2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：第六章　平面向量及其应用 章末总结 WORD版含解析.docx

1、章末总结素养一数学运算例1(1)如图所示,在ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,则AP=() A.12a+12bB.13a+23bC.27a+47bD.47a+27b(2)已知c=ma+nb,c=(-23,2),ac,b与c的夹角为23,bc=-4,|a|=22,求实数m,n的值及a与b的夹角.答案(1)C解析(1)连接BP,则AP=AC+CP=b+PR,AP=AB+BP=a+RP-RB,由+,得2AP=a+b-RB,又RB=12QB=12(AB-AQ)=12a-12 AP,将代入,得2AP=a+b-12a-12 AP,AP=27a+47b. (2)

2、因为c=(-23,2),所以|c|=4.因为ac,所以ac=0.因为bc=|b|c|cos23=|b|4-12=-4,所以|b|=2.因为c=ma+nb,所以c2=mac+nbc,所以16=n(-4),所以n=-4.在c=ma+nb两边同乘a,得0=8m-4ab,在c=ma+nb两边同乘b,得mab=12,由,得m=6,所以ab=26,所以cos =26222=32.所以=6或=56.素养探究:1.向量线性运算的注意点:(1)向量的加、减、数乘结果仍是一个向量.(2)向量加法运算,要注意向量的首尾相连,利用三角形法则进行运算;向量减法运算,要注意向量的起点相同,差向量应是两个向量终点的连线,指

3、向被减向量.(3)所求向量用已知向量表示时,通常把待求向量放在三角形或平行四边形中,结合三角形法则或平行四边形法则求解.2.数量积的运算途径:(1)垂直:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),abab=0 x1x2+y1y2=0.(2)夹角:求|a|,|b|,ab.求cos =ab|a|b|(夹角公式).结合的范围0,确定的大小.(3)模长:若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2.平方法:|a|2=a2=aa,|ab|2=a22ab+b2.3.向量的坐标运算:(1)向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,是转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法的具体体现.(2)通过

4、坐标运算可以求向量的坐标、向量的模、夹角,判断共线、平行、垂直等问题.1-1(2020江苏南通高一期末)已知向量m=(2,1),n=(0,1),p=(3,4),若R,(m+n)p,则=() A.35B.-35C.53D.-53答案C向量m=(2,1),n=(0,1),m+n=(2,+1),又p=(3,4),且(m+n)p,3(+1)=24,解得=53.1-2如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于点H,记AB,BC分别为a,b,则AH=. 答案25a+45b解析设AH=AF,DH=DE.因为F为CD的中点,所以AF=12(AC+AD),所以AH=2(AC+AD)

5、=2(AB+2BC)=2AB+BC,AH=AD+DH=AD+DE=AD+(AE-AD)=(1-)BC+AB+12BC=AB+1-2BC,所以2=,=1-2,解得=25,=45.因此AH=25a+45b.1-3已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|和|a-b|;(3)若AB=a,AC=b,作ABC,求ABC的面积.解析(1)由(2a-3b)(2a+b)=61,得4|a|2-4ab-3|b|2=61.|a|=4,|b|=3,代入式,得ab=-6,cos =ab|a|b|=-643=-12.又0,180,=120.(2)由(1)知,ab

6、=-6,则|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,|a+b|=13.同理,|a-b|=a2-2ab+b2=37.(3)由(1)知,BAC=120,|AB|=|a|=4,|AC|=|b|=3,SABC=12|AC|AB|sinBAC=1234sin 120=33.素养二直观想象例2(1)(2020宁夏银川一中月考)已知正方形ABCD的边长为2,M为正方形ABCD内一点(包含边界),则(MA+MB)AC的最小值为()A.-11B.-12C.-13D.-14(2)如图所示,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,四边形PECF是矩形,求证:PA=EF.答案

7、(1)B解析(1)如图,建立以A为坐标原点的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).设点M的坐标为(x,y),则MA+MB=(2-2x,-2y),又AC=(2,2),所以(MA+MB)AC=4-4x-4y=4-4(x+y).因为M为正方形ABCD内一点(包含边界),则0x2,0y2,即0x+y4,所以(MA+MB)AC=4-4(x+y)-12,故(MA+MB)AC的最小值为-12.(2)证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,|BP|=,则A(0,1),P22,22,E1,22,F22,0,所以PA=-22,1-22,EF=22-1,-22.所

