江苏省淮安市洪泽中学2015届高三上学期摸底数学试卷 WORD版含解析.doc

1、江苏省淮安市洪泽中学2015届高三上学期摸底数学试卷一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在横线上1（5分）已知集合A=1，2，B=1，0，1，则AB=2（5分）已知复数a+bi=（i是虚数单位，a，bR），则a+b=3（5分）某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是4（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为5（5分）已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为6（5分）一个算法的流程图如图所示，则输出的S值为7（5分）如图，在四边形A

2、BCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若，则=（用向量a和b表示）8（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）1的x的取值范围是9（5分）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为10（5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，且与直线x+y=0相切，则圆C标准方程为11（5分）已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为12（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，cR），若函数f（x）在区间1，0上是单调减函数，则a2+b2的最小值为13（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上是增函数，且f（2

3、）=1，若f（x+a）1对x1，1恒成立，则实数a的取值范围是二、解答题：本大题共6小题共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14（14分）在ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足（1）求ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值15（14分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA面ABCD，E是棱PB的中点求证：（1）EO平面PCD；（2）平面PBO平面PAC16（14分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每

4、一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？17（16分）如图已知椭圆（ab0）的离心率为，且过点A（0，1）（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点P（0，）18（16分）已知数列an的首项a1=2，且对任意nN*，都有an+1=ban+c，其中b，c是常数（1）若数列an是等差数列，且c=2，求数列an的通项公式；（2）若数列an是等比数列，且|b|2，当从数列a

5、n中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列an的前n项和Sn成立的n的取值集合19（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2bx（b为常数）（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求b的取值范围江苏省淮安市洪泽中学2015届高三上学期摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共13小题，每小题5分，共计7

6、0分.请把答案填写在横线上1（5分）已知集合A=1，2，B=1，0，1，则AB=1，0，1，2考点：并集及其运算 专题：阅读型分析：根据题意，AB是由集合A、B的全部元素组成的集合，列举A、B的全部元素，用集合表示即可得答案解答：解：根据题意，集合A=1，2，B=1，0，1，则AB=1，0，1，2；故答案为1，0，1，2点评：本题考查集合并集的计算，注意两个集合中重复的元素（如本题的元素1、2只）在并集中能出现一次2（5分）已知复数a+bi=（i是虚数单位，a，bR），则a+b=3考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：利用复数代数形式的乘除运算，求出a+bi=1+2i，由此能求出a+

7、b的值解答：解：a+bi=1+2i，a=1，b=2，故a+b=3故答案为：3点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答3（5分）某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是1考点：极差、方差与标准差 专题：计算题分析：根据这组数据的平均数是9，先做出数据中x的值，在把四个数据代入求方差的公式求这组数据的方差，计算后得到结果解答：解：四次射击中分别打出了10，x，10，8环，这组数据的平均数为9，x=8，这组数据的方差是（1+1+1+1）=1，故答案为：1点评：本题考查平均数与方差，是以一组数据的平均数为

8、条件求这组数据的方差，是一个基础题，本题若出现则是一个送分题目4（5分）从1，2，3，4，5这5个数中一次随机取两个数，则这两个数的和为5的概率为考点：等可能事件的概率 专题：计算题分析：根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案解答：解：根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有1、2，1、3，1、4，1、5，2、3，2、4，2、5，3、4，3、5，4、5，共10种情况，其中这两个数的和为5的有1、4，2、3，共2种；则取出两个数的和为5的概率P=；故答案为点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是用

9、列举法得到全部的情况数目和符合题干要求的情况数目5（5分）已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值解答：解：因为直线ax+y=a+1的斜率存在，要使两条直线平行，必有解得 a=1，当a=1时，已知直线xy=0与直线x+y=0，两直线重合，当a=1时，已知直线x+y=4与直线x+y=3，两直线平行，则实数a的值为 1故答案为：1点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法6（5分）一个算法的流程图如图所示，则输出的S

10、值为15考点：循环结构 专题：图表型分析：据程序框图的流程，写出前8次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果解答：解：通过第一次循环得到s=1，i=2通过第二次循环得到s=1+2，i=3通过第三次循环得到s=1+2+3，i=4通过第四次循环得到s=1+2+3+4，i=5通过第五次循环得到s=1+2+3+4+5，i=6此时满足判断框中的条件，执行输出，S=15故答案为15点评：解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律7（5分）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设=a，=b，若，则=（用向量a和b表示）考点：向量的线性运算性质及几何意义 专题

11、：计算题分析：向量表示错误 a，b，请给修改题干，谢谢 由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD，由AOBCOD 求得 AO=AC，=，再利用两个向量的加减法的几何意义，用 和表示解答：解：由题意可得四边形ABCD是梯形，且AB=2CD由AOBCOD 可得 =，AO=AC，即=（+）=（+）=，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得 = 是解题的关键，属于基础题8（5分）已知函数f（x）=，则满足f（x）1的x的取值范围是（，2考点：函数单调性的性质；其他不等式的解法 专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用分段函数，根据f（x）1，建立不等式组，即可求

