2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-4-3 余弦定理、正弦定理 第3课时　余弦定理、正弦定理应用 WORD版含解析.docx

1、第3课时余弦定理、正弦定理应用探究一利用正、余弦定理解三角形例1(1)在ABC中,D为边BC的中点,已知AC=7,CD=2,CDA=3,则AD=;sin B=.(2)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.求sinCsinA的值;若cos B=14,ABC的周长为5,求b的长.答案(1)3;35738解析(1)在ADC中,由余弦定理的推论,知cosCDA=AD2+CD2-AC22ADCD,即12=AD2+4-74AD,解得AD=3(负值舍去).在ADB中,由余弦定理,知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=9+4+23212=1

2、9,所以AB=19(负值舍去),又由正弦定理,知ABsinADB=ADsinB,所以sin B=ADsinADBAB=33219=35738.(2)由正弦定理,设asinA=bsinB=csinC=k,则2c-ab=2ksinC-ksinAksinB=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,化简,得sin(A+B)=2sin(B+C),又A+B+C=,所以sin C=2sin A.所以sinCsinA=2.由sinCsinA=2,得c=2a.由余弦定理及cos

3、 B=14,得b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a214=4a2,所以b=2a,又a+b+c=5,所以a=1,因此b=2.思维突破与解三角形有关的问题,首先要结合已知条件,选用恰当的余弦定理或正弦定理求解,过程中注意边角的互化和等式的恒等变形.1-1在ABC中,已知A=30,AB=2,BC=6,则cosACB=,AC=.答案306;3+5解析根据正弦定理,得BCsinA=ABsinACB,可得sinACB=ABsinABC=2126=66,故cosACB=306,因为cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=22+AC2-(6)222AC=32,所以AC=3+5(负值舍去

4、).1-2ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案2113解析在ABC中,由cos A=45,cos C=513,可得sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365,由正弦定理得b=asinBsinA=2113.探究二判定三角形的形状例2若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试确定ABC的形状.解析解法一:(利用边的关系来判断)由正弦定理得sinCsinB=cb,由2cos Asin B=sin C,得cos A=sinC2

5、sinB=c2b.又由余弦定理的推论,得cos A=b2+c2-a22bc,c2b=b2+c2-a22bc,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又a2+b2-c2=ab,2b2-c2=b2,所以b2=c2,b=c,a=b=c.ABC为等边三角形.解法二:(用角的关系来判断)A+B+C=180,sin C=sin(A+B),又2cos Asin B=sin C,2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,sin(A-B)=0.又A与B均为ABC的内角,A=B.又由a2+b2-c2=ab,由余弦定理的推论,得cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=

6、12,又0C180,所以C=60,ABC为等边三角形.2-1在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则ABC是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案B2bcos C-2ccos B=a,2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin(B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,tan B=3tan C,又B=2C,2tanC1-tan2C=3tan C,解得tan C=33(舍负).C(0,),C=6,B=2C=3,A=2,无法判断是否有相等的边,故ABC为直角三角形.探究

7、三三角形中的几何计算例3(1)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=223,a=2,SABC=2,则b的值为()A.3B.322C.22D.23(2)(易错题)在ABC中,若C=3B,求cb的取值范围.答案(1)A解析(1)因为ABC为锐角三角形,sin A=223,所以cos A=13.由SABC=12bcsin A=2,得bc=3.由cos A=b2+c2-a22bc得b2+c2=6.联立,解得b=3(负值舍去).(2)由正弦定理可知cb=sinCsinB=sin3BsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB=cos 2B+2cos2B=4cos

8、2B-1.又因为A+B+C=180,C=3B,所以0B45,所以22cos B1,所以14cos2B-13,所以1cb3.即cb的取值范围是(1,3).易错点拨常因忽视三角形的隐含条件而出现解题错误. 1.解决三角形中最值与范围问题:记住常用结论,理清三角形中基本量的关系,把所求量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.2.求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧:(1)若所给图形为平面三角形,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式S=12absin C=12bcsin A=12acsin B进行求解.(2)若平面图形为不规则图形,可通过作辅

9、助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.3-1(2018北京,14,5分)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.答案3;(2,+)解析依题意有12acsin B=34(a2+c2-b2)=342accos B,则tan B=3,0B2,又A0,0A6,则0tan A3,ca12+323=2.故ca的取值范围为(2,+).3-2在ABC中,BC=23,AC=3,BAC=2B,D是BC上一点且ADAC,则ABD的面积为.答案210解析如图所示,BC=23,AC=3,BAC=2B,在ABC中,由正弦定理BCsinBAC=ACsinB=ABsinC,可

