2020-2021学年新教材高考数学 第三章 圆锥曲线的方程 1综合拔高练基础过关（含解析）新人教A版选择性必修第一册.docx

1、综合拔高练五年高考练考点1椭圆的定义及其标准方程1.(2019课标全国,10,5分,)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=12.(2019课标全国,15,5分,)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.3.(2019浙江,15,4分,)已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点

2、在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是.深度解析考点2椭圆的几何性质4.(2019北京,4,5分,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b5.(2017课标全国,10,5分,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.136.(2018浙江,17,4分,)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m=时,点B横坐标的

3、绝对值最大.考点3直线与椭圆的位置关系7.(2018课标全国,12,5分,)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.148.(2019天津,18,13分,)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜

4、率.9.(2019课标全国,21,12分,)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面积的最大值.三年模拟练应用实践1.(2020北京西城高二上期末,)已知椭圆C:x2a2+y24=1(a0)的一个焦点为(2,0),则a的值为()A.22B.6C.6D.82.(2020山东烟台高二上期末,)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0),过M

5、的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为()A.x29+y26=1B.x24+y2=1C.x212+y23=1D.x218+y29=13.(2020天津耀华中学高二上期末,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,如果C上存在一点Q,使F1QF2=120,则椭圆的离心率e的取值范围为()A.0,12B.12,1C.0,32D.32,14.(2020安徽合肥高二上期末,)已知点O为坐标原点,点F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点,点A(-2,0),B(2,0)分别为C的左、右顶点,点P为椭圆C上

6、一点,且PFx轴,过点A的直线l交线段PF于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点,则|PF|=()A.4B.32C.2D.35.(2020四川成都高二上期末,)设椭圆C:x249+y2b2=1(0bb0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.11.(2020福建三明高二上普通高中期末,)阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著

7、名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的面积为23,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求OAB面积的最大值.迁移创新12.()如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,22,离心率为22,左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设

8、直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.证明:1k1-3k2=2;问直线l上是否存在点P,使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.答案全解全析五年高考练1.B设|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F

9、1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1,即4x2=4x2+22-8xcosAF2F1,由,得x=32,所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c2=2.故椭圆的方程为x23+y22=1.故选B.2.答案(3,15)解析不妨设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2|,又由椭圆方程x236+y220=1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12,所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4.设

10、M(x0,y0)(x00,y00),则(x0+4)2+y02=64,(x0-4)2+y02=16,解得x0=3,y0=15,即M(3,15).3.答案15解析如图,记椭圆的右焦点为F,取PF中点M,由题知a=3,b=5,c=2,连接OM,PF,则|OM|=|OF|=2,又M为PF的中点,|PF|=2|OM|,PFOM,|PF|=4,又P在椭圆上,|PF|+|PF|=6,|PF|=2,在PFF中,|PF|=|FF|=4,|PF|=2,连接FM,FM=1,则FMPF,|FM|=|FF|2-|FM|2=16-1=15,kPF=tanPFF=|FM|FM|=15,即直线PF的斜率为15.解后反思试题中

11、只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点.将椭圆定义作为隐含条件直接应用是求解本题的突破口;由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出PF的长度是解决本题的关键.4.B由题意知a2-b2a2=e2=14,整理,得3a2=4b2,故选B.5.A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,|b0-a0+2ab|b2+(-a)2=a,即2b=a2+b2,a2=3b2,a2=b2+c2,c2a2=23,e=ca=63.6.答案5解析设B(t,u),由AP=2PB,易得A(-2t,3-2u).点A,B都在椭圆上,t24+u2=m,4t24+(3-2u)

12、2=m,从而有3t24+3u2-12u+9=0,即t24+u2=4u-3.4u-3=mu=m+34,t24+(m+3)216=m,t2=-14m2+52m-94=-14(m-5)2+4.当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,故当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.7.D由题意可得直线AP的方程为y=36(x+a),直线PF2的方程为y=3(x-c).联立,得y=35(a+c),如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH=35(a+c).因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH=35(a+c),所以sin60=PHPF2=35(a+c)2c=32,即a+c=5c,即a=4c,所

