2022版高考数学（新教材）总复习文档：第二章　第八节　函数与方程 WORD版含答案.docx

1、第八节函数与方程学习要求:1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在性定理.1.函数零点的概念(1)定义:对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)意义:方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y=f(x)有 零点 .2.函数零点的判定(零点存在性定理)一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系0=00)的图象与x轴的交点 (x1,0), (x2,0) (x1,0) 无交点零点个数 两个 一个

2、无 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0, f(b)0,则函数f(x)在区间(a,b)内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点答案C判断函数零点的个数典例1(1)(2020湖南怀化高三期末)已知f(x)是R上的偶函数, f(x+)=f(x),当0x2时, f(x)=sin x,则函数y=f(x)

3、-lg|x|的零点个数是() A.12B.10C.6D.5(2)(2020河北石家庄二模)已知函数f(x)=|log2x|+1,x0,x+4,x0,则y=f(f(x)-3的零点个数为()A.3B.4C.5D.6答案(1)B(2)C解析(1)由f(x+)=f(x)得函数周期是,又f(x)是偶函数,且当x0,2时, f(x)=sin x,因此可得f(x)=|sin x|,y=lg|x|是偶函数,作出函数y=f(x)的图象与当x0时,y=lg|x|=lg x的图象,如图所示,由图象可知,当x0时,两函数图象共有5个交点,又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,所以函数y=f(x)-lg|x|的

4、零点个数是10,即函数y=f(x)-lg|x|的零点个数是10.(2)易知函数y=f(f(x)-3的零点个数,即方程f(f(x)=3的实数根个数,设t=f(x),则f(t)=3,作出f(x)的图象,如图所示,结合图象可知,方程f(t)=3有三个实根,t1=-1,t2=14,t3=4,则f(x)=-1有一个解,f(x)=14有一个解,f(x)=4有三个解,故方程f(f(x)=3有5个解,即y=f(f(x)-3的零点个数为5.名师点评函数零点个数的判断方法(1)直接求零点,令f(x)=0,有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理,要求函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0

5、,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.1.(2020贵州铜仁三模)函数f(x)=ln x+x2的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案B因为y=ln x与y=x2均在(0,+)上为增函数,所以函数f(x)=ln x+x2至多有一个零点,又因为f1e=ln1e+1e2=-1+1e20,所以f1ef(1)0的零点个数为()A.3B.2C.1D.0答案B解法一:由f(x)=0得x0,x2+x-2=0或x0,-1+lnx=0,解得x=-2或x=e.因此函数f(x)共有2个零点.解法二:函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f

6、(x)共有2个零点.确定零点所在的区间典例2(1)函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是()A.12,1B.(1,e-1)C.(e-1,2)D.(2,e)(2)设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0(n,n+1),nN,则x0所在的区间是.答案(1)C(2)(1,2)解析(1)因为函数f(x)=ln(x+1)-2x在(0,+)上单调递增且连续,又f(e-1)=ln(e-1+1)-2e-1=1-2e-10,即f(e-1)f(2)0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的区间是(e-1,2),故选C.(2)设f(x)=x3-12x-2,则x0是

7、函数f(x)的零点,在同一坐标系下作出函数y=x3与y=12x-2的图象,如图所示.因为f(1)=1-12-1=-10,所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2).名师点评确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后看求得的根是否落在给定区间内.(2)图象法:把方程转化为两个函数,看图象的交点的横坐标所在的区间.(3)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(4)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

8、1.若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+)内D.(-,a)和(c,+)内答案Aab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,即f(a)f(b)0, f(b)f(c)0.由函数零点存在性定理可知在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.2.方程2x+2x-2=0的根所在的区间为()A.-12,0B.0,12 C.12,1D.1,32答案

9、B设f(x)=2x+2x-2,可得f(x)是R上的增函数,因为f(0)=1-2=-10,所以f(0)f120,所以f(x)的零点在0,12上,即方程2x+2x-2=0的根所在的区间为0,12.函数零点的应用典例3(1)(2020广东海珠二模)已知函数f(x)=|x-3|-1,x0,-x2+2,x0,函数g(x)=mx,若函数y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,则实数m的取值范围是()A.-16,12B.-13,1 C.-16,+D.-,12(2)(多选题)已知函数f(x)=|log2(x-1)|,13,若方程f(x)=m有四个不同的实根x1,x2,x3,x4满足x1x2x3x4,则下列说法正

10、确的是()A.x1x2=1B.1x1+1x2=1C.x3+x4=12D.x3x4(27,29)答案(1)A(2)BCD解析(1)由题意,画出函数f(x)=|x-3|-1,x0,-x2+2,x0的图象如下图所示:y=f(x)-2g(x)恰有三个零点,即f(x)=2g(x)有三个不等实根,即f(x)的图象与g(x)=2mx的图象有三个不同交点,由图象可知,当直线斜率在kOA,kOB之间时,有三个交点,即kOA2mkOB,所以-132m1,可得-16m12.(2)作出函数f(x)的图象,方程f(x)=m有四个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点,如图所示:由图象可知|lo

