO2 = AB2 - BO2 ，即：AO =132 - 52 =12 ， AC = 12 2 = 24 ,设点 E 到 AD 的距离为h ，利用面积相等得： 1 2410 = 13h ，2解得： h = 120 ，即 E 到 AD 的距离为120 131324. (1)ABC为等边三角形,BC=AC，$AC = B$C ,都为 1 圆，3AOC=BOC=120，ADC=BDC=60，DC 是ADB 的角平分线(2) 是如图，延长

38、 DA 至点 E，使得 AE=DB连接 EC，则EAC=180DACDBCAEDB，EACDBC,ACBC，EACDBC(SAS)，E=CDB=ADC=60，故EDC 是等边三角形，DC=x，根据等边三角形的特殊性可知 DC 边上的高为3 x2 S = S+ S= S+ S= S=1 x 3 x =3 x 2 (2 3 x 4) V DBCV ADCV EACV ADCVCDE224(3) 依次作点 D 关于直线 BC、AC 的对称点 D1、D2,根据对称性 CDMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2D1、M、N、D 共线时DMN 取最小值 t,此时 t=D1D2, 由对称有 D1C=D

39、C=D2C=x，D1CB=DCB，D2CA=DCA,D1CD2=D1CB+BCA+D2CA=DCB+60+DCA=120CD1D2=CD2D1=60，在等腰D1CD2 中,作 CHD1D2，则在 RtD CH 中，根据 30特殊直角三角形的比例可得 D H=3 CD =3 x ，21112同理 D H=3 CD =3 x t=D D = 3DC =23x x 取最大值时,t 取最大值2221 23即 D 与 O、C 共线时 t 取最大值,x=4所有 t 值中的最大值为425. 解：（1）把 A(1, c - 5a)代入： G : y = ax2 + bx + c (0 a 12)，c - 5a

40、 = a + b + c,b = -6a,（2）Qb = -6a, 抛物线为： y = ax2 - 6ax + c (0 a 12), 抛物线的对称轴为： x = - -6a = 3,2aQ 顶点D 不在第一象限，顶点D 在第四象限，如图，设x1 x2 ,记对称轴与 BC 的交点为 H ，则 BH = CH , SVOBH = SVOCH ,Q S = S + 3 ，S+ S= S- S+ 3 , S= 3 , 1 EH 3 = 3 , EH = 1 ,122VOBHVOHEVOCHVOHE2VOHE4242 E 7 , 3, 2当x x , 同理可得： E 5 , 3.综上： E 7 , 3

41、 或 E 5 , 3.12 2 2 2（3）Q y = ax2 - 6ax + c = a (x - 3)2 + c - 9a, D (3, c - 9a ), 7当 E 2 , 3 ，设 DE 为： y = kx + b, 7 k + b = 3 2k = 6 - 2c +18a解得： b = 7c - 63a -18 y = ax2 - 6ax + c3k + b = c - 9a DE 为 y = (6 - 2c +18a) x + 7c - 63a -18,消去 y 得： ax2 + (-6 + 2c - 24a) x - 6c + 63a +18 = 0, y = (6 - 2c +

42、18a ) x + 7c - 63a -18由根与系数的关系得： 3 + 6 + 3 = - -6 + 2c - 24a ,aa解得： c = 9a, y = ax2 - 6ax + 9a = a (x - 3)2 ,当 x = 1 时， y = 4a,当 x = 6 时， y = 9a,当 x = 3 时， y = 0 ，当1 x 6 时，有0 y 9a.当 E 5 , 3 ， D (3, c - 9a), 由于抛物线开口向上，情况不存在 2综上：当1 x 6 时，有0 y 9a.2021 年广东省广州市中考数学一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，满分 30 分）1. 下列四个选

43、项中，为负整数的是（）A0B0.5C D22. 如图，在数轴上，点 A、B分别表示 a、b，且 a+b0，若 AB6，则点 A表示的数为（） A3B0C3D6 3方程 的解为（）Ax6 Bx2 Cx2Dx64下列运算正确的是（）A|（2）|2B3+3 C（a2b3）2a4b6D（a2）2a24 5下列命题中，为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A（1）（2）B（1）（4）C（2）（4）D（3）（4）6. 为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，

44、在获得一等奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽到 2 名女学生的概率为（） A B C D 7. 一根钢管放在 V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若ACB60，则劣弧 AB的长是（） A8cmB16cmC32cmD192cm 8抛物线 yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与 y轴交于点（0，5），则当 x2时，y的值为（）A5B3C1D59. 如图，在 RtABC中，C90，AC6，BC8，将ABC绕点 A逆时针旋转得到ABC，使点 C落在 AB边上，连结 BB，则 sinBBC的值为（） ABCD10.

