2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题：习题课——椭圆的综合问题及应用 WORD版含解析.docx

1、习题课椭圆的综合问题及应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知点M(3,0),直线y=k(x+3)与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则ABM的周长为()A.4B.8C.12D.16解析椭圆x24+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=a2-b2=3,所以椭圆的两个焦点为N(-3,0),M(3,0).又因为直线y=k(x+3)必经过定点N(-3,0),由椭圆的定义知ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8.答案B2.直线l:2x-y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()A.15B.55C.25

2、D.255解析直线l:2x-y+2=0中,令x=0,得y=2;令y=0,得x=-1,直线l:2x-y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,椭圆左焦点F1(-1,0),顶点B(0,2),c=1,b=2,a=1+4=5,该椭圆的离心率为e=ca=15=55.故选B.答案B3.已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当F1PF2的面积为1时,PF1PF2等于()A.0B.1C.2D.12解析设P(x0,y0),则依题意有SF1PF2=12|F1F2|y0|=1,而|F1F2|=23,所以y0=33.故得x0=263.取P263,33,可得PF1PF2=0.答案A4.若点O

3、和点F分别为椭圆x29+y28=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则OPFP的最小值为()A.214B.6C.8D.12解析点P为椭圆x29+y28=1上的任意一点,设P(x,y)(-3x3,-22y22),依题意得左焦点F(-1,0),OP=(x,y),FP=(x+1,y),OPFP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19x+922+234.-3x3,32x+92152,94x+9222254,1419x+92222536.619x+922+23412,即6OPFP12.故选B.答案B5.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|P

4、Q|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析因为|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案A6.已知斜率为2的直线l被椭圆x23+y22=1截得的弦长为307,则直线l的方程为.解析设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-67m,x

5、1x2=314(m2-2).由弦长公式得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=53649m2-67(m2-2)=307,解得m=13,所以直线l的方程为y=2x13.答案y=2x137.在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,射线AF2交椭圆于B.若AF1B的面积为403,内角A为60,则椭圆的焦距为.解析由题意可得AF1F2为等边三角形,即有2a+2c3=2c,2c=a,b=a2-c2=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,设直线AB的方程为x=-33y+c,代入椭圆方程,可得313y2+c2-233cy+4y

6、2=12c2,化为5y2-23cy-9c2=0,解得y=3c或y=-335c,即有AF1B的面积为122c|yA-yB|=c835c=403,可得c=5,即有椭圆的焦距为10.答案108.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若PF1F2的面积为23,求点P的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为x216+y212=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),依

7、题意知,12|F1F2|y0|=23,所以|y0|=3,y0=3,代入椭圆方程x0216+y0212=1,得x0=23,所以点P的坐标为(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3).9.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.解设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r.又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10.所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=2

8、5-9=16.即点P的轨迹方程为x225+y216=1.10.已知椭圆E的方程为x2a2+y2=1,点A为长轴的右端点.B,C为椭圆E上关于原点对称的两点.直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足:kABkAC=-12.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l:y=kx+t与圆x2+y2=23相切,且与椭圆E相交于M,N两点,求证:以线段MN为直径的圆恒过原点.解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则点C的坐标为(-x0,-y0),由x02a2+y02=1得,y02=1-x02a2=a2-x02a2.由kABkAC=-12,即y0x0-a-y0-x0-a=-12得,y02=a2-x022.所

9、以a2-x02a2=a2-x022,所以a2=2.即椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)设点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+t得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2(2t2-2)1+2k2+-4k2t21+2k2+t2=t2-2k21+2k2,又直线l与圆C相切,所以63=|t|1+k2,即23=t21+k2.所以OMON=x1x2+y1y2=2t2-2+t2-2k21+2k2=3

10、t2-2(1+k2)1+2k2=2(1+k2)-2(1+k2)1+2k2=0,所以OMON,即MON=90.所以,以线段MN为直径的圆经过原点.能力提升1.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为()A.0B.1C.2D.0或1解析直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,4m2+n22.m2+n24,m29+n24b0)的右顶点,点P为椭圆C上一点(不与A重合),若POPA=0(O是坐标原点),则ca(c为半焦距)的取值范围是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上说法都不对解析设P(x0,y0)(x0a

11、),POPA=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,(x0-a2)2+y02=a24b2x02+a2y02=a2b2c2x02-a3x0+a2b2=0(c2x0-ab2)(x0-a)=0x0=a,或x0=ab2c2,因为x0a,故x0=ab2c2,0ab2c2a.b2c2,即a2-c222,ca的取值范围是22,1,故选B.答案B4.已知点A-12,0,B是圆F:x-122+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程.解如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|.所以动

12、点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆.因此a=1,c=12,b2=34.故动点P的轨迹方程为x2+y234=1.5.已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点C1,32在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)若点P在椭圆E上,且t=PF1PF2,求实数t的取值范围.解(1)依题意,设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由已知c=1,所以a2-b2=1.因为点C1,32在椭圆E上,所以1a2+94b2=1.由得,a2=4,b2=3.故椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)设P(x0,y0),由PF1PF2=t,得(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即x0

13、2+y02=t+1.因为点P在椭圆E上,所以x024+y023=1.由得y02=t+1-x02,代入,并整理得x02=4(t-2).由知,0x024,结合,解得2t3.故实数t的取值范围为2,3.6.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,短轴长为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若椭圆C的左焦点为F1,过点F1的直线l与椭圆C交于D,E两点,则在x轴上是否存在一个定点M使得直线MD,ME的斜率互为相反数?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.解(1)据题意,得2b=23,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的标准方程为x

14、24+y23=1.(2)据题设知点F1(-1,0),当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1).由y=k(x+1),x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.设E(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.设M(m,0),则直线MD,ME的斜率分别满足kMD=y2x2-m,kME=y1x1-m.又因为直线MD,ME的斜率互为相反数,所以kME+kMD=y1x1-m+y2x2-m=x2y1+x1y2-m(y1+y2)(x1-m)(x2-m)=0,所以x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x2+1)-mk(x1+1)+k(x2+1)=0,所以2kx1x2+k(x1+x2)-mk(x1+x2)+2k=0,所以2k4k2-124k2+3+k-8k24k2+3-mk-8k24k2+3+2k=0,所以k(m+4)=0.若k(m+4)=0对任意kR恒成立,则m=-4,当直线l的斜率k不存在时,若m=-4,则点M(-4,0)满足直线MD,ME的斜率互为相反数.综上,在x轴上存在一个定点M(-4,0),使得直线MD,ME的斜率互为相反数.