河北省衡水中学2020届高三数学下学期三模试题 文（含解析）.doc

1、河北省衡水中学2020届高三数学下学期三模试题 文（含解析）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先解分式不等式得，再求函数的值域得，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式得，故，再求函数的值域得，故.所以.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题.2.若且，则的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】设，得到，化简得到，根据其几何意义计算得到答案.【详解】设，则，即，表示圆心为，半径为的圆.，表示点和之间的距离，故.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离

2、的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.已知直线m、n和平面，在下列给定的四个结论中，m/n的一个必要但不充分条件是（ ）A. m/，n/B. m，nC. m/，nD. m、n与所成的角相等【答案】D【解析】【分析】利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案.【详解】解：A：m、n可以都和平面垂直，不必要；B：m、n可以都和平面平行，不必要；C：n没理由一定要在平面内，不必要；D：由mnm，n与所成的角相等，反之，m，n与所成的角相等不一定推出mn.故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能

3、够灵活的应用.4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】B【解析】【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为：10，10，12，24

4、，25，30，43，45，45，46；其中位数是，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35；其中位数是，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐故选：B.【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题5.已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，再由两边平方可得，代入公式可得答案.【详解】由，得，可得，即.由，可得，即整理得故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长

5、平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.6.已知的图像关于原点对称，且当时，（其中是的导函数），则下列关系式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由得，即当时，单调递减；又函数的图像关于原点对称，所以是偶函数，且当时，单调递增；，因此考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，

6、判断单调性是本题的关键7.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且若角的终边上有一点，其纵坐标为，有下列三个结论：点的横坐标是6；则上述结论中，正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案【详解】解：已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边上有一点，其纵坐标为，即设为，且所以角是第三象限的角，下列三个结论：角的终边上有一点，其纵坐标为，即，解得，所以点的横坐标是，错误；，且所以角是第三象限的角，由，；错误；，由可知道；所以角是第三象限的角，所以，所以正确；则上述结论中，正确的个数为1个

7、，故选【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：甲不是军事科学院的，来自军事科学院的均不是博士，乙不是军事科学院的，乙不是博士学位，来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ）A. 国防大学，博士B. 国防科技大学，硕士C. 国防大学，学

8、士D. 军事科学院，学士【答案】A【解析】【分析】根据题目所给个知道的条件，判断出甲的院校和学位.【详解】由可知，丙是军事科学院的.进而由可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.所以甲来自国防大学，学位是博士.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.9.已知方程的两根分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据与的图象，初步判断的范围，再根据对数运算即可得出答案.【详解】不妨设，作出与的图象，如图. 由图可知，则，那么，则.故选：D.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，

9、属于中档题.10.如图所示，四边形是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解.【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r，因为圆心都在正方形的对角线上，如图所示：，即，解得，所以阴影部分的面积为：，所以该点取自阴影部分的概率为.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.11.三棱锥S-A

10、BC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为（ ）A. B. C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】采用数形结合，依据题意，点在底面的投影为的中心时，三棱锥S-ABC的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点到底面的距离为，则当三棱锥S-ABC的体积最大时，即最大由题可知：为边长为3的等边三角形，则点在底面的投影为的中心，且底面如图所示又，所以又，所以所以故选：【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点在底面的投影为的中心时，三棱锥S-ABC的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题.12.在中，内角A，B，

11、C所对的边分别为a，b，c.若，当的周长最短时，b的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可得，计算周长可得，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.【详解】由题可知：，则，所以，又，所以，记的周长为则则当且仅当或（舍）取等号所以当的周长最短时，b的值为故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题.二、填空题13.设满足约束条件，则的最小值是_.【答案】-6【解析】【分析】由约束条件画出可行域,再变形为,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进

12、而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设,平移直线,当直线与点相交时,直线的截距最大,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14._.【答案】2【解析】【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值.【详解】由于，所以，即，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题.15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（ba）以及常数x（0x1）确定实际销售价格c=a+x（ba），这里，x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（ca）是（bc）和（ba）

