2022版高考数学（北京专用）总复习文档：第一章 第四节　基本不等式及其应用 WORD版含答案.docx

1、第四节基本不等式及其应用学习要求:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式(1)基本不等式aba+b2成立的条件:a0,b0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立.(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(2)aba+b22(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(3)a2+b22a+b22(a,bR),当且仅当a=b时取等号.(4)ba+ab2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0,y

2、0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2p.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是s24.(简记:和定积最大)知识拓展利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知实数a,b,x,y0,若ax+by=1,则有1x+1y=(ax+by)1x+1y=a+b+byx+axya+b+2ab=(a+b)2.(2)已知实数a,b,x,y0,若ax+by=1,则有x+y=(x+y)ax+by=a+b+ayx+bxya+b+2ab=(a+b)2.【微点提醒】1.应用基本不等式求最值要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就会

3、出错.2.在利用基本不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)两个不等式a2+b22ab与a+b2ab成立的条件是相同的.()(2)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为4.()(3)x0且y0是xy+yx2的充要条件.()答案(1)(2)(3)2.(新教材人A必修第一册P48T1改编)已知x2,则x+4x-2的最小值是()A.2B.4C.22D.6答案D3.(新教材人A必修第一册P45例1改编)若xx0,且x+4y-xmy恒成立,求m的最小值.解析易错原因: 忽略使用基本不等

4、式的前提条件.由题意知,当4yx0时,mx+4y-xy恒成立.x+4y-xy=xy+4-xy=xy+4-xy2=4+2xy4-xy4+xy+4-xy=22(当且仅当x=2y时等号成立),m22,故m的最小值为22.利用基本不等式证明典例1(2019课标全国,23,10分)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a+1b+1ca2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.证明(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,abc=1,所以有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c,当且仅当a=b=c时,等号成

5、立.所以1a+1b+1ca2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,所以有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)333(a+b)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)32ab2bc2ac=24,当且仅当a=b=c时,等号成立.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.名师点评利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式.若符合基本不等式的条件,则直接利用基本不等式或最值定理证明.若不符合基本不等式的条件,则对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到使用基本不等式的条件.已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5

6、)4;(2)a+b2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34,当且仅当a=b时,等号成立,所以(a+b)38,因此a+b2.利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值典例2已知0x0,b0,1a+9b=1,所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab10+29=16(当且仅当a=4,b=12时取等号).由题意,得16-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,

7、即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,因为x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.故选D.角度3利用消元法求最值 典例4已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.答案6解析解法一(换元消元法):由已知得x+3y=9-xy.因为x0,y0,所以x+3y23xy,所以3xyx+3y22,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.3xyx+3y22可化为(x+3y)2+12(x+3y)-1080.令x+3y=t,则t0且t2+12t-1080,解得t6,即x+3y6.解法二(代入消元法):由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y

8、,所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y=9+3y21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y=3(1+y)+121+y-623(1+y)121+y-6=12-6=6,当且仅当x=3,y=1时取等号.所以x+3y的最小值为6.名师点评1.利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要思路有两种:对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.条件变形,进行“1”的代换求目标函数的最值.(2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还有拆项

9、法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法.另外,对于函数f(x)=ax+bx(a0,b0)的定义域内不含实数ba的类型的最值问题,要学会使用函数的单调性求解.2.求形如函数y=a2x2+b2x+c2a1x2+b1x+c1在某个区间内的值域是解析几何解答题中的常见题型,其一般的解题思路为:首先在分子中分离出a1x2+b1x+c,简化分子将函数化为y=a2a1+mx+na1x2+b1x+c1,再换元,令t=mx+n,将x=tm-nm代入化简得y=a2a1+tat2+bt+c,进一步得到y=a2a1+1at+ct+b,然后借助基本不等式或函数y=ax+cx的图象与性质求解.1.已知函数

10、y=x-4+9x+1(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于()A.-3B.2 C.3D.8答案Cy=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,因为x-1,所以x+10,9x+10,所以由基本不等式,得y=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.故选C.2.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,并且x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-,-2)4,+)B.(-,-42,+) C.(-2,4)D.(-4,2)答案Dx+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+28,当且仅当

11、4yx=xy,即x=4,y=2时等号成立.因为x+2ym2+2m恒成立,所以m2+2m8,即m2+2m-80,解得-4m0,b0,c0,若点P(a,b)在直线x+y+c=2上,则4a+b+a+bc的最小值为.答案2+22解析P(a,b)在直线x+y+c=2上,a+b+c=2,a+b=2-c0,4a+b+a+bc=42-c+2-cc=42-c+2c-1,设2-c=m,c=n,则m+n=2,m0,n0,42-c+2c=4m+2n=m+n24m+2n=3+2nm+mn3+22nmmn=3+22,当且仅当m2=2n2,即c=22-2时,等号成立,42-c+2c-13+22-1=2+22,即4a+b+a