45、在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的顶点 A在函数 y （x0）的图象上，顶点 C在函数 y（x0）的图象上，若顶点 B的横坐标为，则点 A的坐标为（） A（，2）B（，）C（2，）D（，）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11. 代数式 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是12. 方程 x24x0 的实数解是 13. 如图，在 RtABC中，C90，A30，线段 AB的垂直平分线分别交 AC、AB于点 D、E，连接 BD若 CD1，则 AD的长为14. 一元二次方程 x24x+m0 有两个相等的实数根，点 A（x，y）、B（x，y）是反比例函1122数

46、 y上的两个点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”或“”或“”）15. 如图，在ABC中，ACBC，B38，点 D是边 AB上一点，点 B关于直线 CD的对称点为 B，当 BDAC时，则BCD的度数为16. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是边 BC上一点，且 BE3，以点 A为圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD于点 F、G，DF与 AE交于点 H并与A交于点 K，连结 HG、CH给出下列四个结论其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）（1）H是 FK的中点（2）HGDHEC（3）SAHG：SDHC9：16（4）DK三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分） 17解

47、方程组 18如图，点 E、F在线段 BC上，ABCD，AD，BECF，证明：AEDF19已知 A（）（1）化简 A；（2）若 m+n20，求 A的值20. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，统计得到次数123456人数12a6b2该 20 名 学 生 参 加 志 愿 者 活 动 的 次 数 如 下 ： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：（1） 表格中的 a，b；（2） 在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为；（3） 若该校初三年级共有 300 名学生，根据

48、调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数21. 民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”“广东技工”“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次（1） 若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则

49、李某的年工资收入增长率至少要达到多少？ 22如图，在四边形 ABCD中，ABC90，点 E是 AC的中点，且 ACAD（1） 尺规作图：作CAD的平分线 AF，交 CD于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2） 在（1）所作图中，若BAD45，且CAD2BAC，证明：BEF为等边三角形23. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：y x+4 分别与 x轴，y轴相交于 A、B两点，点 P（x，y）为直线 l在第二象限的点（1） 求 A、B两点的坐标；（2） 设PAO的面积为 S，求 S关于 x的函数解析式，并写出 x的取值范围；（3） 作PAO的外接圆C，延长 PC交C于

50、点 Q，当POQ的面积最小时，求C的半径24已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3（1） 当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2） 该抛物线顶点随着 m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3） 已知点 E（1，1）、F（3，7），若该抛物线与线段 EF只有一个交点，求该抛物线 顶点横坐标的取值范围25. 如图，在菱形 ABCD中，DAB60，AB2，点 E为边 AB上一个动点，延长 BA到点 F， 使 AFAE，且 CF、DE相交于点 G（1） 当点 E运动到 AB中点时，证明：四边形 DFEC是平行四边形；（2） 当 CG2 时，求 AE的长；（3）

51、 当点 E从点 A开始向右运动到点 B时，求点 G运动路径的长度参考答案1D2A3D4C5B6B7B8A9C10A11x612x10，x2413214153316解：（1）在ABE 与DAF 中，ABEDAF（SAS），AFDAEB，AFD+BAEAEB+BAE90，AHFK，由垂径定理，得：FHHK，即 H 是 FK 的中点，故（1）正确；（2） 如图，过 H 分别作 HMAD 于 M，HNBC 于 N，AB4，BE3，AE5，BAEHAFAHM，cosBAEcosHAFcosAHM，AH，HM ，HN4， 即 HMHN，MNCD，MDCN，HD，HC，HCHD，HGDHEC 是错误的，故（

52、2）不正确；（3） 过 H 分别作 HTCD 于 T，由（2）知，AM，DM，MNCD，MDHT，故（3）正确；（4）由（2）知，HF，DKDFFK ，故（4）正确 17解：，将代入得，x+（x4）6，x5，将 x5 代入得，y1，方程组的解为18证明：ABCD，BC在ABE 和DCF 中，ABEDCF（AAS）AEDF19解：（1）A（）（m+n）m+n；（2）m+n20，m+n2，当 m+n2时，Am+n（m+n）2620. 解：（1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得：a4，b5，（2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下： 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，