13、的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，知x（ba）2=（ba）2x（ba）2，由此能求出最佳乐观系数x的值解：ca=x（ba），bc=（ba）x（ba），（ca）是（bc）和（ba）的等比中项，x（ba）2=（ba）2x（ba）2，x2+x1=0，解得，0x1，故答案为点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算16.已知函数，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据常用不等式，可转化为，然后使用分离参数，并构造函数，利用导数研究该函数的最值，

14、简单计算可得结果.【详解】令，则，当时，所以在单调递增，所以所以由，所以当时，故若，使转化为，则，即令，若时，若时，所以函数在递增，在递减所以所以，即故答案为：【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如，属中档题.三、解答题（一）必考题17.已知数列中，当时，（）求证：数列是等差数列；（）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）两边同时除以得：，即可得证;（）由（）知，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:（）证明：当时，由，两边同时除以得：，由，得，故数列是以1为首项，1为公差的等差

15、数列.（）解：由（）知，所以，所以.因为，故.【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18.已知四边形是梯形(如图1)，E为的中点，以为折痕把折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且.（1）求证：平面平面；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点M，连接，根据，易得，再利用平面几何知识，由，得到，利用线面垂直的判定定理得到平面，进而由面面垂直的判定定理得证. （2）由（1）知，平面，为正三角形且边长为1， 设点C到平面的距离为d，由等体积法求解.详解】（1）证明：连接，因为，E为的中点，所以四边形是边长为1的正方形

16、，且.如图，取的中点M，连接，因为，所以，且，. 因为，所以.所以因为，所以，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知，平面，且. 因为，所以为正三角形且边长为1. 设点C到平面的距离为d，则，所以， 即，解得. 所以点C到平面的距离为.【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒某小区为了调查“宅”家居民的

17、运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1234567锻炼时长m（单位：分钟）10151220302535（）根据数据求m关于n的线性回归方程；（）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程中，【答案】（1），30.2；（2）（），（）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”【解析】【分析】（1）根据频率分布直

18、方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（）根据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回归方程；（）根据线性回归方程，令，求出预测值，再验证是否满足，即可判断【详解】（1）， （分钟） （2）（）， ， ， 关于n线性回归方程为 （）当时，估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题20.已知椭圆和圆，、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直

19、线与圆相切时，（I）求的方程；（）直线与椭圆和圆都相切，切点分别为、，求面积的最大值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）根据已知条件求得和的值，由此可得出椭圆的方程；（）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，并求出点的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线的方程为，与直线的方程联立可求得点的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值【详解】（）由题可知设，则由与圆相切时，得，即将代入，解得，所以椭圆的方程为；（）设点、，将代入得由直线与椭圆相切得，即，且，由直线与圆相切，设，与联立得，设直线与轴交于点，则所以的面积为，当且仅当时等号成立，所以的面积

20、的最大值为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.21.已知函数，且曲线在点处的切线为x轴（）求a，b的值，并讨论的单调区间；（）求证，其中e为自然对数的底数【答案】（）；在上单调递减；在上单调递增；（）证明见解析.【解析】【分析】（）根据题意，得到，解方程组，求得，从而求得，从而求得函数的单调区间； （）由（）得，即对任意成立之后应用分析法证明即可.【详解】（），由题意知；，令，解得，当时，即在上单调递减；当时，在上单调递增；（）由（）知，即对任意成立要证，只需证在不等式中，令，则有，即，即成立；要证，只需证，即证，只需证，即证在不等式

21、中，令，则有，即成立综上，不等式成立【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目.（二）选考题22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求与的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出与的直角坐标方程；（2）将直线的直角坐标方程化为参数方程，点在直线上，利用参数的几何意义，可得的值.【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为

22、（为参数），所以其直角坐标方程为，直线的极坐标方程为，其直角坐标方程为；（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），代入曲线的方程，得，则，.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.23. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若，求的最小值【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=2时对应的不等式即可；（2）由f（x）a|x+3|得a，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当时，的解集为： （2）由得：由，得：得（当且仅当或时等号成立），故的最小值为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想