2020-2021学年新教材数学人教B版必修第一册 3-3 函数的应用（一） 学案 WORD版含答案.docx

1、3.3函数的应用(一)学习目标1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够对简单的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题.自主预习1.我们之前都学习过哪些函数?它们的解析式分别是什么,都有哪些性质?(1)一次函数解析式:.性质:(2)二次函数解析式:.性质:(3)反比例函数解析式:.性质:(4)分段函数解析式:.性质:2.均值不等式(一正、二定、三相等):3.思考一下二次函数以及用均值定理求最值的方法.课堂探究一、提出问题,激发兴趣在我们的现实生活中经常会碰到一些这样的问题:国家为了鼓励节约用水、节约用电,会实行阶梯水价、阶梯电

2、价,那么如何根据用水量求出需要交纳的水费呢?酒店为了获取最大利润应该如何制定房间的价格?在材料一定的前提下如何使围出的矩形场地面积最大?还有经济学中的问题,如何求最大利润或者最小成本等等问题.诸如此类的问题我们经常碰到,那么如何解决呢?请同学们思考并回答下面两个问题:(1)阶梯电价、阶梯水价问题中水费与用水量是什么函数关系呢?(2)在材料一定的前提下围出的矩形场地面积如何表示?如何求出面积的最大值?二、分析问题,明确思路,解决问题,提升数学运算素养(一)分段函数模型例1为鼓励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示:分档户年用

3、水量/m3综合用水单价/(元/m3)第一阶梯0220(含)3.45第二阶梯220300(含)4.83第三阶梯300以上5.83记户年用水量为x m3时应缴纳的水费为f(x)元.(1)写出f(x)的解析式;(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260 m3,则张明一家2015年应缴纳水费多少元?(二)一次函数模型思考问题,分析问题,建立模型例2城镇化是国家现代化的重要指标,根据资料显示,19782013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每年城镇常住人口增加量相等,记1978年后第t(限定t40)年的城镇常住人口为f(t)亿.写出f(t)的解析式,并由此估算出我国2017年

4、城镇常住人口数.问题:(1)一次函数的平均变化率是什么?(2)这个题目是根据什么信息得出f(t)的函数类型的?(3)根据题目中“记1978年后第t(限定t0)函数模型例4已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本6 000.设该产品年产量为Q时平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时,平均成本最少,并求最小值.评价反馈1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销

5、售所得的收入约为5t-12t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?2.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=13x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+100x-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(

6、注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)作业布置阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题:课本第124页A组第1,2,3题B组第1,2题选做题:核心素养专练核心素养专练1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取试单的降价措施,经调查发现每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1 200元,则每件衬衫应当降价多少元?(2)每件衬衫降价多少

7、时,商场平均每天盈利最多?2.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可以利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国建至少补贴多少元才能使该单位不亏?参考答案自主预习略课堂

8、探究一、(1)分段函数(2)设出未知量,用未知量表示出面积,二次函数求最值求出面积最值.例1解:(1)不难看出f(x)是一个分段函数,当0x220时,有f(x)=3.45x;当220300时,有f(x)=2203.45+(300-220)4.83+(x-300)5.83=5.83x-603.6.因此f(x)=3.45x,0x220,4.83x-303.6,220300.(2)f(260)=4.83260-303.6=952.2,因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元.例2问题:(1)函数的平均变化率是一个常数时,函数是一次函数;(2)每一年城镇常住人口的增加量相等;(3)1978年对应t

9、=0,2013年对应的t=35.解:因为每一年城镇常住人口的增加量相等,所以f(t)是一次函数.设f(t)=kt+b,其中k,b是常数.注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年,因此f(0)=1.7,f(35)=7.3,即b=1.7,35k+b=7.3,解得k=0.16,b=1.7.因此f(t)=0.16t+1.7,tN且t0,12(l-2x)0,得0x0,y0,x+y=l2,故有l2=x+y2xy,即S=xyl216,当且仅当x=y=l4时,S取得最大值为l216.例4解:(1)将Q=100,C=6 000代入C=aQ2+3 000,可得1002a+3 000=6 000

