2020-2021学年新教材高考数学 第一章 空间向量与立体几何 3.docx

1、空间向量运算的坐标表示基础过关练题组一空间向量的坐标表示1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为()A.(1,-2,-3)B.(-1,-2,3)C.(-1,2,3)D.(-1,2,-3)2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为()A.(-1,-2,4)B.(-2,0,1)C.(2,0,-2)D.(2,0,-1)3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,AOB=2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),DO的坐标是,A1B的坐标是.题组二空间向量线性运算的坐标表示4.(

2、2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=()A.(-1,2,5)B.(-1,4,5)C.(1,2,5)D.(1,4,5)6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则=.7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是.8.已

3、知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:(1)OP=12(AB-AC);(2)AP=12(AB-AC).题组三空间向量数量积的坐标表示9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则pq=()A.-1B.1C.0D.-210.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则ABNM=()A.2B.-2C.10D.-1011.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A

4、BCD的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1).(1)若E是棱BC的中点,F是棱BB的中点,G是侧面CDDC的中心,分别求出向量OE,OG,FG的坐标;(2)在(1)的条件下,分别求出(OE+OG)FG,|EG|的值.12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:ab=-1;|b|=3;bc.(1)求a+2c的模;(2)求向量b的坐标.题组四利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题13.设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且ac,bc,则x+y的值为()A.-1B.1C.2D

5、.314.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行15.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则BP=.题组五利用空间向量求夹角和距离(长度)16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为()A.3B.2C.2D.317.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于

6、平面Oxy的对称点A与点B(-1,1,5)间的距离为()A.6B.26C.43D.21418.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;(2)若AD=(2,a,1),且ABAD=1,求a的值,并求此时向量AB与AD夹角的余弦值.19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角

7、线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析能力提升练题组一空间向量运算的坐标表示1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c不能构成空间的一个基底,则实数的值为()A.0B.357C.9D.6572.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O为原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则QAQB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,23,34C.43,43,83D.43,43,733.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)

8、设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1C与B1D相交于点O,则()A.A1B1AC=a2B.ABA1C=2a2C.CDAB1=-a2D.ABA1O=12a4.(多选)()已知向量ab=bc=ac,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|5.()已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则PAPC的取值范围是.题组二利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题6.(2020江苏启东

9、中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且ab,则m+n的值为(深度解析)A.1B.2C.4D.87.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1底面A1B1C1,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是()A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ平面A1BDD.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直8.()已知a=(3,2-1,1),b=(+1,0,2).

10、若ab,则=;若ab,则+=.9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.(1)证明:BD1AC;(2)证明:BD1平面ACE.题组三利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,ABC为等边三角形,PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)A.14B.24C.34D.1211.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方

11、体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1PAC1,则线段A1P长度的取值范围是()A.62,2B.62,3C.1,2D.2,312.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是()A.AB1与BC1成60角B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于点E,则CE=13C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MPDB1,则P点的轨迹长等于2D.E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是,则+=2答案全解全析基础过关

12、练1.C点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反,故选C.2.D设中点坐标为(x,y,z),根据中点坐标公式得x=1+32=2,y=-2+22=0,z=3-52=-1.3.答案(-2,-1,-4);(-4,2,-4)解析如图建系,则O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0),A1B=(-4,2,-4).D为A1B1的中点,D(2,1,4),DO=(-2,-1,-4).4.Aa-b=(-1,2,-1),b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.5.Aa+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,

13、3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.6.答案1解析a,b,c共面,存在实数m,n,使得c=ma+nb,1=m+2n,4=m-n,4=2m+2n,解得=1.7.答案-13解析a与b共线,R,使b=a,-1=x,3=,9=3,解得=3,x=-13.8.解析由题得AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1).(1)OP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=3,32,-2,P3,32,-2.(2)AP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=3,32,-2,OP=OA+AP=(2,-1,2)+3,32,-2=5