53、4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，4 出现的最多，有 6 次，众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数4，（3）30090（人）答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人21. 解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训 2x 万人次，依题意得：31+2x+x100，解得：x23（2）设李某的年工资收入增长率为 m，依题意得：9.6（1+m）12.48，解得：m0.3 30%答：李某的年工资收入增长率至少要达到 30%22（1）解：如图，图形如图所示（2）证明：ACAD，AF 平分CAD，CAFDAF

54、，AFCD，CAD2BAC，BAD45，BAEEAFFAD15，ABCAFC90，AEEC，BEAEEC，EFAEEC，EBEF，EABEBA15，EAFEFA15，BECEAB+EBA30，CEFEAF+EFA30，BEF60，BEF 是等边三角形23解：（1）直线 yx+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，当 x0 时，y4；当 y0 时，x8，A（8，0），B（0，4）；（2） 点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点，P（x，），SAPO2x+16（8x0）；S2x+16（8x0）；（3）A（8，0），B（0，4），OA8，OB4，在 RtAOB 中，由勾股定理得： AB

55、，在C 中，PQ 是直径，POQ90，BAOQ，tanQtanBAO， ，OQ2OP，SPOQ，当 SPOQ 最小时，则 OP 最小，点 P 在线段 AB 上运动，当 OPAB 时，OP 最小，SAOB，sinQsinBAO，PQ8，C 半径为 4 24解：（1）当 m0 时，抛物线为 yx2x+3，将 x2 代入得 y42+35，点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的顶点为（，），化简得（，而），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，（m3）2+5，m3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：（2，5）；（3） 设直线 EF 解析式为 y

56、kx+b，将 E（1，1）、F（3，7）代入得：，解得，直线 EF 的解析式为 y2x+1， 由得：或，直线 y2x+1 与抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3）， 而（2，5）在线段 EF 上，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，m+11 或 m+13 或 m+12（此时 2m+35），此时抛物线顶点横坐标 x 顶点 或 x 顶点或 x 顶点 125解：（1）证明：连接 DF，CE，如图所示：E 为 AB 中点，AEAF AB，EFABCD，四边形 ABCD 是菱形，

57、EFABCD，四边形 DFEC 是平行四边形（2） 作 CHBH，设 AEFAm，如图所示，四边形 ABCD 是菱形，CDEF，CDGFEG，FG2m， 在 RtCBH 中，CBH60，BC2，sin60，CH，cos60，BH1，在 RtCFH 中，CF2+2m，CH，FH3+m，CFCH+FH， 即（2+2m）（）+（3+m），整理得：3m+2m80，解得：m1，m22（舍去），（3）G 点轨迹为线段 AG，证明：如图，（此图仅作为证明 AG 轨迹用），延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HMAB 于 M，作 DNAB 于 N，四边形 ABCD 是菱形，BFCD，DHGEGA，HGCAG

58、F，AEAF，DHCH1，在 RtADN 中，AD2，DAB60sin60，DNcos60，AN1，在 RtAHM 中，HMDN，AMAN+NMAN+DH2，tanHAM， G 点轨迹为线段 AGG 点轨迹是线段 AG如图所示，作 GHAB，四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB2，CDBF，BD2，CDGFBG，即 BG2DG，BG+DGBD2，BG ，在 RtGHB 中，BG ，DBA60，sin60，GH，cos60，BH，在 RtAHG 中，AH2 ，GH，AG（）+（），AGG 点路径长度为解法二：如图，连接 AG，延长 AG 交 CD 于点 WCDBF，AFAE，DWCW，点

59、G 在 AW 上运动2022 年广东省广州中考数学一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（）A圆锥B圆柱C棱锥D棱柱2下列图形中，是中心对称图形的是（）A B C D 3代数式 有意义时，x应满足的条件为（）Ax1Bx1Cx1Dx14. 点（3，5）在正比例函数 ykx（k0）的图象上，则 k的值为（） A15B15C D5. 下列运算正确的是（）A2Ba（a0）C+ Da2a3a56. 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为 x2，下列结论正确的是（）A. a0Bc0B. C当 x2 时，y随 x的增大

