2020-2021学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数专题突破专练一课一练（含解析）新人教A版必修第一册.docx

1、新20版练B1数学人教A版第四章专题突破专练专题1指数式和对数式的大小比较1.(2017福建南安一中高一第二阶段考试)设a=152,b=215,c=log215,则()。A.cabB.cbaC.acbD.abc答案：A解析：由指数函数y=15x的图像和性质得01521,根据对数函数y=log2x的图像和性质得log2150,则cabaB.bcaC.acbD.abc答案：D解析：a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log

2、7x的图像(图略),由三个函数图像的相对位置关系,可知abc。3.(2019西北工大附中模块测评)设0ba1,则下列不等式成立的是()。A.abb21B.1212a12bC.a2ab1D.log12blog12a0,知abb2,因此A不正确;同理可知C不正确;由函数y=12x在R上是减函数,得当0ba12b12a121,即1212a12b1,因此B正确;同理可知D不正确。4.(2018哈尔滨模拟)若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则()。A.abcB.cabC.bacD.bca答案：C解析：由x(e-1,1),得-1lnx0,所以ab。因为a-c=(1-ln2x)ln

3、x0,所以ac。因此bac。5.(2019江西临川一中模块检测)已知f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,且在(-,0上是增函数,设a=f(log47),b=f(log123),c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系是()。A.cabB.cbaC.bcaD.abc答案：B解析：因为log123=-log23=-log49,所以b=f(log123)=f(-log49)=f(log49)。因为0log47532=2log490。又f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,且在(-,0上是增函数,故f(x)在0,+)上是单调递减的,所以f(0.2-0.6)f(log123)f(log47),

4、即cba。6.(2019长沙四大名校高一联考)设a,b,c分别是方程2x=log12x,12x=log122x,12x=log2x的实数根,则()。A.cbaB.abcC.bacD.ca0,所以0a0,所以b0,所以a1。所以b0a1c。专题2指数与对数的运算7.(2019东北育才中学模块测试)2713+14log23-log814=()。A.9B.0C.1D.10答案：D8.(2019西安二月调考)若x=log43,则(2x-2-x)2=()。A.94B.54C.103D.43答案：D解析：由x=log43,得4x=3,即2x=3,2-x=33,所以(2x-2-x)2=3-33=2332=4

5、3。9.(2019河南实验中学高一期中)设f(x)=ex-1,x0)的值是。答案：a1710解析：a3a5a4=a3a12a45=a3-12-45=a1710。11.(2019贵州遵义第四中学高一期中)求下列各式的值:(1)32-2-4990.5+(0.008)-23225;答案：原式=232-73+25225=49-73+2=19。(2)2(lg2)2+lg2lg5+(lg2)2-2lg2+1。答案：原式=212lg22+12lg2lg5+12lg2-12=12lg2(lg2+lg5)+1-12lg2=12lg2+1-12lg2=1。专题3指数函数与对数函数的图像12.(2019黑龙江哈尔滨

6、第六中学高三上期末)函数y=1+lnx1-lnx的图像大致为()。图4-1答案：C解析：特殊值法:令x=1e,则y=0,观察图像可知,C正确。故选C。13.(2019云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考)函数y=e|lnx|-|x-1|的图像大致是()。图4-2答案：D解析：y=e|lnx|-|x-1|=1x+x-1,0x1,1,x1,所以当0x1;当x1时,y=1。所以只有D选项的图像符合题意。故选D。14.(2019南宁调考)若函数f(x)=kax-a-x(a0且a1)在(-,+)上既是奇函数又是增函数,则g(x)=loga(x+k)的图像是()。图4-3答案：C解析：f(x)=kax

7、-a-x=kax-1ax是奇函数,f(0)=0,即k-1=0,k=1。f(x)=ax-1ax。又函数y=ax,y=-1ax在定义域上单调性相同,函数f(x)是增函数,a1,函数g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)。g(x)的定义域为(-1,+),在其定义域上单调递增。故选C。15.(2019海淀一模)将曲线C1:y=ln1x关于x轴对称得到曲线C2,再向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图像,则f(e+1)=。答案：12解析：易知曲线C2的方程为y=-ln1x,再将C2向右平移1个单位长度得到函数f(x)的图像,f(x)=-ln1x-1,f(e+1)=-ln1(e+1)-1=-l

8、n1e=-12=12。16.(2019厦门调考)若函数y=|ax-1|(a0,且a1)的图像与函数y=a2的图像有两个公共点,则a的取值范围是。答案：(0,1)(1,2)解析：当a1时,作出函数y=|ax-1|的图像,如图所示。若直线y=a2与函数y=|ax-1|的图像有两个公共点,由图像可知0a21,解得0a2。故a的取值范围是(1,2)。当0a1对于任意x2,+)恒成立,则实数a的取值范围是()。A.0,12(1,2)B.0,12(2,+)C.12,1(1,2)D.12,1(2,+)答案：C解析：先画出函数f(x)=|logax|的大致图像,再画出直线y=1(如图中虚线所示),交点为(a,