10、得23sinBAC=3sinB=232sinBcosB,解得cos B=33,可得sin B=1-cos2B=63,cosBAC=cos 2B=2cos2B-1=-13.ADAC,sinBAD=sinBAC-2=-cosBAC=13,可得cosBAD=1-sin2BAD=223,sinADB=sin(BAD+B)=1333+22363=539.在ABC中,由余弦定理可得32=AB2+(23)2-2AB2333,解得AB=1或AB=3.若AB=AC=3,则B=C.由BAC=2B可得B=C=4,A=2,即B和D重合,矛盾,AB=3舍去.AB=1,在ABD中,由正弦定理,得ABsinADB=ADsi

11、nB,AD=ABsinBsinADB=325,SABD=12ABADsinBAD=12ABAD13=210.1.在ABC中,内角C为钝角,sin C=35,AC=5,AB=35,则BC=() A.2B.3C.5D.10答案A由题意知,cos C=-45,设BC=x,由余弦定理,得(35)2=52+x2-25x-45,化简,得x2+8x-20=0,解得x1=2,x2=-10(舍去),所以BC=2.2.在ABC中,已知BC=1,B=3,则ABC的面积为3,则AC的长为.答案13解析由三角形面积公式得12BCABsin B=3,解得AB=4,由余弦定理,得AC2=1+16-21412=13,所以AC

12、的长为13.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;3解析因为a=7,b=2,A=60,所以由正弦定理,得sin B=bsinAa=2327=217.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得c2-2c-3=0,所以c=3(负值舍去).4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 sin2C-sin2B=sin2A-3sin Asin B.(1)求角C;(2)若A=6,ABC的面积为43,M为AB的中点,求CM的长.解析(1)由正弦定理,知sin2C-sin2B=sin2A-3sin Asin B可

13、化为c2-b2=a2-3ab,即c2=a2+b2-3ab.又由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=32,0C,所以C=6.(2)因为A=C=6,所以ABC为等腰三角形,且顶角B=23,故SABC=12a2sin B=34a2=43,所以a=4(负值舍去).在MBC中,由余弦定理,得CM2=MB2+BC2-2MBBCcos B=4+16+22412=28,解得CM=27(负值舍去).故CM的长为27.逻辑推理不等式在求最值问题中的应用已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案3

14、解析a=2,(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.由正弦定理,得(a+b)(a-b)=(c-b)c,a2-b2=c2-bc.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=12,A=60且b2+c2-4=bc,b2+c2-4=bc2bc-4,当且仅当b=c时等号成立.bc4,SABC=12bcsin A3,ABC面积的最大值为3.素养探究:解决与三角形有关的最值(范围)问题,可通过利用正弦定理、余弦定理转化利用基本不等式、函数的性质求解,有时还需要数形结合寻找解题思路,过程中体现逻辑推理的核心素养.在ABC中,

15、角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+bsin B=2csin C,则角C的最大值为;若c=2a=2,则ABC的面积为.答案3;32解析由正弦定理,得a2+b2=2c2,又由余弦定理,得a2+b2=2(a2+b2-2abcos C),即4abcos C=a2+b22ab,cos C12,所以00,sin A=1,即A=2,ABC为直角三角形.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且ab,则B=()A.6B.3 C.23D.56答案A由正弦定理,得sin Asin Bcos C+sin Csin Bco

16、s A=12sin B.sin B0,sin Acos C+sin Ccos A=12,即sin(A+C)=12,sin B=12,ab,B为锐角,B=6.3.在平行四边形ABCD中,AC=65,BD=17,周长为18,则平行四边形ABCD的面积是()A.14B.15C.16D.17答案C设平行四边形ABCD的两邻边AD=b,AB=a,BAD=,则a+b=9,a2+b2-2abcos =17,a2+b2-2abcos(180-)=65,解得a=5,b=4,cos =35,或a=4,b=5,cos =35,所以SABCD=absin =16.4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

17、且b2+c2=a2+bc.若sin Bsin C=sin2A,则ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案C由b2+c2=a2+bc,得b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12,A(0,),A=3.若sin Bsin C=sin2A,则bc=a2,b2+c2-2bc=0,(b-c)2=0,即b=c,ABC是等边三角形.5.如图,在ABC中,C=3,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DEAB,E为垂足,若DE=22,则cos A=.答案64解析在ADE中,DEAB,DE=22,AD=22sinA.AD=BD,BD=22sinA,A=A

18、BD,BDC=A+ABD=2A,在BCD中,BDsin3=BCsin2A,22sinA32=4sin2A,化简整理得cos A=64.6.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc,则cbsinB=.答案233解析由a2-c2=ac-bc与b2=ac,得a2-c2=b2-bc,b2+c2-a2=bc,cos A=b2+c2-a22bc=12.A(0,),A=3,由b2=ac,得bsin B=csin A,cbsinB=1sinA=233.7.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b=acos C+12c.(1)求角A;(2)若ABAC

