2020-2021学年新教材高中数学 第九章 解三角形 9.docx

1、第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.2余弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=13,则a=()A.5B.7C.4D.3答案D解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+4-23213=9,解得a=3.故选D.2.在ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.24D.23答案B解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=2a.所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a=34.3.已知a,b,c为ABC的三边长,若满足(a+b-c)(a+b

2、+c)=ab,则C的大小为()A.60B.90C.120D.150答案C解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,所以a2+b2-c2=-ab,即a2+b2-c22ab=-12,所以cosC=-12,所以C=120.4.在ABC中,sin2A2=c-b2c(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案B解析因为sin2A2=1-cosA2=c-b2c,所以cosA=bc=b2+c2-a22bc,整理得a2+b2=c2,符合勾股定理.故ABC为直角三角形.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin

3、 Asin Bsin C=357,那么这个三角形中最大角的度数是()A.135B.90C.120D.150答案C解析因为sinAsinBsinC=357,故abc=357,设a=3k(k0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=-12.因为0C180,因此,C=120.故选C.6.某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为()A.3B.4C.6D.8答案D解析设等腰三角形的顶角为,由三角形的面积公式,得4个等腰三

4、角形的面积和为412400400sin=320000sin,由余弦定理可得正方形边长为4002+4002-2400400cos=4002-2cos,故正方形面积为160000(2-2cos)=320000(1-cos),所以所求占地面积为320000(1-cos+sin)=3200002sin-4+1,所以当-4=2,即=34时,占地面积最大,此时底角为-342=8,故选D.7.(多选题)(2020海南中学高一期中)已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60,b=2,c=3+1,则下列说法正确的是()A.C=75或C=105B.B=45C.a=6D.该三角形的面积为3+12

5、答案BC解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=4+4+23-22(3+1)12=6,所以a=6.由正弦定理,得asinA=bsinB,所以sinB=bsinAa=2326=22.由于0B0,所以a12,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2(2a+1)2,化简得0a2a+1,所以a2,所以2a0,解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinAsinBsinC=abc=456,所以A正确;由上可知c边最大,所以三角形中C最大.又cosC=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)224x5x=180,所以C为锐角,所以B错误;由上可知a边最

6、小,所以三角形中A最小,又cosA=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)226x5x=34,所以cos2A=2cos2A-1=18,所以cos2A=cosC,由三角形中C最大且C为锐角可得2A(0,),C0,2,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=csinC,又sinC=1-cos2C=378,所以2R=6378,解得R=877,所以D正确.故选ACD.7.在ABC中,sin B2=255,AB=5,BC=1,则AC=.答案42解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,又cosB=1-2sin2B2=1-245=-35.故AC2=25+1-251-

7、35=32,所以AC=42.8.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=35,sin C=2sin A.(1)求a,c的值;(2)求sin2B+4的值.解(1)由正弦定理csinC=asinA及sinC=2sinA,得c=2a.因为a+c=35,所以a=5,c=25.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以cosB=45.因为B是三角形内角,所以0B.所以sinB=1-cos2B=35.所以sin2B=2sinBcosB=2425,cos2B=2cos2B-1=725.所以sin2B+4=sin2Bcos4+cos2Bsin4=242522+725

8、22=31250.素养培优练(2020山东泰安高三模拟)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,若ABC是锐角三角形,若ABC同时满足下列四个条件中的三个:A=3;a=13;c=15;sin C=13.(1)条件能否同时满足,请说明理由;(2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的ABC的面积.解(1)ABC不能同时满足.理由如下:若ABC同时满足,则在锐角三角形ABC中,sinC=1312,所以0C6.又因为A=3,所以3A+C2,这与ABC是锐角三角形矛盾,所以ABC不能同时满足.(2)因为ABC需同时满足三个条件,由(1)知不能同时满足,故只可能同时满足或,若同时满足,因为ca,所以CA,则AC2,这与ABC是锐角三角形矛盾.故ABC不能同时满足.若同时满足,因为a2=b2+c2-2bccosA,所以132=b2+152-2b1512,解得b=8或b=7.当b=7时,cosC=72+132-1522713=-1260,所以C为锐角,满足题意,所以b=8.所以ABC的面积S=12bcsinA=303.