8、以|PA|2=-222+1-222=2-2+1,|EF|2=22-12+-222=2-2+1,所以|PA|2=|EF|2,即PA=EF.素养探究:(1)有垂直特征的向量运算可以建立平面坐标系,转化为坐标运算.(2)利用平面向量解决几何问题的关键是恰当地引入向量,通过向量运算,解释几何性质.2-1如图所示,以ABC的两边AB,AC为边分别向外作正方形ABGF,正方形ACDE,M为BC的中点,求证:AMEF.证明因为M是BC的中点,所以AM=12(AB+AC),又EF=AF-AE,所以AMEF=12(AB+AC)(AF-AE)=12(ABAF+ACAF-ABAE-ACAE)=12(0+ACAF-A

9、BAE-0)=12(ACAF-ABAE)=12|AC|AB|cos(90+BAC)-|AB|AC|cos(90+BAC)=0,所以AMEF,即AMEF.素养三数学建模例3在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A为3-1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时,走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.(1)C船与B船相距多少海里? C船在B船的什么方向?(2)缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间.解析(1)由题意可知AB=(3-1)海里,AC=2海里,BAC=45+75=120.在AB

10、C中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=6,BC=6(负值舍去),由正弦定理,得ACsinABC=BCsinBAC,即2sinABC=632,解得sinABC=22,ABC=45,C船在B船的正西方向.(2)由(1)知BC=6,DBC=120.设t小时后缉私艇在D处追上走私船,则BD=10t,CD=103t,在BCD中,由正弦定理,得103tsin120=10tsinBCD,解得sinBCD=12,BCD=30,BCD是等腰三角形,10t=6,解得t=610.缉私艇沿东偏北30方向行驶610小时才能最快追上走私船.素养探究:对于实际应用问题,能用正、余弦定理的,应

11、画出示意图,标示已知元素,然后选择合适的定理求解.3-1已知海岛B在海岛A的北偏东45方向上,A,B相距10海里,小船甲从海岛B以2海里/时的速度沿直线向海岛A移动,同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15的方向以2海里/时的速度移动.(1)经过1小时后,甲、乙两小船相距多少海里?(2)在航行过程中,小船甲是否可能处于小船乙的正东方向?若可能,请求出所需时间;若不可能,请说明理由.解析(1)设经过1小时后,甲船到达M点,乙船到达N点,则|AM|=10-2=8(海里),|AN|=2(海里),MAN=15+45=60,|MN|2=|AM|2+|AN|2-2|AM|AN|cos 60=64+4-28212

12、=52,|MN|=213(海里),故经过1小时后,甲、乙两小船相距213海里.(2)设经过t(0t5)小时小船甲处于小船乙的正东方向,甲船到达E点,乙船到达F点,则|AE|=10-2t,|AF|=2t,EAF=60,FEA=45,EFA=75.由正弦定理,得|AF|sin45=|AE|sin75,即2tsin45=10-2tsin75,解得t=5(3-3)3.经过5(3-3)3小时,小船甲处于小船乙的正东方向.1.(2019课标全国,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=() A.-3B.-2C.2D.3答案CBC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=1

13、2+(t-3)2=1,t=3,ABBC=(2,3)(1,0)=2.2.(2018课标全国,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因为SABC=a2+b2-c24,所以SABC=2abcosC4,又SABC=12absin C,所以tan C=1,因为C(0,),所以C=4.故选C.3.(2020新高考,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案

14、A解法一:如图,过点P作PP1直线AB于P1,过点C作CC1直线AB于C1,过点F作FF1直线AB于F1,APAB=|AP|AB|cosPAB,当PAB为锐角时,|AP|cosPAB=|AP1|,当PAB为钝角时,|AP|cosPAB=-|AP1|,所以当点P与C重合时,APAB最大,此时APAB=|AC1|AB|=6,当点P与F重合时,APAB 最小,此时APAB=-|AF1|AB|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2APAB6.故选A.解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设