12、+bc的最小值为2+22.基本不等式的实际应用典例5(1) 某人准备在一块占地面积为1 800 m2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1 m的小路(如图所示),大棚总占地面积为S m2,其中ab=12,则S的最大值为.(2)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.答案(1)1 568(2)5解析(1)由题意可得xy=1 800,b=2a,x3,y3,则y=

13、a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)y-33=1 808-3x-83y=1 808-3x-831 800x=1 808-3x+4 800x1 808-23x4 800x=1 808-240=1 568,当且仅当3x=4 800x,即x=40,y=45时等号成立,所以当x=40,y=45时,S取得最大值1 568.(2)由已知可得y1=20x,y2=0.8x,其中x(单位:千米)为仓库与车站的距离,则费用之和y=y1+y2=20x+0.8x220x0.8x=8,当且仅当 0.8x=20x,即x=5时取等号.所以仓库应建在离车站5千米处.名师点评对

14、实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:生产 1单位试剂需要原料费50元;支付所有职工的工资总额由 7 500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成;后续保养的费用是每单位x+600x-30元(试剂的总产量为x单位,50x200).设 P(x)是生产每单位试剂的成本,求 P(x)的最小值.解析由题意知原料总费用为50x元,职工的工资总额为(7 500+20x)元,后续保养总费用为xx+600x-30元,则P(x)

15、=50x+7 500+20x+x2-30x+600x=x+8 100x+40(50x200).x+8 100x2x8 100x=180,当且仅当x=8 100x,即x=90时取等号,P(x)220,即生产每单位试剂的成本最低为220元.数学运算转化与化归在基本不等式中的应用1.若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4答案C1a+2b=ab,a0,b0,ab=1a+2b21a2b=22ab,ab22(当且仅当b=2a时取等号),ab的最小值为22,故选C.2.设a0,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.答案32解析由2aba2+b2两边同时加上a

16、2+b2,得(a+b)22(a2+b2),两边同时开方得a+b2(a2+b2)(a0,b0且当且仅当a=b时取“=”),从而有a+1+b+32(a+1+b+3)=29=32,当且仅当a+1=b+3,即a=72,b=32时,“=”成立.a+1+b+3的最大值为32.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用于一些不等式的证明,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.1.已知x+y=xy,且x0,y0,则x+y的取值范围是()A.(0,

17、1B.2,+)C.(0,4D.4,+)答案D由x+y=xy,且x0,y0得1x+1y=1,所以x+y=(x+y)1x+1y=2+yx+xy2+2yxxy=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以x+y的取值范围是4,+),故选D.2.函数y=x2+7x+10x+1(x-1)的值域为.答案9,+)解析y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4x+1+5,当x-1,即x+10时,y2(x+1)4x+1+5=9(当且仅当x=1时取“=”).所以y=x2+7x+10x+1(x-1)的值域为9,+).A组基础达标1.(2020北京四中高二期中)若a,bR,且ab0,则

18、下列不等式中恒成立的是()A.a2+b22abB.a+b2ab C.1a+1b2abD.ab+ba2答案Da2+b22ab,所以A错;ab0,只能说明两实数同号,所以当a0,b0,y0,2x+y=2,则xy的最大值为()A.12B.1C.22D.14答案Ax0,y0,且2x+y=2,xy=12(2xy)122x+y22=12,当且仅当x=12,y=1时取等号,故xy的最大值为12.故选A.3.(2020北京朝阳高二期末)已知x1,则当x+4x取得最小值时,x的值为()A.1B.2C.3D.4答案Bx1,x+4x2x4x=4当且仅当x=4x,即x=2时取等号,当x+4x取得最小值时,x=2.故选

19、B.4.(2020北京昌平高三期末(文)x0,使得1x+x-a0,则实数a的取值范围是()A.a2B.a2C.a0,使得1x+x-a0,所以a1x+xmin.又x+1x21xx=2,当且仅当x=1时取等号,所以只需a2,故选B.5.(2020北京朝阳高二期末)已知mn0,2m+n=1,则1m+2n的最小值是()A.4B.6C.8D.16答案C1m+2n=1m+2n(2m+n)=4+nm+4mn4+2nm4mn=4+4=8当且仅当m=14,n=12时取等号,1m+2n的最小值为8.故选C.6.(2020北京四中高三期末)已知a0,b0,a+b=1,若 =a+1a,=b+1b,则+的最小值是()A

20、.3B.4C.5D.6答案Ca0,b0,a+b=1,+=a+1a+b+1b=1+1ab1+1a+b22=5,当且仅当a=b=12时取“=”.+的最小值是5.故选C.7.(2020北京朝阳高一期末)已知a,b,cR,则“a=b=c”是“a2+b2+c2ab+ac+bc”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D设p:a=b=c,q: a2+b2+c2ab+ac+bc.若a=b=c,则a2+b2+c2=ab+ac+bc,故“若p,则q”是假命题.因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,所以a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当