12、得x的取值范围解答：解：由题意，或x1或1x2x2故答案为：（，2点评：本题考查分段函数，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题9（5分）已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：根据正三角形的性质，可求出底面中心到三角形顶点的距离，再用勾股定理结合已知数据求出正三棱柱的高，最后用锥体体积公式求出它的体积解答：解：正三棱锥的底面边长为2，底面正三角形的高为2=，可得底面中心到三角形顶点的距离为正三棱锥侧棱长为，正三棱锥的高h=2所以三棱锥的体积V=222=故答案为：点评：本题给出正三棱锥的底面边长和侧棱长，求它的体积，着重考查了正棱

13、锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题10（5分）已知圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，且与直线x+y=0相切，则圆C标准方程为（x2）2+y2=2考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程 专题：计算题分析：由圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴的右侧，设出圆心坐标为（a，0），且a大于0，根据r为表示出圆的标准方程，再由圆与直线x+y=0相切，可得出圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆的标准方程解答：解：由题意设圆心坐标为（a，0）（a0），且半径r=，圆与直线x+y=0相切，圆心到直线的距离d=r，即=，整理得：|a|=

14、2，解得：a=2或a=2（舍去），可得a=2，则圆的方程为（x2）2+y2=2故答案为：（x2）2+y2=2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键11（5分）已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为10考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：由题意可得 a1an =3，再由所有项的积为a1a1qa1q2 a1qn1=243=35 ，倒序可得 a1qn1a1q2a1qa1=35 ，把对应项相乘可得=3n=3535 =310，由

15、此解得 n的值解答：解：设等比数列为an，公比为q，由题意可得 a1a2a3=3，且 an2an1an=9，两式相乘可得 a1an =3再由所有项的积为a1a1qa1q2 a1qn1=243=35 ，倒序可得 a1qn1a1q2a1qa1=35 ，把对应项相乘可得 =3n=3535 =310，解得 n=10，故答案为 10点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题12（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，cR），若函数f（x）在区间1，0上是单调减函数，则a2+b2的最小值为考点：函数的单调性与导数的关系 专题：计算题分析：由函数在区间1，0上是

16、单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f（1）0且f（0）0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域 内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值；解答：解：（1）依题意，f（x）=3x2+2ax+b0，在1，0上恒成立只需要 即可，也即 ，而a2+b2可视为平面区域 内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d2=（）2=，a2+b2的最小值为 故答案为：点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，理解点到直线的距离公式，理解二元一次不等式组与平面区域的关系13（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在0，+）上是增函数，且f（2）=1，若f（x+a

17、）1对x1，1恒成立，则实数a的取值范围是1，1考点：函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合 专题：计算题分析：先利用f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，得到f（2）=f（2）=1；再由f（x）在0，+）上是增函数，f（x+a）1对x1，1恒成立，导出2xa2x在x1，1上恒成立，由此能求出实数a的取值范围解答：解：f（x）是R上的偶函数，且f（2）=1，f（2）=f（2）=1；f（x）在0，+）上是增函数，f（x+a）1对x1，1恒成立，2x+a2，即2xa2x在x1，1上恒成立，1a1，故答案为：1，1点评：本题考查函数恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性、单调性的灵

18、活运用二、解答题：本大题共6小题共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14（14分）在ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足（1）求ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题分析：（1）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将cosA的值代入求出bc的值，由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（2）由余弦定理得到a2=b2+c22bccosA，利用完全平方公式变形后，将b+c，bc及cosA的值代入，开方

19、即可求出a的值解答：解：（1）cosA=，且A为三角形的内角，sinA=，（2分）又=bccosA=2，bc=6，（6分）则SABC=bcsinA=6=2；（8分）（2）b+c=5，bc=6，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccosA=25124=9，（12分）则a=3（14分）点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算，余弦定理，完全平方公式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键15（14分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC交BD于点O，PA面ABCD，E是棱PB的中点求证：（1）E

20、O平面PCD；（2）平面PBO平面PAC考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题分析：（1）根据菱形的性质，可得到O是BD的中点，在PBD中利用中位线定理，得到EOPD，结合线面平行的判定定理，可证出EO平面PCD；（2）根据PA平面ABCD，得到PABD，结合菱形ABCD中ACBD，可得BD平面PAC，结合面面垂直的判定定理，可证出平面PBO平面PAC解答：解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD=O，O是BD的中点，又E是PB的中点，EO是PBD的中位线，可得EOPD （2分）EO平面PCD，PD平面PCD，EO平面PCD （6分）（2）PA平面ABCD，BD平面AB

21、CD，BDPA，（8分）又四边形ABCD是菱形，BDAC，（10分）PAAC=A，PA、AC平面PACBD平面PAC（12分）又BD平面PBD平面PBD平面PAC（14分）点评：本题给出一个特殊四棱锥，叫我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间线面垂直的判定与性质和线面平行的判定定理等知识，属于基础题16（14分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（

