数学：《一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究》教学论文.doc

1、一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究定理:过圆锥曲线的焦点F的直线与圆锥曲线相交于A、B两点，交平行于准线的直线于点M.若,则有为定值.当直线为圆锥曲线的准线;过顶点的切线;过有心圆锥曲线的中心时,都可以作为定理的推论.这样做是一举多得,这是统一研究的一种形式. 这个定理的证明有两种方法,一种是分为椭圆、双曲线、抛物线三种情况证明，另一种是建立圆锥曲线的统一方程，一起证明.我们采用后一种方法，统一证明，使过程缩短，这是统一研究的重要方法.我们拟使用的是人教版解析几何课本中，由极坐标的圆锥曲线统一方程转化为直角坐标系的方程(如图1):在方程(1)中,表示焦点F到准线的距离,表示离心率.当时, 表示椭

2、圆;当时, 表示双曲线(两支);当时, 表示抛物线.这是焦点重合的圆锥曲线的统一方程.在此情况下，准线的方程为；在方程(1)中,令得当时,方程(1)表示有心圆锥曲线.设方程(2)的两根为,由韦达定理得: .即有心圆锥曲线的中心为；解得方程(2)的两根为.显然图1中顶点E的坐标为.当时,点E的坐标为.可以统一记为E.下面我们在圆锥曲线统一方程(1)的情况下,证明定理. 如图2,设直线的方程为.点A、B、M的坐标分别为.由得.由得;由得.把方程(3)代入方程(1),并整理得:.由韦达定理得:(定值).推论1.当时,即直线为准线时, 推论2.当即直线为过顶点A的切线时, 当,即方程(1)表示抛物线时, 推论3.当直线过有心圆锥曲线的中心时,即时, 2007年福建高考试卷第20题,就是推论1. 尊敬的编辑老师：您好！向贵刊投一篇短文一类圆锥曲线相交弦问题的统一研究.本文在圆锥曲线统一方程的基础上,证明了定理：过圆锥曲线的焦点F的直线与圆锥曲线相交于A、B两点，交平行于准线的直线于点M.若,则有为定值.并作特殊化处理得到三个重要推论.2007年福建高考第20题和很多习题集中的问题都是推论的内容.