10、,从而a=310,于是C=3Q210+3 000,因此f(Q)=CQ=310Q+3 000Q,Q0.(2)因为f(Q)=310Q+3 000Q2310Q3 000Q=60,当且仅当310Q=3 000Q,即Q=100时,等号成立.因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60.评价反馈1.解:(1)当05时,产品只能售出500件.所以f(x)=5x-12x2-(0.5+0.25x)(05),即f(x)=-12x2+4.75x-0.5(05).(2)当05时,f(x)12-0.255=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.2.解:(1)因为每件商品售价为5元,则x

11、万件商品销售收入为5x万元,依题意得:当0x8时,L(x)=5x-13x2+x-3=-13x2+4x-3;当x8时,L(x)=5x-6x+100x-38-3=35-x+100x.所以L(x)=-13x2+4x-3,0x8,35-x+100x,x8.(2)当0x8时,L(x)=-13(x-6)2+9.此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9万元,当x8时,L(x)=35-x+100x35-2x100x=35-20=15,当且仅当x=100x时等号成立,即x=10时,L(x)取得最大值15万元.因为915,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.课

12、堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图形的直观性.2.数学建模的过程图示如下:作业布置略核心素养专练1.解:(1)设每件衬衫应当降价x元,根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200,解得x=10或x=20,因为商场要尽快减少库存,所以x=20,所以商场平均每天要盈利1 200元,则每件衬衫应当降价20元.(2)设每件衬衫降价x元,商场平均每天盈利y元,则y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2

13、(x-15)2+1 250,当x=15时,y有最大值为1 250元,所以每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多.2.解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为yx=12x+80 000x-200212x80 000x-200=200,当且仅当12x=80 000x,即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80 000=-12x2+300x-80 000=-12(x-300)2-35 0000.故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 0

14、00元才能使该单位不亏损.学习目标1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.培养数学建模素养.3.借助实际问题中的最值问题,提升数学运算素养.自主预习1.随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表:年份201520162017销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的需要,2018年初,该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标,经过全体员工的共同努力,2018年实际销售44万辆,圆满完成销售目标.

15、问题1在实际生产生活中,对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息?问题2如果我们分别将2015,2016,2017,2018年定义为第一、二、三、四年,现在有两个函数模型:二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a0),一次函数模型g(x)=ax+b(a0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系?问题3依照目前的形势分析,你能预测一下2019年,该公司预销售多少辆汽车吗?提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量.3.2019年,该公司预销售60万辆汽车.常见函数模型一次函数模型二次函数模型分段函数模型2.解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解

16、决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一);(二);(三);(四).初试身手1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为() A.y=20-x,0x10B.y=20-2x,0x20C.y=40-x,0x10D.y=40-2x,0x202.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图像如图所示,则对于丙、丁两车的图像所在区域,判断正确的是()A.丙在区域,丁在区域B.丙在区城,丁在区域C.丙在区域,丁在区域D.丙在区域,丁在区域3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销

17、售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个元.课堂探究类型1一次函数模型的应用例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2 000套B.3 000套C.4 000套D.5 000套跟踪训练:1.如图所示,这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像.根据图像填空:(1)通话2分钟,需要付电话费元;(2)通话5分钟,需要付电话费元;(3)如果t3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为.类型2二次函数模

18、型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?跟踪训练:2.A,B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于10 km,已知每个城市的供电费用与供电距离的

19、平方和供电量之积成正比,比例系数=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小.类型3分段函数模型的应用例3某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产

20、品的年产量为多少时,当年所得利润最大?跟踪训练:3.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨,3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.评价反馈1.思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,判断下列说法的对错.(1)甲比乙先出发.()(2)乙比甲跑的路程多.()(3)甲、乙两人的速度相同.()(4)甲先到达终点.()2.向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与

21、水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是()3.某人从A地出发,开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地,在B地停留2小时,则汽车离开A地的距离y(单位:千米)是时间t(单位:小时)的函数,该函数的解析式是.4.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试由图像解决下列问题:(1)求y与x的函数解析式;(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,每天至少卖出多少张门票?核心素养专练合格基础练一、选择题1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40 000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()A.2 000

22、双B.4 000双C.6 000双D.8 000双2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是()A.310元B.300元C.290元D.280元3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1x10,xN*,2x+10,10x100,xN*,1.5x,x100,xN*.其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为()A.15B.40C.25D.1304.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率销售价-进价进价100