15、P(x0,y0),则-1x03.AB=(2,0),AP=(x0,y0),则ABAP=2x0(-2,6),故选A.4.(2018课标全国理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,),c(2a+b),所以4-2=0,解得=12.5.(2019课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.答案63解析由b2=a2+c2-2accos B及已知得62=(2c)2+c2-22cc12,c=23(c=-23舍去).a=2c=43,A

16、BC的面积S=12acsin B=12432332=63.6.(2019课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.答案34解析在ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,sin A0,sin B+cos B=0,即tan B=-1,又B(0,),B=34.7.(2019课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析(1)由已知得sin2B+sin2C

17、-sin2A=sin Bsin C,由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推论,得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.8.(2019课标全国,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a

18、sinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积S=34a.由正弦定理,得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故1

19、2a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行且方向相反的向量a可能是()A.a=(1,-2)B.a=(9,3)C.a=(-1,2)D.a=(-4,-8)答案DAB=(1,2),a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,D正确.2.ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若pq,则角C的大小为()A.6B.3C.2D.23答案Bpq(a+c)(c-

20、a)-b(b-a)=0,即c2-a2-b2+ab=0cos C=a2+b2-c22ab=12,0C0),则a=mk,b=m(k+1),c=2mk,a+bc,a+cb,即m(2k+1)2mk,3mkm(k+1),k12.11.设点M是ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若AM=12AB+12AC,则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC,则点M在线段BC的延长线上C.若AM=-BM-CM,则点M是ABC的重心D.若AM=xAB+yAC,且x+y=1,则B,C,M三点共线答案ACDA项,可化为AB+AC=2AM,由平行四边形法则知,A正确;B项,若延长AB至D,使得BD=AB,则A

21、M=CD,由平行四边形法则知,点M在线段BC的反向延长线上,故B错误;C项,可化为AM=MB+MC,设P是BC的中点,则AM=2MP,所以M是ABC的重心,故C正确;易知D正确.12.(2020烟台模拟)在ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cosCDB=-55,则正确的结论是()A.sinCDB=310B.ABC的面积为8C.ABC的周长为8+45D.ABC为钝角三角形答案BCD由cosCDB=-55,可得sinCDB=1-15=255.故A错误;设CD=x,则CB=2x,在CBD中,由余弦定理可得-55=9+x2-4x26x,整理得,5x2-25x-15=0,解

22、得 x=5(负值舍去),即CD=5,CB=25,所以SABC=SBCD+SADC=1235255+1255255=8,故B正确;由余弦定理可知,cos B=BC2+BD2-CD22BCBD=BC2+AB2-AC22BCAB,即20+9-52325=20+64-AC22825,解得AC=25(负值舍去),故周长为AB+AC+BC=8+25+25=8+45,故C正确;由余弦定理可得,cos C=20+20-6422525=-350,则C为钝角,故ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13.已知在ABC中,角A,B,C所对的

23、边分别为a,b,c,且a+b=3,A=3,B=4,则a的值为.答案33-32解析由正弦定理,得b=asinBsinA=63a.则a+b=a+63a=3,解得a=33-32.14.已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.答案23解析|a|=|b|=1,ab=0,ac=a(2a-5b)=2a2-5ab=2,|c|=|2a-5b|=(2a-5b)2=4a2+5b2-45ab=3,cos=ac|a|c|=23.15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且ABC的周长为9,ABC的面积为3sin C,则c=,cos C=.

24、答案4;-14解析由正弦定理,得a+b=5c4,又ABC的周长为9,所以c+5c4=9,解得c=4.因为ABC的面积为3sin C,所以12absin C=3sin C,整理,得ab=6.由于a+b=5c4=5, 联立a+b=5,ab=6,解得a=2,b=3或a=3,b=2,所以cos C=a2+b2-c22ab=-14.16.已知ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的序号).a为单位向量;b为单位向量;ab;bBC;(4a+b)BC.答案解析AB=2a,AC=2a+b,a=12 AB,b=BC.又ABC是边长为2的等边

