2020-2021学年新教材高中数学 学科素养专练一课一练（含解析）新人教B版必修第一册.docx

1、新20版练B1数学人B版学科素养专练素养1数学抽象1.(2019襄阳四中高一月考)用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=C(A)-C(B),C(A)C(B),C(B)-C(A),C(A)C(B),若A=1,2,B=x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0,且A*B=1,设实数a的所有可能取值的集合是S,则C(S)等于()。A.4B.3C.2D.1答案：B解析：由(x2+ax)(x2+ax+2)=0,得x(x+a)=0,或x2+ax+2=0,由A=1,2,得C(A)=2,A*B=1,C(B)=1或C(B)=3。(1)当C(B)=1时,方程有两个相等实数根,方程无实数根,a=0。(2)

2、当C(B)=3时,方程有两个不相等实数根,方程有两个相等且异于方程的实数根,则a0,=a2-8=0,解得a=22。综上可得a=0或a=22。故S=-22,0,22,C(S)=3。故选B。【易错点拨】本题以给出的新定义为载体,考查对集合的含义与表示的理解与运用,解题时要准确理解所给定义的含义,要熟练应用分类讨论的思想方法,意在考查数学素养水平。2.(2019福州一中高一期末)定义一个集合A的所有子集组成的集合叫作集合A的幂集,记为P(A),用n(A)表示有限集A的元素个数,给出下列命题:对于任意集合A,都有AP(A);存在集合A,使得nP(A)=3;用表示空集,若AB=,则P(A)P(B)=;若

3、AB,则P(A)P(B);若n(A)-n(B)=1,则nP(A)=2nP(B)。其中正确命题的个数为()。A.4B.3C.2D.1答案：B解析：由P(A)的定义可知正确,正确;设n(A)=n,则nP(A)=2n,所以错误;若AB=,则P(A)P(B)=,不正确;n(A)-n(B)=1,即A中元素比B中元素多一个,则nP(A)=2nP(B),正确,故选B。3.(2019钦州高一月考)对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“”,法则如下:当m,n都是正奇数时,mn=m+n;当m,n不全为正奇数时,mn=mn。则在此定义下,集合M=(a,b)|ab=16,aN*,bN*的真子集的个数是()。A.27

4、-1B.211-1C.213-1D.214-1答案：C解析：由题意,当m,n都是正奇数时,mn=m+n;当m,n不全为正奇数时,mn=mn。若a,b都是正奇数,则由ab=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对为(1,15),(3,13),(15,1),满足条件的共8个;若a,b不全为正奇数时,mn=mn,由ab=16,可得ab=16,则符合条件的数对分别为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)共5个;故集合M=(a,b)|ab=16,aN*,bN*中的元素个数是13,所以集合M=(a,b)|ab=16,aN*,bN*的真子集的个数是213-1。故选C。4.(2019

5、如皋高一调考)对于集合A,B,我们把集合(a,b)|aA,bB,记作AB。例如:A=1,2,B=3,4,则有AB=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),BB=(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)。若A中有2个元素,B中有3个元素,则AB的非空子集有个。答案：63解析：根据题意,A中有2个元素,B中有3个元素,则AB中共有23=6个元素,所以其非空子集共有26-1=63(个),故填63。素养2逻辑推理5.定义满足“如果aA,bA,那么abA,且abA,且abA(b0)”的集合称为“闭集”。试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明。答案：

6、解:(1)数集N,Z不是“闭集”;例如,3N,2N,而32=1.5N;3Z,-2Z,而3-2=-1.5Z,故N,Z不是“闭集”。(2)数集Q,R是“闭集”。由于两个有理数a与b的和、差、积、商,即ab,ab,ab(b0)仍是有理数,故Q是“闭集”。同理R也是“闭集”。【易错点拨】本题考查与集合有关的新概念问题,注意理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义,意在考查逻辑推理等素养水平。6.(2019山西怀仁一中月考)已知函数f(x)=-2x+m,其中m为常数。求证:函数f(x)在R上是减函数。答案：证明:任取x1x2R,则f(x1)-f(x2)=-2x1+m-(-2x2+m)=2(x2-

7、x1)。又x10,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2)。f(x)为R上的减函数。7.(2019重庆一中高一月考)已知a,b,cR,求证:a2+b2+b2+c2+c2+a22(a+b+c)。答案：证明:a+b2a2+b22,a2+b2a+b2=22(a+b)(a,bR,等号在a=b0时成立)。同理b2+c222(b+c)(等号在b=c0时成立);a2+c222(a+c)(等号在a=c0时成立)。三式相加,得a2+b2+b2+c2+a2+c222(a+b)+22(b+c)+22(a+c)=2(a+b+c)(等号在a=b=c0时成立)。素养3数学建模8.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:

8、顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元,那么超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为()。A.1500元B.1550元C.1750元D.1800元答案：A解析：设在此商场购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,由题设可知:y=0,0x800,0.05(x-800),8001300。,因为y=5025,所以x1300,所以0.1(x-1300)+25=50,解得x=1550。故实际所付金额为155

9、0-50=1500(元)。9.(2019湖南济阳一中高一期末)已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(km)与时间t(h)之间的函数表达式是()。A.x=60tB.x=60t,0t2.5,150-5t,t3.5C.x=60t+50D.x=60t,0t2.5,150,2.5t3.5,150-50(t-3.5),3.5t6.5答案：D解析：依题意,到达B地需要15060=2.5(h),所以当0t2.5时,x=60t;当2.5t3.5时,x=150;当3.5t6.5时,x=150-50(t-3.

10、5)。所以汽车离开A地的距离x与时间t之间的函数表达式是x=60t,0t2.5,150,2.5t3.5,150-50(t-3.5),3.5t6.5。10.(2019北京海淀实验中学高一周练)某商品在最近100天内的单价f(t)与时间t的函数关系是f(t)=t4+22,0t40,tN,-t2+52,40t100,tN,日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-13t+1123(0t100,tN)。求该商品的日销售额S(t)的最大值。(日销售额=日销售量单价)答案：解:单价f(t)=t4+22,0t40,tN,-t2+52,40t100,tN,销售量g(t)=-13t+1123(0t100,

11、tN),日销售额为S(t)=f(t)g(t),即当0t100,则最大值为S(40)=768。由7680的解集为x|-3x0的解集为()。A.x|-13x12B.x|x12C.x|-3x2D.x|x2答案：B解析：由题意可知ax2-5x+b=0的两个根为x1=-3,x2=2,-3+2=5a,-32=ba,a=-5,b=30,不等式bx2-5x+a0即为30x2-5x-50,解不等式得解集为xx12。13.已知:集合A=x|y=3-2x-x2,集合B=y|y=x2-2x+3,x0,3,求AB。答案：解:A是函数y=3-2x-x2的定义域,3-2x-x20,解得-3x1,即A=x|-3x1。B是函数

12、y=x2-2x+3,x0,3的值域,解得2y6,即y|2y6。AB=。14.(2019湖北黄冈中学高二月考)若abc,nN*且1a-b+1b-cna-c,求n的最大值。答案：解:方法一:1a-b+1b-cna-c,且abc,na-ca-b+a-cb-c=(a-c)2(a-b)(b-c)。n(a-c)2(a-b)(b-c)min。又(a-c)2(a-b)(b-c)(a-c)2(a-b)+(b-c)22=4,当且仅当a-b=b-c时等号成立,n4,n的最大值为4。方法二:abc,na-ca-b+a-cb-c。a-ca-b+a-cb-c=(a-b)+(b-c)a-b+(a-b)+(b-c)b-c=2

13、+b-ca-b+a-bb-c2+2=4,当且仅当b-ca-b=a-bb-c时等号成立,n4,n的最大值为4。素养5直观想象15.(2018广东实验中学模块考试)某学生离家去学校,由于怕迟到,因此一开始就匀速跑步,等跑累了再匀速走余下的路程。若纵轴表示离学校的距离d,横轴表示出发后的时间t,则下列图形中较符合该学生走法的是()。图2答案：D解析：当t=0时,离学校的距离为d,排除B,C;一开始跑步,与学校的距离下降得比较快,所以选D。16.某校升旗仪式中,先把国旗匀速升至旗杆顶部,停顿3s后再把国旗匀速下落至旗杆中部。能正确反映这一过程中国旗上升的高度h(m)与升旗时间t(s)之间的函数关系的是

14、()。图3答案：B解析：国旗的运动规律是:匀速升至旗杆顶部停顿3s匀速下落于旗杆中部,对应的图像为B中图像。素养6数据分析17.(2019山东济南一中月考)根据下表,能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是()。x-10123f(x)-0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案：B解析：设函数h(x)=f(x)-g(x),则h(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)=-0.1470,h(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.4400,h(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.7390,h(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.7590,h(0)h(1)0,由零点存在性定理,得函数h(x)=f(x)-g(x)的零点存在区间为(0,1),故选B。