9、1)(a1)或1a,1(0a1对于任意x2,+)恒成立,当a1时,得a0,log12(-x),xf(-a),则实数a的取值范围是()。A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)答案：C解析：当a0时,由log2alog12a得a1;当alog2(-a)得0-a1,即-1a0。所以-1a1,故选C。19.(2019福建师大附中高一期中)已知f(x)=|log3x|,03,a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是()。A.(18,28)B.(18,25)C.(20,25)D.(21

10、,24)答案：D解析：画出函数f(x)的图像,f(a)=f(b)=f(c)=f(d)的含义是平行于x轴的直线与函数f(x)的图像有4个交点。如图所示,不妨将四个交点的横坐标从左到右记为a,b,c,d,则有0a1bcd。由f(a)=f(b),得|log3a|=|log3b|,并且0a1b,所以log3a=-log3b,即log3a+log3b=0,所以log3(ab)=0,从而得出ab=1。由f(c)=f(d),结合图像可以得出c+d=10,且c(3,4),所以abcd=cd=c(10-c),将此式看成关于c的函数,因为c(3,4),所以c(10-c)(21,24)。20.(2019天津模拟)已

11、知函数f(x)=log12ax-2x-1(a为常数)在区间(2,4)上是减函数,则实数a的取值范围是。答案：1,2)解析：设t=ax-2x-1,则函数y=log12t在定义域上单调递减,要使f(x)在区间(2,4)上是减函数,则t=ax-2x-1在(2,4)上为增函数。因为t=ax-2x-1=a(x-1)+a-2x-1=a+a-2x-1,所以要使函数t=ax-2x-1在区间(2,4)上为增函数,则a-20,即a0在(2,4)上成立,所以只需当x=2时,t=2a-22-1=2a-20即可,解得a1。综上,实数a的取值范围是1,2)。专题5指数函数与对数函数的综合问题21.(2019合肥模拟)设f

12、(x)=|3x-1|,cbf(a)f(b),则下列关系中一定成立的是()。A.3c3bB.3c3aC.3c+3a2D.3c+3a2答案：D解析：作出函数图像如图所示,借助图像解决.先将y=3x的图像向下平移1个单位长度,再将其x轴下方的部分对称到x轴上方,可得到f(x)=|3x-1|的图像。由图可知,要使cbf(a)f(b)成立,则有c0,3c3b1f(a),1-3c3a-1,即3a+3c0,a1)在区间-2,2上的函数值总小于2,则log2a的取值范围是()。A.-12,012,1B.0,1222,1C.-12,00,12D.-,-1212,+答案：C解析：若a1,则f(x)在-2,2上是增

13、函数,f(x)max=a22,1a2,0log2a12。若0a1,则f(x)在-2,2上是减函数,f(x)max=a-22,22a1,-12log2ab,则函数f(x)=log12(3x-2)*log2x的值域为()。A.0,+)B.(-,0C.log223,0D.log223,+答案：B解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y=log12(3x-2)和y=log2x的图像,如图所示,由图像可得f(x)=log2x,0x0时,函数g(x)的解析式有意义,当a0时,2x43,得xlog243;当a0时,2x43,得x0时,g(x)的定义域为xxlog243;当a0时,g(x)的定义域为xx0,则方

14、程(a-1)t2-43at-1=0有且只有一个正根。当a=1时,t=-34,不合题意。当a1时,由=0得a=34或-3,若a=34,则t=-2不合题意;若a=-3,则t=12满足要求。若0,则此时方程应有一个正根与一个负根,-1a-11。又由0得a34,a1。综上,实数a的取值范围是-3(1,+)。专题6函数零点个数、区间的确定27.(2019临川一中期中)定义在R上的奇函数f(x)满足:当x0时,f(x)=2015x+log2015x,则方程f(x)=0的实根的个数为()。A.1B.2C.3D.5答案：C解析：由奇函数的性质可知f(0)=0,又当x0时,f(x)=2015x+log2015x

15、为增函数,当x趋向于0时,函数值趋向于-,且f(1)=20150,则函数f(x)的图像与x轴正半轴有唯一交点,由函数图像的对称性得方程f(x)=0的实根的个数为3,故选C。28.(2019潍坊联考)函数y=|log2x|-12x的零点个数是()。A.0B.1C.2D.4答案：C解析：令y=|log2x|-12x=0,即|log2x|=12x,在同一坐标系下作出y=|log2x|和y=12x的图像(图略),由图像可知它们有两个交点,即函数有2个零点。29.(2019洛阳统考)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|lnx|的两个零点,则()。A.1ex1x21B.1x1x2eC.1x1x210D