13、以e=ca=14.故选D.8.解析(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,得2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,所以a=5,b=2,c=1.所以椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立,得y=kx+2,x25+y24=1,整理,得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2,得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意得N(0,-1

14、),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k-k2=-1,化简,得k2=245,从而k=2305.所以直线PB的斜率为2305或-2305.9.解析(1)由题设得yx+2yx-2=-12,化简,得x24+y22=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由y=kx,x24+y22=1得x=21+2k2.记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1得(2+k

15、2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.设G(xG,yG),则-u和xG是方程的解,故xG=u(3k2+2)2+k2,由此得yG=uk32+k2.从而直线PG的斜率为uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k.所以PQPG,即PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以PQG的面积S=12|PQ|PG|=8k(1+k2)(1+2k2)(2+k2)=81k+k1+21k+k2.设t=k+1k,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=8t1+2t2在2,+)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为16

16、9.因此PQG面积的最大值为169.三年模拟练1.A由椭圆的焦点为(2,0)知,a2,因此,a2=4+22=8,从而a=22,故选A.2.D设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1-02-3=-1,4b2-2a2=0,即a2=2b2.又c2=9,b2+9=2b2,解得b2=9,从而a2=18.椭圆M的方程为x218+y29=1,故选D.3.D设椭圆的上顶点为B2(0,b).如图所示,F1QF2F1B2F2.依题意

17、得,F1B2F2120,OB2F260,因此cb=tanOB2F23,即c23b2=3a2-3c2,c2a234,从而e32,又0e1,32e1,故选D.4.B由题意知,a=2,因为PFx轴,所以设M(-c,t),作出图形如图,则直线AM的方程为y-0=t2-c(x+2),令x=0,得y=2t2-c,所以直线AM与y轴的交点E的坐标为0,2t2-c,又直线BM的方程为y-0=-t2+c(x-2),令x=0,得y=2t2+c,所以直线BM与y轴的交点N的坐标为0,2t2+c,由题意知,点N为线段OE上靠近O的一个三等分点,所以32t2+c=2t2-c,解得c=1,在椭圆中,b2=a2-c2=4-

18、1=3,所以|PF|=b2a=32.故选B.5.D椭圆x249+y2b2=1(0b0),由椭圆的定义可得|NF2|=14-|NF1|=14-3t,|MF2|+|MF1|=14,即有2c+4t=14,即c+2t=7,取MF1的中点K,连接KF2,则KF2MN,由勾股定理可得|MF2|2-|MK|2=|NF2|2-|NK|2,即(2c)2-(2t)2=(14-3t)2-(5t)2.由,解得t=1,c=5或c=7,t=0(舍去),又c2=a2-b2,b2=72-52=24,b=26,2b=46,故选D.6.BC易知F1(-4,0),F2(4,0)分别为椭圆x225+y29=1的两个焦点,E1(0,-

19、4),E2(0,4)分别为椭圆y225+x29=1的两个焦点.若点P仅在椭圆 x225+y29=1上,则P到F1(-4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值,到E1(0,-4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故A错误;两个椭圆关于直线y=x、y=-x均对称,则曲线C关于直线y=x、y=-x均对称,故B正确;曲线C所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C正确;曲线C所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长6,故D错误.故选BC.7.答案60解析P是椭圆x216+y29=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|

20、=27.|PF1|PF2|=12,|PF1|=2,|PF2|=6或|PF1|=6,|PF2|=2.在F1PF2中,由余弦定理可知cosF1PF2=4+36-28226=12,所以F1PF2=60.8.答案239解析由PF1的中点在y轴上知PF2x轴.a2=16,b2=9,c2=7.不妨设P(7,y0)(y00),则716+y029=1,解得y02=8116.从而|PF2|=94,又|PF1|+|PF2|=8,|PF1|=8-94=234.|PF1|PF2|=23494=239.9.解析(1)依题意,设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),b=1,半焦距c=3,a2=b2+c2=4,椭