11、g2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,且1x12x23,所以log2(x1-1)=-log2(x2-1),即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,所以log2(x1-1)(x2-1)=0,即(x1-1)(x2-1)=1,所以x1+x2=x1x2,所以1x1+1x2=1,故选项A错误,选项B正确;又x3,x4是方程12x2-6x+292=m(0m1)的两根,即x3,x4是方程x2-12x+29-2m=0的两根,所以x3+x4=12,x3x4=29-2m,因为方程f(x)=m有四个不同的实根,所以由图可知m(0,1),所以x3x4=29-2m(27,29),故选项C,选项D均正确

12、.名师点评1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)上,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案C因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)f(2)0,所以-a(4-

13、1-a)0,即a(a-3)0,所以0a3.直观想象数形结合在解决函数零点问题中的应用(2020天津,9,5分)已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0,(x+2)2-1,x0,若方程f(x)-2m=0恰有三个不同的实数根,则实数m的取值范围是()A.(2,+)B.(4,+)C.(2,4) D.(3,4)答案A画出函数f(x)的图象,如图所示.当x0时, f(x)=x+4x4.设g(x)=2m,则方程f(x)-2m=0恰有三个不同的实数根,即f(x)和g(x)=2m的图象有三个交点.由图象可知,2m4,即m2,故实数m的取值范围是(2,+).2.(2020河南开封二模)定义在R上的函数f(x)满

14、足f(x+2)=f(-x)与f(x+2)=f(-x-2),且当x-3,-1时,f(x)=(x+2)2,则函数y=1f(x)-log|x-1|5的零点个数为()A.12B.10C.8D.6答案C因为f(x+2)=f(-x-2),令x+2=t,得f(t)=f(-t),所以函数f(x)是定义在R上的偶函数.又因为f(x+2)=f(-x),得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的周期函数.由y=1f(x)-log|x-1|5=0,得1f(x)=log|x-1|5,根据换底公式,得1f(x)=1log5|x-1|,即f(x)=log5|x-1|,因此,求函数y=1f(x)-log5|x-1

15、|的零点个数可以转化为求函数h(x)=f(x)(f(x)0)与g(x)=log5|x-1|(|x-1|0,|x-1|1)的图象的交点个数问题.函数f(x)的周期为2,所以x2k(kZ),所以函数h(x)的定义域是xR|x2k,kZ,由|x-1|0且|x-1|1,得x0,1,2,函数g(x)的定义域是xR|x0,1,2.在同一坐标系中作出函数y=h(x)(x2k)(kZ)与g(x)=log5|x-1|(x0,1,2)的图象,如图所示,由图可知,函数h(x)=f(x)(f(x)0)与g(x)=log5|x-1|(x0,1,2)的图象一共有8个交点.即函数y=1f(x)-log|x-1|5的零点个数

16、为8.A组基础达标1.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12 D.0答案D2.函数y=12ln x+x-2的零点所在的区间是()A.1e,1B.(1,2)C.(e,3)D.(2,e)答案B3.(2020浙江嘉兴高三开学考试)若函数f(x)=ln x-1x+a在区间(1,e)上存在零点,则常数a的取值范围为()A.0a1B.1ea1C.1e-1a1D.1e+1a0.若f(-4)=f(0), f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C5.已知实数x0是函数f(x)=x-6x的

17、一个零点,若0x1x0x2,则()A.f(x1)0, f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0, f(x2)0, f(x2)0答案B6.(多选题)已知函数f(x),g(x)的图象分别如图1,2所示,方程f(g(x)=1,g(f(x)=-1,g(g(x)=-12的实根个数分别为a,b,c,则()A.a+b=cB.b+c=aC.ab=c D.b+c=2a答案AD7.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0, f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0, f(x2)0, f(x2)0答案B8.(2020河北沧州模拟)已知函数

18、f(x)=2-x,x0,ln1x,x0,g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是()A.-1,0) B.0,+)C.-1,+)D.1,+)答案D令g(x)=0,可得f(x)=x+a,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的图象,如图所示:由图可知,当a1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时,函数y=g(x)有2个零点.因此,实数a的取值范围是1,+).9.已知函数f(x)=e|x-1|,x0,-x2-2x+1,x0,若关于x的方程f(x)2-3f(x)+a=0(aR)有2个不同的实数根,则a的值是()A.0B.1C.6D.2答案D函数f(x)=

