江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校2020届高三上学期期中联考数学（文）试题 WORD版含解析.doc

1、2019-2020学年度上学期期中考试高三数学试卷（文）一、填空题（本大题共14小题）1. 已知R为实数集，集合A=-1，0，1，集合B=x|x0，则ARB=_2. “xR，x2+2x+10”的否定是_3. 已知向量，若，则=_4. 已知函数，则函数的最小正周期为_5. 已知函数，则f（f（0）-3）=_6. 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=-，3sinA=2sinB，则c=_7. 已知，则tan=_8. 将函数f（x）=cos（x+）（|）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则=_9

2、. 若等比数列an的前n项和Sn=2n+1+c，则c=_10. 算法统宗中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两_文11. 在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_12. 已知函数f（x）=xlnx-x2-x+a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是_13. 已知a，b为正实数，直线y=x-a与曲线y=ln（x+b）相切，则+的最小值为_14. 已知关于x的不等式（x-3）lnx2有解，则整数的

3、最小值为_二、解答题（本大题共6小题）15. 已知sin（+）=，（，）求：（1）cos的值；（2）sin（2-）的值16. 在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量=（cosA，sinA），=（cosA，-sinA），且=（I）求角A的大小及向量与的夹角；（II）若a=，求ABC面积的最大值17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=

4、x（cm）（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值18. 函数f（x）=loga（2-ax）（a0，a1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）-loga（2+ax），判断g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在2，3递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19. 已知数列an和bn满足a1a2a3an=（nN*）若an为等比数列，且a1=2，b3=6+b2（）求an和bn；（）设cn=（nN*）记数列cn的

5、前n项和为Sn（i）求Sn；（ii）求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn20. 已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=ex（其中e为自然对数的底数）（）若a=1，求函数y=f（x）g（x）在区间-2，0上的最大值；（）若a=-1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（）若对任意的x1，x20，2，x1x2，不等式|f（x1）-f（x2）|g（x1）-g（x2）|均成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】1【解析】解：A=-1，0，1，B=x|x0，RB=x|x0，ARB=1故答案为：1进行补集、交集的运算即可考查列举法、描述法的定义，以及交集、补

6、集的运算2.【答案】x0R，x02+2x0+10【解析】解：命题为全称命题，则“xR，x2+2x+10”的否定是：x0R，x02+2x0+10，故答案为：x0R，x02+2x0+10根据含有量词的命题的否定即可得到结论本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3.【答案】【解析】解：向量，若，x=4，=故答案为：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力4.【答案】【解析】解：函数的最小正周期为：=故答案为：直接利用三角函数的周期公式求解即可本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题5.【答案】-1【解析】解：函数，f（0）=e0=1，

7、f（0）-3=1-3=-20，f（-2）=-2+1=-1，所以f（f（0）-3）=f（-2）=-1，故答案为-1；已知f（x）是分段函数，代入分段函数求出f（0），再把f（0）-3看为一个整体，再进行代入进行求解；此题主要考查分段函数的性质，注意分段函数的定义域，此题是一道基础题；6.【答案】4【解析】解：3sinA=2sinB，由正弦定理可得：3a=2b，a=2，可解得b=3，又cosC=-，由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2=16，解得：c=4故答案为：4由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解本题主要考

8、查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题7.【答案】【解析】解：，（，），又，sin（）=sin=sin（）-=sin（）cos-cos（）sin=，则cos=，tan故答案为：由已知求得sin（），再由sin=sin（）-，运用两角差的正弦展开求得sin，然后利用同角三角函数基本关系式求解本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与两角差的三角函数，是基础题8.【答案】【解析】解：将函数f（x）=cos（x+）（|）的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=cos（2x+），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=cos2（x+）+=cos（2x+）

9、，所得函数图象关于原点对称，+=+k，kZ，即=+k，kZ，|，当k=0时，=，故答案为：根据函数平移变换关系求出函数解析式，结合函数奇偶性的性质进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键9.【答案】-2【解析】【解答】解：依题意，该等比数列的公比不为1，所以Sn=-qn=c+22n，所以q=2，=-2，c=-2，故填：-2【分析】显然该等比数列的公比不为1，所以Sn=-qn=c+22n，所以q=2，=-2，c=-2，本题考查了等比数列的前n项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题10.【答案】6【解析】

10、【分析】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键设肉价是每两x文，根据题意列出方程可解得答案【解答】解：设肉价是每两x文，由题意得16x-30=8x+18，解得x=6，即肉价是每两6文故答案为：611.【答案】-16【解析】解：设AMB=，则AMC=-又=-，=-，=（-）（-）=-+，=-25-53cos-35cos（-）+9=-16，故答案为-16设AMB=，则AMC=-，再由=（-）（-）以及两个向量的数量积的定义求出结果本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题12.【答案】（0，）【解析】解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），方程f（x）=

11、0在（0，+）有两个不同根；即方程lnx-ax=0在（0，+）有两个不同根；转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0ak令切点A（x0，lnx0），故k=y=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0a故答案为：（0，）由导数与极值的关系知可转化为方程f（x）=lnx-ax=0在（0，+）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+）上有两个不同交点，通过函数的导数利用曲线的斜率，从而求解a的范围；本题考查了导数的综合应用，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题13