21、a=b=c时等号成立,故当a2+b2+c2ab+ac+bc时,a=b=c必定不成立,故“若q,则p”是假命题.故“a=b=c”是“a2+b2+c2ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件,故选D.8.(2020北京人大附中高二期中)已知RtABC的斜边长为2,则下列关于ABC的说法中正确的是()A.周长的最大值为2+22B.周长的最小值为2+22C.面积的最大值为2D.面积的最小值为1答案A设c为斜边,a,b为两直角边,则a2+b2=c2=4,由a+b2a2+b22可得a+b242=2,当且仅当a=b=2时等号成立,据此可知a+b22,故ABC的周长a+b+c22+2,所以周长的最大值为2+2

22、2,所以A正确,B错误;由基本不等式可知4=a2+b22ab,所以ab2,当且仅当a=b=2时取等号,所以ABC的面积S=12ab1,故面积的最大值为1,所以C,D错误.故选A.9.已知x,yR+,且满足x+2y=2xy,那么x+4y的最小值为()A.3-2B.3+22C.3+2D.42答案B由x0,y0,x+2y=2xy,得12y+1x=1,则x+4y=(x+4y)12y+1x=x2y+1+2+4yx3+2x2y4yx=3+22,当且仅当x2y=4yx,即x=22y时等号成立.所以x+4y的最小值为3+22.故选B.10.(2019北京朝阳期中,6)已知函数f(x)=|2x-2|.若f(a)

23、=f(b)(ab),则a+b的取值范围是()A.(-,1)B.(-,2) C.(1,+)D.(2,+)答案B由f(a)=f(b),得|2a-2|=|2b-2|,显然a1,b1.当a1,b1或a1,b1时,整理得2a=2b,即a=b,此时不满足条件.当a1b或b122a2b=22a+b,所以22a+b4,解得a+b0,b0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则2a+1b的最小值是()A.4B.92C.8D.9答案DAB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2).若A,B,C三点共线,则有ABAC,(a-1)2-1(-b-1)=0,2a+b=1,又a0,b0,2a+1b=

24、2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab5+22ba2ab=9,当且仅当2ba=2ab,2a+b=1,即a=b=13时等号成立,2a+1b的最小值是9.故选D.12.(2019清华中学生标准学术能力试卷(文),12)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值为()A.43B.log252C.52D.log243答案D由2a+b=2a+2b22a2b=21+a+b2(当且仅当a=b时取等号),可得a+b2,所以2a+b4.令t=2a+b,则t4.由2a+2b+2c=2a+b+c得2a+b+2c=2a+b2c,所以2c=tt-1=1+1t-1.因为t4

25、,所以11+1t-143,即12c43,因此00),S7-S5=a7+a6=3(a4+a5),a7+a6a5+a4=q2=3.4a3+9a7=4a3+9a3q4=4a3+1a324a31a3=4,当且仅当4a3=1a3,即a3=12时等号成立.4a3+9a7的最小值为4.14.某厂家拟在明年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(m0)(万元)满足x=3-km+1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知明年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1

26、.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将明年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家明年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,1=3-kk=2,x=3-2m+1,又易知每件产品的销售价格为1.58+16xx(元),y=1.5x8+16xx-8-16x-m=-16m+1-m+28(m0).(2)由(1)可得y=-16m+1+m+1+29(m0).当m0时,16m+1+m+1216=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时取等号,y-8+29=21.故该厂家明年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.C组思

27、维拓展15.(2020新高考改编,11,5分)已知a0,b0,且a+b=1,则下列不等式中错误的是()A.a2+b212B.2a-b12 C.log2a+log2b-2D.a+b2答案Ca0,b0,a+b=1,0a1,0b1,b=1-a,aba+b22=14当且仅当a=b=12时取等号.对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2a-122+1212,当且仅当a=b=12时取等号,A正确;对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,0a1,-12a-11,1222a-112成立,B正确;对于C选项,00,b0,log2a+log2b=log2(ab)log214=-2,C

28、不正确;对于D选项,(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+a+b=2,当且仅当a=b=12时,等号成立,a+b2成立,D正确.故选C.16.(2019北京门头沟一模,13)已知x,yR+,求z=(x+2y)2x+4y的最值.甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法:甲:z=(x+2y)2x+4y=2+4xy+4yx+818.乙:z=(x+2y)2x+4y22xy28xy=16.(1)你认为甲、乙两人解法正确的是;(2)请你写出一个类似的利用基本不等式求最值的问题:,使甲、乙的解法都正确.答案(1)甲(2)已知x,yR+,求z=(x+y)1x+1y的最值解析(1)甲同学的解法中取得最小值的条件是4xy=4yx,即x=y,而乙同学的解法中需要同时满足x=2y与2x=4y才能取得最小值16,显然不可能满足,故乙的解法错误.(2)给出的试题是“已知x,yR+,求z=(x+y)1x+1y的最值”.解法一:z=(x+y)1x+1y=2+yx+xy2+2yxxy=4(当且仅当x=y时取“=”).解法二:z=(x+y)1x+1y2xy21x1y=4(当且仅当x=y时取“=”).