23、%由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于()A.12B.15C.25D.505.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25 m时,交通灯由红变绿,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走,那么()A.此人可在7 s内追上汽车B.此人可在10 s内追上汽车C.此人追不上汽车,其间距最少为5 mD.此人追不上汽车,其间距最少为7 m二、填空题6.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为.7.把长为12 cm的细

24、铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是 cm2.8.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,这个人的稿费为元.三、解答题9.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠”.若全票价为240元.(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行

25、社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式;(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠?10.一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别是40 cm与60 cm,现在将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪才能使剩下的残料最少?并求出此时残料的面积.等级过关练1.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),

26、其中可能正确的是()2.一个体户有一批货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%.如果月末售出,可获利120元,但要付保管费5元.这位个体户为获利最大,则这批货()A.月初售出好B.月末售出好C.月初或月末售出一样D.由成本费的大小确定3.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由BCDA沿边运动,设点P运动的路程为x,ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则ABC的面积为.(1)(2)4.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=13,BC=3,在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG

27、=CF=x,则x=时,四边形EFGH的面积最大,最大面积为.5.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生接受概念的能力(f(x)的值愈大,表示接受的能力愈强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下的公式f(x)=-0.1x2+2.6x+43(0x10),59(10x16),-3x+107(16x30).(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?(2)开讲后5分钟与开讲后20分

28、钟比较,学生的接受能力何时强一些?参考答案自主预习略初试身手1.A2.A3.60课堂探究例1D跟踪训练1.(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t3)例2解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50x55,xN).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50x55,xN).(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以

29、当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.跟踪训练2.解:(1)由题意设甲城的月供电费用为y1,则y1=20x2.设乙城的月供电费用为y2,则y2=10(100-x)2,甲、乙两城月供电总费用y=20x2+10(100-x)2.=0.25,y=5x2+52(100-x)2(10x90).(2)由y=5x2+52(100-x)2=152x2-500x+25 000=152x-10032+50 0003,则当x=1003时,y最小.故当核电站建在距A城1003 km时,才能使供电总费用最小.例3解:(1)当05时,产品只能售出500件.所以f(x)=5x-12x2-(

30、0.5+0.25x)(05),即f(x)=-12x2+4.75x-0.5(05).(2)当05时,f(x)4时,y=41.8+3x1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x4时,y=241.8+3(3x-4)+(5x-4)=24x-9.6.所以y=14.4x,0x45,20.4x-4.8,4543.(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;当x0,45时,yf4526.4;当x45,43时,yf4326.4;当x43,+时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=51.5=7.5(吨),付费S1=41.8+3.53=17.70(元);

31、乙户用水量为3x=4.5(吨),付费S2=41.8+0.53=8.70(元).评价反馈1.(1)(2)(3)(4)2.B3.y=80t,0t2,160,21 000,得x7003,故每天至少需要卖出234张门票.核心素养专练合格基础练一、选择题1.D2.B3.C4.B5.D二、填空题6.S(t)=2t2+108t+400,tN7.238.3 800三、解答题9.解:(1)y甲=120x+240(xN*),y乙=(x+1)24060%=144(x+1)(xN*).(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即当学生数为4人时,两家旅行社的收费一样.(3)当x4时,甲旅行社更优惠.10

32、.解:设直角三角形为ABC,AC=40,BC=60,矩形为CDEF,如图,设CD=x,CF=y,则由RtAFERtEDB得AFED=FEDB,即40-yy=x60-x,解得y=40-23x,记剩下的残料面积为S,则S=126040-xy=23x2-40x+1 200=23(x-30)2+600(0x60),故当x=30时,Smin=600,此时y=20,所以当x=30,y=20时,剩下的残料面积最少为600 cm2.等级过关练1.C2.D3.164.3305.解:(1)当0x10时,f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,由f(x)的图像(图略)可知,当x=10时,f(x)max=f(10)=59;当10x16时,f(x)=59;当16x30时,f(x)max59.因此,开讲后10分钟,学生的接受能力最强,并能持续6分钟.(2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5,f(20)=-320+107=4753.5,开讲后5分钟学生的接受能力比开讲后20分钟强.