60、而减小D当 x2 时，y随 x的增大而减小7实数 a，b在数轴上的位置如图所示，则（）Aab BabC|a|b|D|a|b|8. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4 名志愿者中随机抽取 2 名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（）ABCD9. 如图，正方形 ABCD的面积为 3，点 E在边 CD上，且 CE1，ABE的平分线交 AD于点 F， 点 M，N分别是 BE，BF的中点，则 MN的长为（） ABC2D10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要 14 根小木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒若按照这样的

61、方法拼成的第 n个图形需要 2022 根小木棒，则 n的值为（）A252B253C336D337二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分。）11. 在甲、乙两位射击运动员的 10 次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为 S甲21.45，S20.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 （填“甲”、“乙”乙中的一个）12分解因式：3a221ab 13如图，在ABCD中，AD10，对角线 AC与 BD相交于点 O，AC+BD22，则BOC的周长为 14分式方程 的解是15. 如图，在ABC中，ABAC，点 O在边 AC上，以 O为圆心，4 为半径的圆恰好过点 C， 且

62、与边 AB相切于点 D，交 BC于点 E，则劣弧的长是 （结果保留）16. 如图，在矩形 ABCD中，BC2AB，点 P为边 AD上的一个动点，线段 BP绕点 B顺时针旋转 60得到线段 BP，连接 PP，CP当点 P落在边 BC上时，PPC的度数为；当线段 CP的长度最小时，PPC的度数为三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分） 17解不等式：3x2418. 如图，点 D，E在ABC的边 BC上，BC，BDCE，求证：ABDACE19. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图频数分布表运动时间

63、t/min频数频率30t6040.160t9070.17590t120a0.35120t15090.225150t1806b合计n1请根据图表中的信息解答下列问题：（1） 频数分布表中的 a，b，n；（2） 请补全频数分布直方图；（3） 若该校九年级共有 480 名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min的学生人数20. 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室， 储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图 所示（1）求储存室的容积 V的值；（2）受地形条件限制，储存室的深度 d需要满

64、足 16d25，求储存室的底面积 S的取值范围21已知 T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2（1）化简 T；（2）若关于 x的方程 x2+2axab+10 有两个相等的实数根，求 T的值 22如图，AB是O的直径，点 C在O上，且 AC8，BC6（1） 尺规作图：过点 O作 AC的垂线，交劣弧于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2） 在（1）所作的图形中，求点 O到 AC的距离及 sinACD的值 23某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度如图，在某一时刻，旗杆 AB的影子为 BC，与此同时在 C处立一根标杆 CD，标杆 CD的影子为 CE，CD

65、1.6m， BC5CD（1）求 BC的长；（2）从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆 AB高度 条件：CE1.0m；条件：从 D处看旗杆顶部 A的仰角为 54.46注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分参考数据：sin54.460.81，cos54.460.58，tan54.461.4024. 已知直线 l：ykx+b经过点（0，7）和点（1，6）（1） 求直线 l的解析式；（2） 若点 P（m，n）在直线 l上，以 P为顶点的抛物线 G过点（0，3），且开口向下求 m的取值范围；设抛物线 G与直线 l的另一个交点为 Q，当点 Q向左平移 1 个单位长度后得到的点 Q也在

66、 G上时，求 G在x +1 的图象的最高点的坐标25. 如图，在菱形 ABCD中，BAD120，AB6，连接 BD（1） 求 BD的长；（2） 点 E为线段 BD上一动点（不与点 B，D重合），点 F在边 AD上，且 BEDF当 CEAB时，求四边形 ABEF的面积；当四边形 ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求 CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由参考答案1A2C3B4D5D6C7C8A9D10B11乙123a（a7b）132114x315216120，7517解不等式：3x2418证明：BC，ABAC，在ABD 和ACE 中，ABDACE（SAS）19解：（

67、1）由题意可知，n40.140，a400.3514，b6400.15，（2）补全频数分布直方图如下：（3）480300（人），答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 120min 的学生人数为 300 人20解：（1）设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为 S，把点（20，500）代入解析式得 500，V100002）由（1）得 S，S 随 d 的增大而减小，当 16d25 时，400S625，21解：（1）T（a+3b）2+（2a+3b）（2a3b）+a2a2+6ab+9b2+4a29b2+a26a2+6ab；（2）关于 x 的方程 x2+2axab+10 有两个相等的实数

