江苏省淮安市淮阴市2014-2015学年高三上学期期中数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2014-2015学年江苏省淮安市淮阴市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分70分，每小题5分）1设集合A=x|x1，B=x|xa，若AB=R，则实数a的取值范围为2复数z=（12i）2+i的实部为3某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生4从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是5函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则

2、程序运行后输出的结果为7等比数列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，则a3=8一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍9在平面直角坐标系中，直线x=0被圆x2+y2=4截得的弦长为10设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=11已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+bm=12设P为ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=13若存在正数x使ex（xa）1成立，则a的取值范围是14已知x+y=1，y0，x0，则+最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90

3、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知（，），tan=2（1）求的值；（2）求的值16如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD=AD，AFPC于点F，FECD交PD于点E（1）证明：CF平面ADF；（2）若ACBD=O，证明FO平面AED17设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C（1）若C的坐标为（1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率18为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区

4、域种植不同花草如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求ABO=120（1）请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；（2）x为多少时，该蝶形区域面积S最大？19设数列an的前n项和为Sn（1）若数列an是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使Sn=man+t对一切大于零的自然数n都成立（2）若数列an是首项为a1，公差d0的等差数列，证明：存在常数m，t，b使得Sn=man2+tan+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=（3）若数列an满足Sn=man2+ta

5、n+b，nN+，m、t、b（m0）为常数，且Sn0，证明：当t=时，数列an为等差数列20已知函数f（x）=exex2x，xR（1）证明f（x）为奇函数，并在R上为增函数；（2）若关于x的不等式f（x）mex2x+2m3在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值附加题21已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（2，1）变成了点A（3，4），点B（1，2）变成了点B（0，5），求矩阵M22在极坐标系中，已知圆=与直线相切，求实数a的值23如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAAC，AB=AC=A1B=2，顶点A1在底面

6、ABC上的射影恰为点B（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=，并求出二面角PABA1的平面角的正弦值24已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）an（x），an+1（x）设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）+nan（x）+（n+1）an+1（x）（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x20，2，恒有|F（x1）F（x2）|2n1（n+2）12014-2015学年江苏省淮安市淮阴市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题

7、满分70分，每小题5分）1设集合A=x|x1，B=x|xa，若AB=R，则实数a的取值范围为a1考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集解答： 解：A=x|x1，B=x|xa，且AB=R，如图，故当a1时，命题成立故答案为：a1点评： 本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目2复数z=（12i）2+i的实部为3考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 直接利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数的实部可求解答： 解：z=（12i）2+i=124i+（2i）2+i

8、=33i，复数z=（12i）2+i的实部为3故答案为：3点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生考点： 分层抽样方法专题： 概率与统计分析： 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求解答： 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为3

9、00=60，故答案为：60点评： 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题4从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）据此可得出答案解答： 解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3

10、），（2，4），（3，4）其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）故所求事件的概率P=故答案为点评： 把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可5函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为x=考点： 正弦函数的图象专题： 三角函数的图像与性质分析： 先求出函数的对称轴方程为x=，kZ，从而可求离坐标原点最近的一条对称轴的方程解答： 解：函数的对称轴方程为x=，kZ当k=1时，x=是离坐标原点最近的一条对称轴的方程故答案为：x=点评： 本题主要考察了正弦函数的图象与性质，属于基础题6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为9考点

11、： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 算法的功能是求S=的值，根据条件确定跳出循环的i值解答： 解：由程序框图知：算法的功能是求S=的值，S=1，S=跳出循环的i值为9，输出i=9故答案为9；点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键7（ 5分）（2014秋淮安期中）等比数列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，则a3=4考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的通项公式为an=a1qn1求出a1和q得到通项公式即可求出a3解答： 解：等比数列的通项公式为an=a1qn1由a5a1=15，a4a2=6得：a1q4

12、a1=15，a1q3a1q=6解得：q=2或q=则a3=a1q2=4或4等比数列an的公比大于1，则a3=a1q2=4故答案为4点评： 考查学生利用等比数列性质的能力8一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的2倍考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题： 空间位置关系与距离分析： 根据几何体的性质，公式转化为用r表示的式子判断解答： 解：一个圆柱和一个圆锥同底等高设底面半径为r，高为h，圆锥的侧面积是其底面积的2倍，rl=2r2，l=2rh=r圆柱的侧面积=2rl=2r2，其底面积=r2圆柱的侧面积是其底面积的2倍，故答案为：点评： 本题考查了

13、旋转体的几何性质，表面积的运算公式，属于中档题9在平面直角坐标系中，直线x=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2考点： 圆的切线方程专题： 计算题；直线与圆分析： 求出圆心到直线x=0的距离，利用勾股定理，可得结论解答： 解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2圆心到直线x=0的距离为d=，弦AB的长等于2=2故答案为：2点评： 本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题10设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 综合题；压轴题分析： 函数可化为f（x）=，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小

14、值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和解答： 解：函数可化为f（x）=，令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2即M+m=2故答案为：2点评： 本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题11已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+bm=2考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a2=1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a