16、.ex1x210答案：A解析：在同一直角坐标系中画出函数y=e-x与y=|lnx|的图像(图略),结合图像不难看出,在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+)。不妨设x1(0,1),x2(1,+),则有e-x1=|lnx1|=-lnx1(e-1,1),e-x2=|lnx2|=lnx2(0,e-1),e-x2-e-x1=lnx2+lnx1=ln(x1x2)(-1,0),于是有e-1x1x2e0,即1ex1x21,选A。30.(2019河南登封高一期中)已知函数f(x)的定义域为R且f(x)=x2+2,x0,1,2-x2,x(-1,0),f(x+1)=f(x-1),则方程

17、f(x)=2x+1x在区间-3,3内的所有实根之和为()。A.-8B.-2C.0D.1答案：D解析：f(x+1)=f(x-1),即有f(x+2)=f(x),当变量x值相差2时,函数f(x)值相等。又f(x)=x2+2,x0,1,2-x2,x(-1,0),作出函数f(x)与函数y=2+1x在区间-3,3上的图像,如图所示。结合图像可知,图像共有3个交点,即共有3个实根,其中有两个关于(0,2)对称,第三个为1,故其实根之和为1。故选D。31.(2019抚顺十中期中)函数f(x)=3x+12x-2的零点所在的一个区间是()。A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案：C解析

18、：由已知可知,函数f(x)=3x+12x-2单调递增且连续,f(-2)=-2690,f(-1)=-1360,f(0)=-10,f(0)f(1)0。由函数零点存在性定理可知,函数f(x)=3x+12x-2的一个零点所在的区间是(0,1),故选C。32.(2019北京西城13中高一月考)设f(x)=x3+bx+c是-1,1上的增函数,且f-12f120,则方程f(x)=0在-1,1内()。A.可能有3个实根B.可能有2个实根C.有唯一实根D.没有实根答案：C解析：由于f(x)=x3+bx+c是-1,1上的增函数,且f-12f120的零点个数是。答案：2解析：令x2-2=0,得x=2,只有x=-2符

19、合题意;令2x-6+lnx=0,得6-2x=lnx,在同一坐标系中作出函数y=6-2x和y=lnx的图像如图所示,观察知,两函数图像有1个交点。所以函数f(x)有2个零点。专题7方程的根与函数的零点的应用34.(2019郑州预测)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则()。A.g(a)0f(b)B.f(b)0g(a)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(a)0答案：A解析：依题意,f(0)=-30,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0a1。g(1)=-30,且函数g(x)在(0,+)上是增函

20、数,因此函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1bf(1)0。又g(a)g(1)0,所以g(a)0f(b),选A。35.已知函数f(x)=x2,0x2a。又当a=2或4时,a2=2a。所以当2a2a。故选C。专题8二分法及其应用36.用二分法求函数的零点时,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|(为精确度)时,函数零点的近似值x0=a+b2与真实零点的误差最大不超过()。A.4B.2C.D.2答案：B解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,则b-a+b2=a+b2-a=b-a22,因此误差最大不超过2。37.(2019四川广安高一期末)某同学在借助计算器求方程lgx=

21、2-x的近似解(精确到0.1)时,设f(x)=lgx+x-2,计算得f(1)0,然后他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x1.8。那么他之后取的x的4个值依次是。答案：1.5,1.75,1.875,1.8125解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125),此时1.81251.8,1.751.8,故他之后取的x的4个值依次是1.5,1.75,1.875,1.8125。专题9函数模型及其应用38.(2019河南洛阳高一期末)某化工厂生产的一种溶液,其杂

22、质含量y与过滤次数x的函数关系式为y=2%23x(xN)。按市场要求,杂质含量不能超过0.1%。要使产品达到市场要求至少应过滤次。(已知:lg20.3010,lg30.4771)答案：8解析：依题意令2%23x11000,则23x120。xlg120lg23=1+lg2lg3-lg27.4。又xN,x8,即至少要过滤8次才能达到市场要求。39.(2019石家庄期末)大气污染已经成为影响群众身体健康的重要因素,治理大气污染成为各钢铁企业的首要任务,其中某钢铁厂在处理工业废气的过程中,每经过一次处理可将有害气体减少20%,那么要让有害气体减少到原来的5%,至少要经过几次处理?(参考数据:lg20.