19、=3,求a的最小值.解析(1)在ABC中,b-acos C=c2,由正弦定理知,sin B-sin Acos C=12sin C,A+B+C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C=12sin C,cos Asin C=12sin C,sin C0,cos A=12,A=3.(2)由(1)及ABAC=3得bc=6,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-62bc-6=6,当且仅当b=c时取等号,a的最小值为6.8.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A

20、(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则C=()A.12B.6C.4D.3答案B由题意,得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=2sin CsinA+4=0.因为sin C0,所以sinA+4=0,又因为A(0,),所以A+4=,所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,所以sin C=12,所以C=6.9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=3acos C,则C

21、=;若c=31,ABC的面积为332,则a+b=.答案3;7解析由正弦定理可得sin Csin A=3sin Acos C,又sin A0,tan C=3,C=3.12absin C=332,ab=6,由余弦定理得,31=a2+b2-ab,31=(a+b)2-3ab,a+b=7(负值舍去).10.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边.若ABC的面积为a24,A=15,则bc+cb的值为.答案6解析因为ABC的面积S=12bcsin A=a24,所以2bc=a2sinA.所以cos A=b2+c2-a22bc=b2+c22bc-a22bc=b2+c22bc-a2a2sinA=b2+c

22、22bc-sin A,所以bc+cb=b2+c2bc=2(sin A+cos A)=22sin(A+45)=22sin 60=6.11.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c-a=2acos B,则sin2Asin(B-A)的取值范围是.答案12,22解析由c-a=2acos B,得sin C-sin A=2sin Acos B,sin(A+B)-sin A=2sin Acos B,sinAcos B+cos Asin B-2sin Acos B-sin A=0,sin(B-A)-sin A=0,sin(B-A)=sin A,B-A=A,即B=2A.ABC为锐角三

23、角形,0A2,0B2,0C2,即6A1).(1)若=3,证明:ABC为直角三角形;(2)若ACBC=982,且c=3,求的值.解析(1)证明:=3,a+b=3c,由正弦定理得sin A+sin B=3sin C,C=3,sin B+sin23-B=32,即sin B+32cos B+12sin B=32,32sin B+32cos B=32,则sinB+6=32,从而B+6=3或B+6=23,解得B=6或B=2.若B=6,则A=2,即ABC为直角三角形;若B=2,则ABC为直角三角形.故ABC为直角三角形.(2)若ACBC=982,则12ab=982,ab=942.由余弦定理知a2+b2-c2

24、=2abcos C,即a2+b2-ab=c2=9,即(a+b)2-3ab=9, 又a+b=3,故92-2742=9,解得2=4,又1,=2.14.已知ABC是边长为3的等边三角形,点D为BC边上一点,且BD=1,E,F分别为边AC,AB上的点(不包括端点),则DEF的周长的最小值为,此时BDF的面积为.答案21;5316解析如图,设D关于直线AB的对称点为M,关于AC的对称点为N,连接DM,交AB于点P,连接DN,交AC于点Q,连接MN,分别与AB,AC交于点F,E,则DEF的周长的最小值为MN.BD=1,即D为BC的三等分点,DM=2DP=3,DN=2DQ=23,又MDN=120,在DMN中

25、,MN=3+12-2323-12=21.由RtDPF与RtMPF全等,得DF=MF.在MDN中,DM=3,DN=23,MN=21,由余弦定理的推论得cos M=27,DF=MF=3272=214.在RtDPF中,DP=32,DF=214,PF=34.易知BP=12,BDF的面积S=12BFDP=1212+3432=5316.15.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c(sin C-sin A)=(sin A+sin B)(b-a).(1)求B;(2)若AB=8,点M,N是线段BC的两个三等分点,BM=13BC,ANBM=23,求AM的值.解析(1)c(sin C-sin A)

26、=(sin A+sin B)(b-a),由正弦定理得c2-ca=b2-a2,a2+c2-b2=ca,cos B=a2+c2-b22ca=12,又0B,B=3.(2)由M,N是线段BC的两个三等分点,设BM=x,则BN=2x,AN=23x.解法一:已知B=3,AB=8,在ABN中,由余弦定理得12x2=64+4x2-282xcos3,解得x=2(负值舍去),即BM=2,则AM=82+22-28212=52=213.解法二:在ABN中,由正弦定理,得23xsin3=2xsinBAN,sinBAN=12,又BN=2x,AN=23x,BNAN,BAN为锐角,BAN=6,ANB=2,又AB=8,BN=2x=4,x=2,MN=2,AN=43,在RtANM中,AM=(43)2+22=213.