15、+bm解答： 解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2，函数y=ax+的导数y=a，该函数图象在P点处的切线斜率为a2，由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则有a2=1，即a=1，m=3，b=1+m=4，则有a+bm=1+43=2故答案为：2点评： 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题12设P为ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则=0考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 利用向量的三角形法则可得=（）（）=（）+，由数量积运算即可得出结论解答： 解：由题意可得PA=P

16、D=1，=2，=（）（）=（）+=3+211+1=0故答案为0点评： 本题主要考查向量加减的运算法则及数量积运算等知识，属于基础题13若存在正数x使ex（xa）1成立，则a的取值范围是a1考点： 特称命题专题： 函数的性质及应用分析： 由不等式将参数a进行分离，利用函数的单调性进行求解解答： 解：由ex（xa）1，得xexaex1，ax，设f（x）=x，则f（x）在0，+）上单调递增，当x0时，f（x）f（0）=1，若存在正数x，使ex（xa）1成立，则a1故答案为：a1点评： 本题主要考查函数的单调性的应用，将参数分离是解决本题的关键，利用函数的单调性是本题的突破点，考查学生的转化能力，综合

17、性较强14已知x+y=1，y0，x0，则+最小值为考点： 函数的最值及其几何意义专题： 不等式的解法及应用分析： 根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值解答： 解：由x+y=1，y0得y=1x0，解得x1且x0当0x1时，+=+=+2=，当且仅当=，即x=时取等号，此时的最小值当x0时，+=+=+，x0，x0，2x0，+=+=1=，当且仅当=，即（2x）2=4x2，即3x2+4x4=0，解得x=2或x=（舍）时，取得号，此时最小值为，综上+最小值为，故答案为：点评： 本题主要考查式子最值的求解，根据条件结合基本不等式的应用是解决本题的关键综合性较强，有一

18、点的难度二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知（，），tan=2（1）求的值；（2）求的值考点： 两角和与差的正切函数；二倍角的余弦专题： 三角函数的求值分析： （1）由可求得sin、cos的值，利用两角和的正弦即可求得的值；（2）由sin2=2sincos=可求得cos2的值，利用两角差的余弦可得的值解答： 解：（1）由得：，（4分），=（6分）（2）sin2=2sincos=（8分），公式和结论各（1分）（10分），（12分），公式和结论各（1分）点评： 本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题16如图，四边形

19、ABCD为正方形，PD平面ABCD，PD=AD，AFPC于点F，FECD交PD于点E（1）证明：CF平面ADF；（2）若ACBD=O，证明FO平面AED考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （1）要证CF平面ADF，需要证明CF垂直面ADF内两相交直线，由AFPC于点F，只需证明ADCF（2）根据已知和（1），只要证明F是CP中点即可解答： 证明：（1）由PD平面ABCD，得PDAD又ADDC，ADDC=C根据线面垂直的判定定理，得AD平面PDC又CF面PCD，得ADCF，又AFCF，AFCF=C根据线面垂直的判定定理，得CF平面ADF（2）因为A

20、D=PD，由（1）知，F为PC中点ABCD为正方形，ACBD=O，O是AC中点，连接FO，则FO是三角形ACP的边AP的中位线，FOAP，又AP面APD，FO面APD，根据线面平行的判定定理，FO面APD，即FO面AED点评： 本题考查了线面垂直于线面平行的判定，属于基础题17设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C（1）若C的坐标为（1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由题意可得三

21、角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求；（2）由AD为圆C的切线，得到ADCO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率解答： 解：（1）三角形BFO为直角三角形，其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为（1，1）得，b=2，c=2，a2=b2+c2=8，则圆半径，椭圆方程为，圆方程为（x+1）2+（y1）2=2；（2）由AD与圆C相切，得 ADCO，BF方程为，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2c2）2=2a2c2a44a2c2+c4=0，解得：=点评： 本题考查了椭圆与圆的

22、方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题18为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求ABO=120（1）请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；（2）x为多少时，该蝶形区域面积S最大？考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： （1）设AOB=x，在三角形AOB中，由正弦定理表示出OB，S

23、为4个三角形AOB面积，表示出S与x关系式即可；（2）由（1）的结论整理S，利用正弦函数的值域确定出S最大时x的值即可解答： 解：（1）设AOB=x，在三角形AOB中，由正弦定理得=，OB=sin（60x），则S=4SAOB=2OAOBsinx=sin（60x）sinx；（2）由（1）整理得：S=（cosx+sinx）sinx=sin（2x+30），则x=30时，蝶形区域面积最大点评： 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键19设数列an的前n项和为Sn（1）若数列an是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使Sn=man+t

24、对一切大于零的自然数n都成立（2）若数列an是首项为a1，公差d0的等差数列，证明：存在常数m，t，b使得Sn=man2+tan+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=（3）若数列an满足Sn=man2+tan+b，nN+，m、t、b（m0）为常数，且Sn0，证明：当t=时，数列an为等差数列考点： 数列的应用；数列的求和专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）利用等比数列的求和公式，即可求常数m，t的值；（2）确定，利用Sn=man2+tan+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=，即可得出结论；（3）由题知SnSn1=an，可得，即可证明结论解答： 解：（1）所以m=2，t=1（4