22、总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？考点：数列的应用；函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 专题：应用题分析：（1）由已知，确定写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列，从而可得函数表达式；（2）由（1），求出写字楼每平方米平均开发费用，利用基本不等式，即可求得每平方米平均开发最低费用解答：解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：40002000=8000000（元）=800（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：1002000=200000（元）=20（万元）

23、，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列（2分）所以函数表达式为：；（6分）（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：（10分）=（元）（12分）当且仅当，即x=30时等号成立答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低 （14分）点评：本题考查等差数列模型的构建，考查基本不等式的运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题17（16分）如图已知椭圆（ab0）的离心率为，且过点A（0，1）（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点求证：直线MN恒过定点P（0，）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专

24、题：综合题分析：（1）由题意知，e=，b=1，a2c2=1，由此能求出椭圆C的标准方程（2）设直线l1的方程为y=kx+1，由方程组，得（4k2+1）x2+8kx=0，利用题设条件推导出直线MP与直线NP的斜率相等，从而得到M，N，P三点共线，由此证明直线MN恒过定点P（0，）解答：解：（1）由题意知，e=，b=1，a2c2=1，（4分）解得a=2，所以椭圆C的标准方程为（6分）（2）设直线l1的方程为y=kx+1，由方程组，得（4k2+1）x2+8kx=0，（8分）解得，x2=0，所以，yM=，（10分）同理可得，（12分）=，=，（14分）所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，

25、）（16分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是2015届高考的重点解题时要认真审题，仔细解答18（16分）已知数列an的首项a1=2，且对任意nN*，都有an+1=ban+c，其中b，c是常数（1）若数列an是等差数列，且c=2，求数列an的通项公式；（2）若数列an是等比数列，且|b|2，当从数列an中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列an的前n项和Sn成立的n的取值集合考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应

26、用分析：（1）当c=2时，求出a2，a3的值，由等差数列的性质列式求出b，然后分类求出数列an的通项公式；（2）由数列an是等比数列，根据等比数列的性质得到c=0或2b+c=2，当2b+c=2时不满足题意，当c=0时分b=0和b0讨论，当b0时由an，an+1，an+2按某种顺序排列成等差数列得到1+b=2b2，或1+b2=2b，或b+b2=2，结合b的范围求出b，代入等比数列的求和公式求解Sn得答案解答：解：（1）当c=2时，由已知得，a1=2，a2=ba1+2=2b+2，an是等差数列，a1+a3=2a2，即2+（2b2+2b+2）=2（2b+2），b2b=0，解得b=0或b=1当b=0时

27、，an=2对nN*有an+1an=0成立，数列an是差数列；当b=1时，an+1=an+2（nN*），即an+1an=2成立，数列an是差数列数列an的通项公式分别为an=2或an=2n（2）an是等比数列，即2b（2b+c）+c=（2b+c）2，化简得2bc+c2=2c，c=0或2b+c=2当2b+c=2时，a2=ba1+c=2b+c=2，an=2，不满足Sn；当c=0时，若b=0，则a1=0，与a1=2矛盾，b0，则，则，an，an+1，an+2按某种顺序排列成等差数列，1+b=2b2，或1+b2=2b，或b+b2=2，解之得又|b|2b=，或b=1，当b=时，则，由Sn，得，即n为正整数

28、，n取值集合为2，4，6，8当b=1时，Sn=2n，不合题意点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了数列不等式的解法，体现了分类讨论的首项思想方法，是压轴题19（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2bx（b为常数）（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围；（3）若b1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求b的取值

29、范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系 专题：计算题分析：（1）由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和切线过原点写出切线方程，再和g（x）联立，利用根的判别求解即可（2）通过求h（x），结合函数h（x）在定义域上存在单调减区间，转化为存在性问题求b的取值范围（3）要使得对于区间1，2上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，即，利用导数的几何是切线的斜率，得到对于区间1，2上的任意实数x，|f（x）|g（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围解答

30、：解：（1）f（x）=lnx得f（x）=，函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为f（1）=1，切线方程为：y0=x1即y=x1由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x1代入得x1=x2bx，即x2（b+1）x+1=0，=（b+1）22=0，解得b=1，即实数b的值为1（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2bx，h（x）=+xb，根据函数h（x）在定义域（0，+）上存在单调减区间，存在x0，使得+xb0，即b+x，由于当x0时，+x2，b2实数b 的取值范围（2，+）（3）对于区间1，2上的任意实数x，f（x）=，1g（x）=xb1b，2b，要使得对于区间1，2上的任意两

31、个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，若用注意到f（x）是增函数，不妨设x1x2，则f（x1）f（x2），问题转化为|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|等价于f（x1）+f（x2）g（x1）g（x2）f（x1）f（x2）从而f（x1）g（x1）f（x2）g（x2）且f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2），即f（x）g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，利用导数的几何是切线的斜率，得到|f（x）|g（x）|，即|bx|，于是xbx+即（x）maxb（x+）minb2则b的取值范围，2点评：对于已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f（x）0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，则可得f（x）0