12、.【答案】5+2【解析】解：y=ln（x+b）的导数为y=，由切线的方程y=x-a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1-b，切点为（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，a、b为正实数，则+=（a+b）（+）=2+3+5+2=5+2当且仅当a=b，即a=，b=3-时，取得最小值5+2故答案为：5+2求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得a+b=1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题14.【答案】0【解析】h（x）=（x-3）lnx，h（x）=lnx-+1，h（x）

13、=+0恒成立，h（x）在（0，+）上单调递增，存在x0，h（x0）=0，即lnx0=-1，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+）上单调递增，h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，h（）0，h（2）0，x0（，2），h（x0）（-，-），存在的最小值0，使得关于x的不等式2h（x）有解；故答案为：0令函数h（x）=（x-3）lnx，求出h（x）的最小值，根据函数的单调性判断即可；本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题15.【答案】解：（1）sin（+）=，即sincos+cossin=，化简：sin+cos=sin2+cos2=1由

14、解得cos=-或cos= （，）cos=- （2）（，）cos=- sin=，那么：cos2=1-2sin2=，sin2=2sincos= sin（2-）=sin2cos-cos2sin=【解析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cos的值；（2）根据二倍角公式求出cos2，sin2，利用两角和差公式打开，可得sin（2-）的值本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力16.【答案】解：（I）在ABC中，由=求得cos2A=，可得再根据=cos，求得cos，=，可得向量与的夹角，=（II）a=，A=，由余弦定理可得a2=5=b2+c2-2b

15、ccosA2bc-bc，求得bc10+5，当且仅当b=c时取等号，故ABC面积bcsinA=的最大值为【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题（I）在ABC中，由=求得cos2A=，可得A的值再根据两个向量的数量积的定义求得向量与的夹角（II）由条件利用余弦定理以及基本不等式求得bc的最大值，可得ABC面积bcsinA的最大值.17.【答案】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30-x），0x30（1）S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1800，答：当x=15时，S取最大值（2）V=a2h=2（-x3+

16、30x2），V=6x（20-x），由V=0得x=20，当x（0，20）时，V0；当x（20，30）时，V0；答：当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，即此时包装盒的高与底面边长的比值是【解析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力属于基础题18.【答

17、案】解：（1）由题意得：f（x）=log3（2-3x），2-3x0，即x，所以函数f（x）的定义域为（-，）；（2）易知g（x）=loga（2-ax）-loga（2+ax），2-ax0且2+ax0，关于原点对称，又，g（x）为奇函数（3）令=2-ax，a0，a1，=2-ax在2，3上单调递减，又函数f（x）在2，3递增，0a1，又函数f（x）在2，3的最大值为1，f（3）=1，即f（3）=loga（2-3a）=1，0a1，符合题意即存在实数，使函数f（x）在2，3递增，并且最大值为1【解析】本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性、最值问题，是一道中档题（1）根据对数函数的性质求出函数的

18、定义域即可；（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；（3）令=2-ax，根据复合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出对应的a的值即可19.【答案】解：（）a1a2a3an=（nN*），当n2，nN*时，由知：，令n=3，则有b3=6+b2，a3=8an为等比数列，且a1=2，an的公比为q，则=4，由题意知an0，q0，q=2（nN*）又由a1a2a3an=（nN*）得：，bn=n（n+1）（nN*）（）（i）cn=Sn=c1+c2+c3+cn=；（ii）因为c1=0，c20，c30，c40；当n5时，而=0，得，所以，当n5时，cn0，综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k=4【解析】本题考查了

19、等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力本题属于难题（）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列an的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；（）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明20.【答案】解：（）a=1时，y=（x2+x+1）ex，y=（x+1）（x+2）ex，令y0，解得：x-1或x-2，令y0，

20、解得：-2x-1，函数y=f（x）g（x）在-2，-1递减，在-1，0递增，而x=-2时，y=，x=0时，y=1，故函数在-2，0上的最大值是1；（）由题意得：k=有且只有一个根，令h（x）=，则h（x）=，故h（x）在（-，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+）单调递减，且函数值恒为正，又当x-时，h（x）+，所以当k或0k时，k=h（x）有且只有一个根（）设x1x2，因为g（x）=ex在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|g（x2）-g（x1）在x1、x20，2，且x

21、1x2恒成立，所以g（x1）-g（x2）f（x1）-f（x2）g（x2）-g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，即，在x1、x20，2，且x1x2恒成立，则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在0，2单调递增，则有，在0，2恒成立，当a-（ex+2x）恒成立时，因为-（ex+2x）在0，2单调递减，所以-（ex+2x）的最大值为-1，所以a-1；当aex-2x恒成立时，因为ex-2x在0，ln2单调递减，在ln2，2单调递增，所以ex-2x的最小值为2-2ln2，所以a2-2ln2，综上：-1a2-2ln2【解析】（）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从

22、而求出函数的最大值即可；（）若a=-1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即k=，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k或0k时，k=h（x）有且只有一个根；（）设x1x2，因为g（x）=ex在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|g（x2）-g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，当a-（ex+2x）恒成立时，a-1；当aex-2x恒成立时，a2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题