河北省衡水中学2022-2023学年高三下学期五调考试数学.doc

1、20222023衡水中学下学期高三年级五调考试数 学 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。1已知集合，则下列结论中正确的是 ABCD2某企业为了解员工身体健康情况，采用分层随机抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取 部分员工体检已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4:1，且被抽到参加体检的员 工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是 ABCD3已知，在复平面上对应的点是一个正方形

2、的三个顶点，则 这个正方形的第四个顶点所对应的复数 ABCD4在正方形中，分别是边上的点，则 ABCD5李明开发的小程序发布经过天后，用户人数，其中为常数已知小程序发布经 过10天后有2 000名用户，则用户超过50 000名至少经过的天数为(取 A31 B32 C33 D346在棱长为4的正方体中，是的中点，动点在平面内（包括 边界）若平面，则的最小值是 ABCD7若数列对任意正整数，有(其中，为常数且，则称数 列是以为周期，以为周期公比的类周期性等比数列. 已知类周期性等比数列的前 4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则的前25项和为 A3 277 B3 278 C3 280 D

3、3 2828已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线 交于两点. 现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后 两点的对应点分别为，且若 ，则的离心率为 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设为正实数，则下列命题正确的是 A若，则B若，则 C若，则D若，则10若的三个内角均小于，点满足则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的取值可以是 ABCD11“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排

4、列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列说法中正确的是A B在第2 022行中第1 011个数最大C记“杨辉三角”第行的第个数为，则D第34行中第15个数与第16个数之比为12已知函数，则A是奇函数B的最大值大于C，D，第II卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设命题，. 若是假命题，则实数的取值范围是 .14已知抛物线的焦点为，准线为，是上的一点，点在上若， 且，则 .15已知函数在区间上有零点，

5、则的最小值为 .16半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由4个等边三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列满足，且成等差数列 （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和.18（12分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某大学与市中心的距离km，且. 现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大

6、学，其中，km （1）求大学与站的距离； （2）求铁路段的长.19（12分）如图，三棱锥和三棱锥均为棱长为的正四面体，且四点共面，记直线与的交点为 （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值20（12分）某校组织甲、乙、丙、丁、戊五位学生参加某大学的测试活动，现有A，B两种不同的测试方案，每位学生随机选择其中的一种方案进行测试选择A方案测试合格的概率为，选择B方案测试合格的概率为，且每位学生测试的结果互不影响 （1）若甲、乙、丙三位学生选择A方案，丁、戊两位学生选择B方案，求恰有三位学生合格的概率； （2）若测试合格的人数的均值不小于3，试写出选择A方案进行测试的学生的人数21（12分）“

7、工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停地重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图）已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸. 以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系 （1）求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）若过点且不与轴垂直的直线，与（1）中的椭圆交于两点，在轴的正半轴上

8、是否存在定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数 （1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围数学参考答案一、选择题1D2C3B4D5D6C7A8C二、选择题9AC10AB 11AC12BCD三、填空题13141516四、解答题17解：（1）因为所以又，所以即，所以是公比为的等比数列 （2分）又成等差数列，所以所以，解得 （4分）所以 （5分） （2）由（1）可知，所以（6分）所以 （10分）18解：（1）在中，且， 由余弦定理，得 所以，所以大学与站的距离为km. （4分） （2）因为，且为锐角，所以在中，由正弦

9、定理， 得即，解得 （6分）由题意知为锐角，所以所以因为所以，所以 （8分）又所以在中，由正弦定理，得即，解得 （11分）所以铁路段的长为km. （12分）19（1）证明：如图，连接与的交点为，连接因为三棱锥和三棱锥均为棱长为的正四面体，所以，则，则，所以，所以 （2分）由题意知四边形是菱形，则因为，平面，所以又平面，所以平面平面 （4分） （2）解：过点作，交于点，则平面又三棱锥是正四面体，所以是的中心在中，在中，又，所以，所以由（1）知两两垂直，故以为坐标原点，（6分）所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，故，设平面的法向量为，则，即令，则，得平面的一个法向量为 （7分）设

10、平面的法向量为，则，即令， 则，得平面的一个法向量为 （9分）设二面角的平面角为，则 （11分）所以故二面角的正弦值为 （12分）20解：（1）若选择A方案的三人全部合格，则所求概率若选择A方案的三人中有两人合格，则所求概率若选择A方案的三人中，只有一人合格，则所求概率所以恰有三位学生合格的概率 （6分） （2）设选择A方案测试的学生人数为则选择B方案测试的学生人数为并设通过A方案测试合格的学生人数为，通过B方案测试合格的学生人数为，当时，此时所有学生均选择B方案测试，则所以，不符合题意；当时，此时所有学生均选择A方案测试，则所以，符合题意； （9分）当时，所以 （10分）又，则，故当时，符合

11、题意（11分）综上，当选择A方案测试的学生人数为时，测试合格的人数的均值不小于3 （12分）21解：（1）设为椭圆上一点，由题意知所以点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆， （2分）所以，则所以椭圆的标准方程为 （4分） （2）由题意，设的方程为，联立得则， （7分）将式代入上式，可得 （9分）要使为定值，则，即 又，所以，此时 （11分）所以存在点，使得直线与的斜率之积为定值 （12分）22解：（1），则当时，令，解得，令，解得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2分）当时，令，解得；令，解得；所以在区间上单调递减，在区间上单调递增 （4分）综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增 （5分） （2）由题意得对任意恒成立，令则若，当时， （6分）令，则所以在区间上单调递增，且，即，令，则，所以在区间上单调递增，且即，所以当时，则，所以在区间上单调递增，且，即恒成立 （9分）当时，存在实数，使得，均有，则在区间上单调递减，且，不符合题意 （11分）综上，实数的取值范围是 （12分）14学科网（北京）股份有限公司