23、3010)答案：解:设工业废气在未处理前为a,经过x次处理后变为y,则y=a(1-20%)x=a(80%)x。由题意得ya=5%,即(80%)x=5%,两边同时取以10为底的对数得xlg0.8=lg0.05,即x=lg0.05lg0.813.4。又x为正整数,所以x取14。因而至少需要14次处理才能使工业废气中的有害气体减少到原来的5%。专题10指数函数与对数函数中的易错问题易错点1忽略偶次根式的定义域而致错40.当2-x有意义时,化简x2-4x+4-x2-6x+9的结果是()。A.2x-5B.-2x-1C.-1D.5-2x答案：C解析：当2-x有意义时,x2。x2-4x+4-x2-6x+9=

24、|x-2|-|x-3|=2-x+x-3=-1。易错点2忽略二次函数的值域而致错41.函数y=2-x2+2x的值域为。答案：(0,2解析：设t=-x2+2x,结合二次函数的性质可知t的最大值为1,所以y=2t的最大值为2,所以函数的值域为(0,2。易错点3忽略讨论指数函数的底数而致错42.在b=log3a-1(3-2a)中,实数a的取值范围是()。A.-,1332,+B.13,2323,32C.13,32D.23,32答案：B解析：要使式子b=log3a-1(3-2a)有意义,则3a-10,3a-11,3-2a0,解得13a23或23a0,且a1)在2,4上的最大值与最小值的差是1,则a的值为。

25、答案：2或12解析：(1)当a1时,函数y=logax在2,4上是增函数,所以loga4-loga2=1,loga42=1,所以a=2。(2)当0aloga(x-2),求x的取值范围。答案：解:由题意得x4,原不等式可变为loga(x-4)2loga(x-2)。当a1时,y=logax为定义域内的增函数,(x-4)2x-2,x4,解得x6。当0a1时,y=logax为定义域内的减函数,(x-4)24,解得4x1时,x的取值范围为(6,+);当0a1是R上的增函数,则a的取值范围是()。A.15,3B.35,3C.35,3D.15,3答案：B解析：由题意可知3-a0,5a1,log5a13-5a

26、a15,a35a35,3。故选B。易错点7忽略函数定义域而致错47.(2019江西吉安一中高一第二次段考)函数f(x)与g(x)=2x互为反函数,则f(4x-x2)的单调递增区间为()。A.(-,2B.(0,2)C.2,4)D.2,+)答案：B解析：函数f(x)与g(x)=2x互为反函数,f(x)=log2x,f(4x-x2)=log2(4x-x2)。由4x-x20,得0x4。y=log2u为增函数,且u=4x-x2的图像开口向下,对称轴为x=2,利用复合函数的性质知,f(4x-x2)的单调增区间为(0,2)。易错点8忽视零点存在性定理的条件而致错48.对于函数f(x),若f(-1)f(3)0

27、,关于x的方程4x+2xa+a+1=0有实数根等价于关于t的方程t2+at+a+1=0有正实数根。令f(t)=t2+at+a+1,则=a2-4a-4。方程有一个正根一个负根:由f(0)0得a0得a=2-22。方程有两个不相等的正根或有一个零根一个正根:由0,-a20,得-1a0,f(0)=-10,所以方程3x-12x=0在0,1内有解。应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间,可知选项C符合要求。易错点13忽略画函数图像的准确程度而致错53.当2xx2log2xB.x22xlog2xC.2xlog2xx2D.x2log2x2x答案：B解析：方法一:在同一坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,

28、y=2x的图像(图略),在区间(2,4)内从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图像,x22xlog2x。故选B。方法二:取x=3,经检验知B正确。故选B。易错点14对函数图像的理解不到位而致错54.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图4-5描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同的速度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是()。图4-5A.消耗1升汽油,乙车最多行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗的汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车省油答案：D解析：由

29、图知:消耗1升汽油,乙车行驶里程可超过5千米;以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车“燃油效率”最高,即消耗的汽油最少;甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,行驶的里程是80千米,因为此时每消耗1升汽油行驶的里程是10千米,故共消耗8升汽油;在速度为80千米/小时以内,相同条件下,在该市用丙车比用乙车省油。故选D。易错点15忽视指数与对数的运算方法而致错55.如图4-6所示,桶1中的水按一定规律流入桶2中,已知开始时桶1中有a升水,桶2是空的,t分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt(其中n是常数,e是自然对数的底数)。假设在经过5分钟后,桶1和桶2中的水恰好相等。求:图4-6(1)桶2中的水y2(升)与时间t(分钟)的函数关系式;答案：桶2中的水是从桶1中流出的,而开始时桶1中的水是a升,又满足y1=ae-nt,桶2中的水与t的函数关系式是y2=a-ae-nt。(2)经过多少分钟,桶1中的水是a8升?答案：当t=5时,y1=y2,ae-5n=a-ae-5n,解得2e-5n=1,n=15ln2。y1=ae-ln25t。当y1=a8时,有a8=ae-ln25t,解得t=15。再过15分钟桶1中的水是a8升。