14、,12,0,P5,12,0.9.Ap=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),pq=10+03+(-1)1=-1,故选A.10.B如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M12,32,3,N32,32,0,AB=(2,0,0),NM=(-1,0,3),ABNM=2(-1)+0+0=-2,故选B.11.解析(1)由题图知,O(0,0,0),E1,12,1,G12,1,12,F1,0,12,OE=1,12,1,OG=12,1,12,OF=1,0,12,FG=OG-OF=12,1,12-1,0,12=-12,

15、1,0.(2)(OE+OG)FG=32,32,32-12,1,0=34,EG=OG-OE=-12,12,-12,|EG|=EG2=32.12.解析(1)a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0),|a+2c|=0+1+0=1.(2)设b=(x,y,z),则ab=2x+y-2z=-1,|b|=x2+y2+z2=3,bc=-x+z=0,由得x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2,b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).13.Aac,ac=2x-4+2=0,解得x=1,又bc,12=y-4=12,解得y=-2,则x

16、+y=-1,故选A.14.D设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,12,MN=-12,-12,0,CC1=(0,0,1),AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1=(0,1,0),MNCC1=0,MNCC1,A说法正确;MNAC=12-12=0,MNAC,B说法正确;易知BD=2MN,且M,NBD,MNBD,C说法正确;设MN=A1B1,得-12=0,-12=,0=0,无解,所以MN与A1B1不平行,D说法

17、错误.故选D.15.答案337,-157,-3解析因为ABBC,所以ABBC=0,即13+51+(-2)z=0,所以z=4.因为BP平面ABC,所以BPAB,且BPBC,即1(x-1)+5y+(-2)(-3)=0,3(x-1)+y+4(-3)=0,解得x=407,y=-157,所以BP=337,-157,-3.16.A由中点坐标公式,得P(1,1,-1),所以OP=(1,1,-1),|OP|=1+1+1=3.故选A.17.D由题意得,A(3,3,-1),所以AB=(-4,-2,6),所以|AB|=16+4+36=214,故选D.18.解析(1)由题意得,D(1,2,1),AD=(1,1,-1)

18、,|AD|=1+1+1=3,即线段AD的长为3.(2)易知AB=(1,-2,1),ABAD=2-2a+1=1,解得a=1,AD=(2,1,1).cos=ABAD|AB|AD|=166=16,即向量AB与AD夹角的余弦值为16.19.解析由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).(1)由PB=2PA得P1,13,23,所以M-1,13,-23,所以|PM|=2133.(2)当点P是面对角线AB的中点时,P1,12,12,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a0,1,则|PQ|=(a-1)2+1-122+a-122=2a2-3a+32=2a-342

19、+38,所以当a=34时,|PQ|取得最小值64,此时点Q34,1,34.方法归纳利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).能力提升练1.Da,b,c不能构成空间的一个基底,a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,yR,则(7,5,)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),7=2x-y,5=-x+4y,=3x-2y,解得x=337,y=177,=657.故选D.2.C点Q在直线OP上运动

20、,设OQ=OP=(,2)(R),则QA=OA-OQ=(1-,2-,3-2),QB=OB-OQ=(2-,1-,2-2),QAQB=6-432-23,当=43时,QAQB最小,此时,Q43,43,83,故选C.3.AC如图,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),Oa2,a2,a2,A1B1=(0,a,0),AC=(-a,a,0),AB=(0,a,0),A1C=(-a,a,-a),CD=(0,-a,0),AB1=(0,a,a),A1O=-a2,a2,-a2.A1B1AC=a2,A对;ABA1C=a2,B错

21、;CDAB1=-a2,C对;ABA1O=12a2,D错.故选AC.4.BCD易得ab=ac=bc=-3+0+3=0.(ab)c=0,bc=0,所以A选项错误;(a+b)c-a(b+c)=ac+bc-ab-ac=0,所以(a+b)c=a(b+c),所以B选项正确;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2,所以C选项正确;(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ac=a2+b2+c2,即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D选项正确.故选BCD.5.答案12,1解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0