19、e|x-1|,x0,-x2-2x+1,x0的图象如图所示,令f(x)=t,由题意可知方程t2-3t+a=0有两个不同的实数根t1(1,2),t2(2,e)或t1=1,t2=2,由于t1+t2=3,故t1=1,t2=2.令g(t)=t2-3t+a,g(1)=g(2)=0,所以a=2.10.(2020福建厦门一中高三模拟)函数f(x)=|log2x|,02,若实数a,b,c满足0abc,且f(a)=f(b)=f(c),则下列结论不恒成立的是()A.ab=1B.c-a=32C.b2-4ac0D.a+c2b答案D函数f(x)=|log2x|,02的图象如图:由f(a)=f(b)可得-log2a=log

20、2b,即log2a+log2b=0,所以log2ab=0,ab=1,故A中结论恒成立;由f(a)=f(c)可得-log2a=log12c-32=-log2c-32,即log2c-32=log2a,所以c-32=a,c-a=32,故B中结论恒成立;由图象可知f(a)=f(b)=f(c)(0,1),所以12a1,1b2,2c52,所以1ac52,1b24,故b2-4ac0,故C中结论恒成立,故选D.B组能力拔高11.(2020山东聊城模拟)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数k,

21、使得方程恰有5个不同的实根;存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案D令t=x2-1(t-1),y=t2-|t|,y=-k,在同一平面直角坐标系中作出函数y=t2-|t|,y=-k的图象,如图所示.当k=0时,两函数图象有3个交点,且交点横坐标分别为-1,0,1,由于-1,0,1都在函数t=x2-1的值域-1,+)内,令x2-1=1,x2-1=-1,x2-1=0,故原方程有5个不同的实根;当k0,两函数图象有2个交点,设交点横坐标分别为t1,t2,其中t11在-1,+)内,而t2-1不在-1,+)内,所以t1=x2-1,于是原方程有2个不同的

22、实根x1=1+t1,x2=-1+t1;当k=14时,函数图象有2个交点,设交点横坐标分别为t3,t4,则t3(-1,0),t4(0,1),则原方程有4个不同的实根;当0k14时,两函数图象有4个交点,设交点横坐标分别为t5,t6,t7,t8,则t5,t6(-1,0),t7,t8(0,1),则原方程有8个不同的实根.综上,四个命题都正确.12.(多选题)已知函数f(x)=x-2,x(-,0),lnx,x(0,1),-x2+4x-3,x1,+),若函数g(x)=f(x)-m恰有2个零点,则实数m可以是()A.-1B.0C.1 D.2答案ABC令g(x)=f(x)-m=0,则f(x)=m,在同一直角

23、坐标系中作出y=f(x)的图象与直线y=m,只需两函数图象有两个交点即可.由图可知当m=-1,0,1时,两函数图象均有两个交点,故选ABC.13.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1-14C.当m0时,2x1x20时,x1230,m-14,故B对;当m0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图,由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)的图象和直线y=m的交点横坐标分别为x1,x2,由图可知,x1230,2x-12,x0,存在实数m满足2f(f(m)+1=2f(m)+1,则()A.f(m)0B.f(m)可能大于0C

24、.m(-,-1D.m(-,-1(0,e2答案AD由2f(f(m)+1=2f(m)+1,可得f(f(m)=2f(m)-12.若f(m)0,则lnf(m)-2=2f(m)-12,ln xx-1,2xx,ln x-2x-3,x-12x-12x-12,ln x-2x-3x-10时,由f(m)=ln m-20,解得0t),其中t0,若函数g(x)=f f(x)-1有6个不同的零点,则实数t的取值范围是.答案(3,4)解析由题意,函数f(x)=x(x-t)2(xt),x4(xt),其中t0,则f(x)=(3x-t)(x-t),xt,14,xt,当xt时, f(x)0,函数f(x)为增函数;当t3xt时,

25、f(x)0,函数f(x)为减函数,故当x=t3时,函数f(x)取极大值427t3,由f(x)=0,解得x=0或x=t,即函数f(x)有两个零点0和t,因为函数g(x)=ff(x)-1恰有6个不同的零点,则方程f(x)-1=0和f(x)-1=t各有三个解,即函数f(x)的图象与直线y=1和直线y=t+1各有三个交点,作出函数f(x)的大致图象如图:故t41427t3,t4t+1427t3,解得3t4,故实数t的取值范围是(3,4).16.(2020山西忻州高三二模)已知定义在R上的函数f(x)存在零点,且对任意mR,nR都满足fm2f(m)+f(n)=f(m)2+2n,则函数g(x)=|f f(x)-4|+log3x-1有个零点.答案3解析定义在R上的函数f(x)存在零点,且对任意mR,nR都满足fm2f(m)+f(n)=f(m)2+2n,可设m为f(x)的零点,则f(m)=0,f f(n)=2n,f f(x)=2x,g(x)=|2x-4|+log3x-1,令g(x)=0,得1-log3x=|2x-4|,分别作出函数y=1-log3x和y=|2x-4|的图象,如图所示,由图象可知,y=1-log3x和y=|2x-4|函数图象有三个交点,g(x)=|2x-4|+log3x-1有三个零点,故答案为3.