21、圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:依题意,设M(n,m),N(-n,m),D(x1,y1),则n24+m2=1,n2=4(1-m2).由A,N,D三点共线,得kAN=kAD,即m-1-n=y1-1x1,m-1n=1-y1x1,由kBDkBM=-14,得y1+1x1m+1n=-14,m+1n=-14x1y1+1.由,得m2-1n2=-14x1y1+11-y1x1=y1-14(y1+1).将代入,得y1-1y1+1=-1,解得y1=0,故点D在x轴上.10.解析(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2x轴,所以D

22、F2=DF12-F1F22=522-22=32.因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)解法一:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.因此B-115,-125.又F2(1,0),

23、所以直线BF2:y=34(x-1).由y=34(x-1),x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.因此E-1,-32.解法二:由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而BF1E=B.因为F2A=F2B,所以A=B.所以A=BF1E,从而EF1F2A.因为AF2x轴,所以EF1x轴.因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,解得y=32.又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-

24、32.因此E-1,-32.11.解析(1)依题意得ab=23,a=2c,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程是x24+y23=1.(2)由题意得,直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,由方程组x=my+1,x24+y23=1,得(3m2+4)y2+6my-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=12m2+13m2+4,所以SOAB=12|OP|y1-y2|=6m2+13m2+4,令t=m2+1(t1),则m2=t2-1,SOAB=6t3

25、t2+1=63t+1t,因为y=3t+1t在1,+)上单调递增,所以当t=1,即m=0时,OAB的面积取得最大值32.12.解析(1)因为椭圆过点1,22,离心率e=22,所以1a2+12b2=1,ca=22.又a2=b2+c2,所以a=2,b=1,c=1.故所求椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)证明:证法一:由于F1(-1,0)、F2(1,0),直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,且点P不在x轴上,所以k1k2,k10,k20.所以直线PF1,PF2的方程分别为y=k1(x+1),y=k2(x-1),联立方程,解得x=k1+k2k2-k1,y=2k1k2k2-k1,所以Pk1+k

26、2k2-k1,2k1k2k2-k1.由于点P在直线x+y=2上,所以k1+k2+2k1k2k2-k1=2.因此2k1k2+3k1-k2=0,即1k1-3k2=2,结论成立.证法二:设P(x0,y0),则k1=y0x0+1,k2=y0x0-1.因为点P不在x轴上,所以y00.又x0+y0=2,所以1k1-3k2=x0+1y0-3(x0-1)y0=4-2x0y0=2y0y0=2.因此结论成立.设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD).由得PF1的方程为y=k1(x+1),联立直线PF1与椭圆的方程得y=k1(x+1),x22+y2=1,化简得(2k12+1)x2+4

27、k12x+2k12-2=0,因此xA+xB=-4k122k12+1,xAxB=2k12-22k12+1,因此kOA+kOB=yAxA+yBxB=k1(xA+1)xA+k1(xB+1)xB=2k1+k1(xA+xB)xAxB=k12-4k122k12-2=-4k12k12-2=-2k1k12-1,同理可得,kOC+kOD=-2k2k22-1,故kOA+kOB+kOC+kOD=-2k1k12-1+k2k22-1=-2k1k22-k1+k12k2-k2(k12-1)(k22-1)=-2(k1k2-1)(k1+k2)(k12-1)(k22-1).若kOA+kOB+kOC+kOD=0,则k1+k2=0或k1k2=1.(i)当k1+k2=0时,结合的结论,可得k2=-2,所以解得点P的坐标为(0,2);(ii)当k1k2=1时,结合的结论,解得k2=3或k2=-1(此时k1=-1,不满足k1k2,舍去),此时直线CD的方程为y=3(x-1),联立方程x+y=2得x=54,y=34.因此P54,34.综上所述,满足条件的点P的坐标分别为(0,2),54,34.