68、根，（2a）24（ab+1）0，a2+ab1，T61622解：（1）分别以 A、C 为圆心，大于AC 为半径画弧，在 AC 的两侧分别相交于 P、Q两点，画直线 PQ 交劣弧于点 D，交 AC 于点 E，即作线段 AC 的垂直平分线即可；（2）AB 是O 的直径，ACB90，在 RtABC 中，且 AC8，BC6AB10，ODAC，AECE，又OAOB，OE 是ABC 的中位线，OEBC4，即点 O 到 AC 的距离为 4，DEODCE541，CEAC3，CD，sinACD23解：（1）BC5CD，CD1.6m，BC51.68（m），BC 的长为 8m；（2）若选择条件：由题意得：， ，AB1

69、2.8，旗杆 AB 的高度为 12.8m；若选择条件：过点 D 作 DFAB，垂足为 F，则 DCBF1.6m，DFBC8m， 在 RtADF 中，ADF54.46，AFDFtan54.4681.411.2（m），ABAF+BF11.2+1.612.8（m），旗杆 AB 的高度约为 12.8m 24解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入 ykx+b，解得，yx+7；（2）点 P（m，n）在直线 l 上，nm+7， 设抛物线的解析式为 ya（xm）2+7m，抛物线经过点（0，3），am2+7m3，a，抛物线开口向下，a0，a0，m10 且 m0；抛物线的对称轴为直线 xm，Q 点与 Q关于

70、xm 对称，Q 点的横坐标为 m+， 联立方程组，整理得 ax2+（12ma）x+am2m0，P 点和 Q 点是直线 l 与抛物线 G 的交点，m+m+2m ，a2，y2（x+m）2+7m，2m2+7m3，解得 m2 或 m， 当 m2 时，y2（x2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线 x2，图象在 x上的最高点坐标为（2，5）；当 m 时，y2（x+ ）2+，此时抛物线的对称轴为直线 x，图象在2x1 上的最高点坐标为（2，9）；综上所述：G 在x+1 的图象的最高点的坐标为（2，9）或（2，5）25解：（1）过点 D 作 DHAB 交 BA 的延长线于 H，如图：四边形 ABCD 是菱形，

71、ADAB6，BAD120，DAH60，在 RtADH 中，DHADsinDAH63，AHADcosDAH63，BD6；：（2）设CEAB 交AB 于M 点，过点F 作FNAB 交BA 的延长线于N，如图 菱形 ABCD 中，ABBCCDAD6，ADBC，BAD120，ABC+BAD180，ABC180BAD60，在 RtBCM 中，BMBCcosABC63，BD 是菱形 ABCD 的对角线，DBAABC30， 在 RtBEM 中，MEBMtanDBM3，BE2，BEDF，DF2，AFADDF4，在 RtAFN 中，FAN180BAD60，FNAFsinFAN42， ANAFcosFAN42，M

72、NAB+ANBM6+235，S 四边形 ABEFSBEM+S 梯形EMNFSAFNEMBM+ （EM+FN）MNANFN3+（+2）522+27；当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值是最小，理由：设 DFx，则 BEDFx，过点 C 作 CHAB 于点 H，过点 F 作 FGCH 于点 G，过点 E 作 EYCH 于点 Y，作 EMAB 于 M 点，过点 F 作 FNAB 交 BA 的延长线于 N，如图：EYFGAB，FNCH，四边形 EMHY、FNHG 是矩形，FNGH，FGNH，EYMH，EMYH，由可知：MEBE x， BMBEx，ANAF（ADDF）3x，FNAF，C

73、HBC3，BH BC3，AMABBM6x，AHABBH3，YHMEx，GHFN， EYMHBMBHx3，CYCHYH3x， FGNHAN+AH6，CGCHGH3x，MNAB+ANBM6+3x x92x，S 四边形 ABEFSBEM+S 梯形EMNFSAFNEMBM+ （EM+FN）MNANFNx x+（x+）（92x） （3x）x2x+9（x3）2+，0，当 x3 时，四边形 ABEF 的面积取得最小值，CE+CF+，（x3）20，当且仅当 x3 时，（x3）20，CE+CF+ 12，当且仅当 x3 时，CE+CF12，即当 x3 时，CE+CF 的最小值为 12，当四边形 ABEF 的面积取最小值时，CE+CF 的值也最小，最小值为 12