25、三角形,|a|=1,|b|=2,正确,错误;由b=BC,知bBC,正确;4a+b=2AB+BC=AB+AC,(4a+b)BC=(AB+AC)BC=-2+2=0,(4a+b)BC,正确.故正确.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设|a|=|b|=1,|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.解析解法一:|3a-2b|=3,9a2-12ab+4b2=9.又|a|=|b|=1,ab=13,|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6ab+b2=9+613+1=12,|3a+b|=23.解法二:设a=(x1,y1),b=(x2,y2).|a|=|

26、b|=1,x12+y12=x22+y22=1.3a-2b=(3x1-2x2,3y1-2y2),|3a-2b|=(3x1-2x2)2+(3y1-2y2)2=3.x1x2+y1y2=13,|3a+b|=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9+1+613=23.18.(12分)设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.解析(1)证明:因为AB=OB-OA=a+2b,AC=OC-OA=-a-2b,所以AC=-AB.又因为A为公共点,所以A,B,C三点共线.(2)设8a+kb=(

27、ka+2b),R,则8=k,k=2,解得k=4,=2或k=-4,=-2,所以实数k的值为4.19.(12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=35.(1)若CBCA=92,求ABC的面积;(2)设向量x=2sinB2,3,y=cosB,cosB2,且xy,求sin(B-A)的值.解析(1)由CBCA=92,得abcos C=92,因为cos C=35,所以ab=92cosC=152,又C为ABC的内角,所以sin C=45,所以SABC=12absin C=3.(2)因为xy,所以2sinB2cos B2=3cos B,即sin B=3cos B,因为cos B

28、0,所以tan B=3.因为B为ABC的内角,所以B=3,所以A+C=23,所以A=23-C,所以sin(B-A)=sin3-A=sinC-3=12sin C-32cos C=1245-3235=4-3310.20.(12分)已知|a|=10,|b|=5,ab=-5,c=xa+(1-x)b.(1)当bc时,求实数x的值;(2)当|c|取最小值时,求向量a与c的夹角的余弦值.解析(1)bc,bc=bxa+(1-x)b=xba+(1-x)b2=x(-5)+(1-x)5=0,解得x=12.(2)|c|2=|xa+(1-x)b|2=x2a2+2x(1-x)ab+(1-x)2b2=10x2-10x(1-

29、x)+5(x-1)2=25x2-20x+5=25x-252+1.当x=25时,|c|2取最小值,为1,即|c|有最小值1.此时,c=25a+35b.ac=a25a+35b=25a2+35ab=2510+35(-5)=1,设向量a,c的夹角为,当|c|取最小值时,向量a与c的夹角的余弦值cos =ac|a|c|=1101=1010.21.(12分)一架飞机从A地向北偏西60的方向飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60方向上,并且A,C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.解析如图,设A地在东西基线和南北基线的交点处.则A(0,0),B(-1 00

30、0cos 30,1 000sin 30),C(-2 000cos 30,-2 000sin 30),即B(-5003,500),C(-1 0003,-1 000),BC=(-5003,-1 500),|BC|=(-5003)2+(-1 500)2=1 0003(km).设正南方向的单位向量j=(0,-1),则BC与正南方向的夹角满足cos =BCj|BC|j|=1 5001 0003=32,=30,由图形可知BC的方向是南偏西30.综上,飞机从B地向南偏西30方向飞行1 0003 km到达C地.22.(12分)如图,四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O,AO=OC,BO=OD,又以DC边的

31、中点P为圆心,DP长为半径作圆P.(1)证明:四边形ABCD是平行四边形;(2)若圆P的一直径MN两端可在圆周上滑动,问当直径MN在什么位置时,AMBN取最大值.解析(1)证明:由已知得AO=OC,BO=OD,则AO+OD=BO+OC,即AD=BC,所以ADBC,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.(2)如图所示,连接AP、BP,则AMBN=(PM-PA)(PN-PB)=(PM-PA)(-PM-PB)=-PM2+PAPB+PMBA.设APB=,MP的延长线与AB的延长线交于E,设MEA=,则有AMBN=-|DP|2+|PA|PB|cos +|DP|AB|cos .因为DP,PA,PB的长都是定值,所以当cos =1,即=0时,也就是当直径MN与DC边重合时,AMBN取最大值.