22、),A(0,0,1),C(1,1,1).设P(x,y,0)(x,y0,1).则PA=(-x,-y,1),PC=(1-x,1-y,1),PAPC=-x(1-x)-y(1-y)+1=x-122+y-122+12.x,y0,1,当x=12,y=12时,PAPC有最小值12.当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,PAPC有最大值1.PAPC的取值范围是12,1.6.C因为ab,所以R,使得b=a,得4=2,m=-,n=3,解得=2,m=-2,n=6,所以m+n=4,故选C.解题反思在解决有关平行的问题时,通常需要引入参数,如本题中已知ab,引入参数,使b=a,转化为

23、方程组求解;本题也可以利用坐标成比例求解,即由ab,得42=m-1=n3,求出m,n.7.D如图,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),所以B1P=(-1,2,0),B1D=-1,1,12,A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12.设存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直,设B1Q=B1P(01),则DQ=B1Q-B1D=B1P-B1D=(-,2,0)-1,1,12=1-,2-1,-12.由DQA1B,DQA1D,得1-12=0,2-1-14=0,无解,故选D.8.答案-35;710解析由ab,得ab=3(+1)+2=

24、0,解得=-35.由ab,得+13=21,且2-1=0,解得=15,=12,所以+=710.9.证明(1)设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A0,-22a,0,B22a,0,0,C0,22a,0,D-22a,0,0,A10,-22a,b,D1-22a,0,b,BD1=(-2a,0,b),AC=(0,2a,0),BD1AC=0,BD1AC.(2)设E(x,y,z),A1E=2ED,A1E=2ED,即x,y+22a,z-b=2-22a-x,-y,-z,解得x=-23a,y=-26a,z=b3,即E-

25、23a,-26a,13b,AE=-23a,23a,13b.设BD1=AC+AE(,R),则(-2a,0,b)=(0,2a,0)+-23a,23a,13b,即-2a=0-23a,0=2a+23a,b=0+13b,解得=-1,=3,即BD1=-AC+3AE.BD1,AC,AE共面,又BD1平面ACE,BD1平面ACE.10.B取AC的中点O,连接OP,OB,PA=PC,ACOP,平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,OP平面ABC,又AB=BC,ACOB,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,ABC为等边三角形,A(22,0,0),C(-

26、22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),cos=ACPD|AC|PD|=-8424=-24.异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.故选B.解题反思用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建立x轴和y轴.11.A如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),P是底面ABCD(含边界)上一动点,设P(x,y,0)(0x1,0y1),则A1P=(x,y,-1),AC1=(1,1,1),A1PAC1,A

27、1PAC1=x+y-1=0,A1P2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2x-122+32,当x=12时,A1P2取最小值32,此时线段A1P的长度为62;当x=0或x=1时,A1P2取最大值2,此时线段A1P的长度为2,线段A1P长度的取值范围是62,2.故选A.12.ACD如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,AB1=(0,2,-2),BC1=(-2,0,-2),cos=AB1BC1|AB1|BC1|

28、=42222=12,AB1与BC1成60角,A对;对于B,CN=13NC1,N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(-1,2,0),A1N=-2,2,32,A1E=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,R,使得A1M=A1N+A1E,得-1=-2-2,2=2+m,0=32+2,解得=2,=-32,m=43,E0,43,2,CE=0,-23,0,|CE|=23,B错;对于C,设P(2,y,z)(0y2,0z2),则MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,-2),由MPDB1=2+2y-4-2z=0,得y-z=1.点P的轨迹长为线段y-z=1(1y2)的长度,为2,C对;对于D,E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,DE=23DB1=23(2,2,-2)=43,43,-43,A1F=23A1C1=23(-2,2,0)=-43,43,0,则E43,43,23,F23,43,0,则EF=-23,0,-23,则cos=|cos|=-43-43-232+-2324+4=8322322=1,故=0,cos=|cos|=-43+43-232+-2324+4=0,故=2,即+=2,故D正确.