25、分）（2）在等差数列an中，an=a1+（n1）d，所以所以存在，使得命题成立（6分）（3）由题知SnSn1=an，若an+an1=0，则S2=0，与题设矛盾所以，m0，得所以数列an为等差数列（6分）点评： 本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20已知函数f（x）=exex2x，xR（1）证明f（x）为奇函数，并在R上为增函数；（2）若关于x的不等式f（x）mex2x+2m3在（0，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的

26、单调性专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）验证f（x）=f（x），再用导数验证单调性；（2）由f（x）mex2x+2m3得exex2xmex2x+2m3，故m（ex+2）exex+3，变形得令t=ex1得 ，用基本不等式求最值；（3）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，求导整理得g（x）2（ex+ex2）（ex+ex2b+2）由于ex+ex20，只对因式）（ex+ex2b+2）分情况讨论即可解答： 解：（1）xR，f（x）=exex+2x=（exex2x）=f（x），所以f（x）为奇函数，而，f（x）0在R上恒成立，所以f（x）在R上

27、增，（2）由f（x）mex2x+2m3得exex2xmex2x+2m3，m（ex+2）exex+3，变形得，m只要大于或等于右边式子的最大值即可令t=ex1得 ，；（3）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4） =2（ex+ex2）（ex+ex2b+2）ex+ex20，（i）当b2时，2b+22，ex+ex2b+20，g（x）0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（，+）上单调递增而g（0）=0，所以对任意x0，g（x）0（ii）当b2时，2b22，

28、若x满足2ex+ex2b2，即0xln（b1+）时，g（x）0而g（0）=0，因此当0xln（b1+）时，g（x）0，不满足要求综上b2，故b的最大值为2点评： 本题主要考查函数与导数的关系，突出分类讨论的数学思想，分类的技巧是解题的关键附加题21已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（2，1）变成了点A（3，4），点B（1，2）变成了点B（0，5），求矩阵M考点： 几种特殊的矩阵变换专题： 计算题；矩阵和变换分析： 利用待定系数法求解先设所求的矩阵，再利用矩阵的乘法得到方程组，最后求解方程组即得解答： 解：设该二阶矩阵为M=，由题意得=，=，所以，解得，a=2，b=1，c=1，d=2即 点评

29、： 本题主要考查了二阶矩阵的乘法，考查运算能力，属于基础题22在极坐标系中，已知圆=与直线相切，求实数a的值考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 坐标系和参数方程分析： 首先把极坐标方程和直角坐标方程的互化，进一步利用点到直线的距离等于半径求出a的值解答： 解：已知圆=，则转化为直角坐标方程为：转化为直角坐标方程为：x+ya=0利用圆心到直线的距离：解得：a=1或1点评： 本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离的应用及相关的运算23如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAAC，AB=AC=A1B=2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B（1）求异面直线AA1与BC所成

30、角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=，并求出二面角PABA1的平面角的正弦值考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角专题： 空间角分析： （1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AA1与棱BC所成的角的大小（2）分别求出平面PABA1的法向量和平面ABA1的法向量，利用向量法能求出二面角PABA1的平面角的正弦值解答： 解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），=（0，2，2），=（2，2，0），cos=，AA1与棱BC所成的角是（2）设，则P（2，42，2），|=，解

31、得或（舍），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2），设平面PAB的法向量为，则，令z=1，得=（2，0，1），由题意知平面ABA1的法向量为=（1，0，0），设二面角PABA1的平面角为，则cos=|cos|=|=，sin=二面角PABA1的平面角的正弦值为点评： 本题考果二面角的异面直线所成角的大小的求法，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用24已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）an（x），an+1（x）设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）+nan（x）+（n+1）an+1（x）（1）若a1（

32、x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x20，2，恒有|F（x1）F（x2）|2n1（n+2）1考点： 二项式定理；等差数列的性质专题： 函数的性质及应用分析： （1）由题意可得 ak（x）=，求得a1（x），a2（x），a3（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值（2）由F（x）的解析式求得 F（2）+2+3+（n+1），设Sn=+2+3+（n+1），利用二项式系数的性质求得Sn=（n+2）2n2再利用导数可得F（x）在0，2上是增函数可得对任意x1，x20，2，恒有|F（x1）F（x2）|F（2）F（0）=2n1（n+2）1解答： 解

33、：（1）由题意可得 ak（x）=，k=1、2、3，n+1，故a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为 =1，=，=再由2=1+，解得 n=8（2）F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）+nan（x）+（n+1）an+1（x）=+2（）+3+（n+1），F（2）=+2+3+（n+1）设Sn=+2+3+（n+1），则有Sn=（n+1）+n+3+2+把以上2个式子相加，并利用= 可得 2Sn=（n+2）+=（n+2）2n，Sn=（n+2）2n1当x0，2时，由于F（x）0，F（x）在0，2上是增函数，故对任意x1，x20，2，恒有|F（x1）F（x2）|F（2）F（0）=2n1（n+2）1，命题得证点评： 本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域，属于中档题