2020-2021学年新教材高考数学 第五章 一元函数的导数及其应用 2.docx

1、简单复合函数的导数学习目标1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则知识点复合函数的导数1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)思考函数ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？答案函数ylog2(x1)是由ylog2u及ux1两个函数复合而成的2复合函数的求导法则一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数与函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的

2、导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()2函数f(x)sin(2x)的导数为f(x)cos 2x.()3函数f(x)e2x1的导数为f(x)2e2x1.()一、求复合函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y；(2)ycos(x2)；(3)ylog2(2x1)；(4)ye3x2.解(1)令u13x，则yu4，所以yu4u5，ux3.所以yxyuux12u5.(2)令ux2，则ycos u，所以yxyuuxsin u2x2xsin(x2). (3)设ylog2u，u2x1，则yxyuux.(4)设yeu，u3x2，则yx(eu)(3x2)3eu

3、3e3x2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y；(2)y5log2(1x)；(3)ysin.解(1)设yu12x，则yx(2)函数y5log2(1x)可看作函数y5log2u和u1x的复合函数，所以yxyuux5(log2u)(1x).(3) 设ysin u，u2x，则yx(sin u)cos u22cos.二、复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数：(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.解(1)(ln 3x)(3x)，y.(2

4、)y(x)xx().(3)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x4sin 4x2xcos 4x.反思感悟(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导跟踪训练2求下列函数的导数：(1)ysin2；(2)ysin3xsin x3；(3)yxln(1x)解(1)方法一y，ysinx.方法二y2sincossincos

5、sin x.(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)yxln(1x)xln(1x)ln(1x).三、与切线有关的综合问题例3(1)曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是()A. B2 C3 D0答案A解析设曲线yln(2x1)在点(x0，y0)处的切线与直线2xy30平行y，2，解得x01，y0ln(21)0，即切点坐标为(1,0)切点(1,0)到直线2xy 30的距离为d，即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是.(2)设f(x)ln(x1)axb(

6、a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切求a，b的值解由曲线yf(x)过(0,0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，即为曲线yf(x)在点(0,0)处的切线的斜率由题意，得a，故a0.反思感悟(1)求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件(2)在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内跟踪训练3(1)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，

7、曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，则k的值为答案1解析由f(x)，得f(x)，x(0，)由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a.该切线与坐标轴围成的面积为答案2解析令yf(x)，则曲线yeax在点(0,1)处的切线的斜率为f(0)，又切线与直线x2y10垂直，所以f(0)2.因为f(x)eax，所以f(x)(eax)eax(ax)aeax，所以f(0)ae0a，故a2.由题意可知，切线方程为y12x，即2xy10.令x0得y1；令y0得x.S1.1(多选)函数y(x

8、21)n的复合过程正确的是()Ayun，ux21 By(u1)n，ux2Cytn，t(x21)nD. tx21, ytn答案AD2函数y(2 0208x)3的导数y等于()A3(2 0208x)2B24xC24(2 0208x)2D24(2 0208x)2答案C解析y3(2 0208x)2(2 0208x)3(2 0208x)2(8)24(2 0208x)2.3函数yx2cos 2x的导数为()Ay2xcos 2xx2sin 2xBy2xcos 2x2x2sin 2xCyx2cos 2x2xsin 2xDy2xcos 2x2x2sin 2x答案B解析y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2

9、xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.4已知f(x)ln(3x1)，则f(1).答案解析f(x)，f(1).5曲线 yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为答案xy10解析y，y|x11，即切线的斜率是k1，又切点坐标为(1,0)yln(2x)在点(1,0)处的切线方程为y(x1)，即xy10.1知识清单：(1)复合函数的概念(2)复合函数的求导法则2方法归纳：转化法3常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化1(多选)下列函数是复合函数的是()Ayx31 BycosCyDy(2x3)4答案BCD解析A

10、不是复合函数，B，C，D均是复合函数，其中B由ycos u，ux复合而成；C由y，uln x复合而成；D由yu4，u2x3复合而成2函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5)Bln(2x5)C2xln(2x5) D.答案B解析yxln(2x5)，yln(2x5).3函数yx3ecos x的导数为()Ay3x2ecos xx3ecos xBy3x2ecos xx3ecos xsin xCy3x2ecos xx3esin xDy3x2ecos xx3ecos xsin x答案B解析y(x3)ecos xx3(ecos x)3x2ecos xx3ecos x(cos x)3x2ecos xx

11、3ecos xsin x.4曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1答案C解析yxex1，yex1xex1，ky|x1e0e02，故选C.5已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2答案B解析设切点坐标是(x0，x01)，依题意有由此得x010，x01，a2.6函数ysin 2xcos 3x的导数是答案y2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x解析ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.7已知函数f(x)的导函数为f(

12、x)，若f(x)fsin 3xcos 3x，则f.答案3解析f(x)fsin 3xcos 3x，f(x)f3cos 3x3sin 3x，令x可得ff3cos 3sin f3，解得f3.8点P是f(x)(x1)2上任意一点，则点P到直线yx1的最短距离是，此时点P的坐标为答案解析与直线yx1平行的f(x)(x1)2的切线的切点到直线yx1的距离最短设切点为(x0，y0)，则f(x0)2(x01)1，x0，y0.即P到直线yx1的距离最短d.9求下列函数的导数：(1)yln(exx2)；(2)y102x3；(3)ysin4xcos 4x.解(1)令uexx2，则yln u.yxyuux(exx2)

13、(ex2x).(2)令u2x3，则y10u，yxyuux10uln 10(2x3)2102x3ln 10.(3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin2 2x1(1cos 4x)cos 4x.ysin 4x.10曲线yesin x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程解yesin x，yesin xcos x，y|x01.曲线yesin x在点(0,1)处的切线方程为y1x，即xy10.又直线l与xy10平行，故直线l可设为xym0.由得m1或3.直线l的方程为xy10或xy30. 11曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直

14、线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1答案A解析依题意得ye2x(2)2e2x，y|x02e202.所以曲线ye2x1在点(0,2)处的切线方程是y22x，即y2x2.在坐标系中作出直线y2x2，y0与yx的图象，如图所示因为直线y2x2与yx的交点坐标是，直线y2x2与x轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为1.12(多选)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值可以是()A. B. C. D. 答案CD解析因为y，所以y.因为ex0，所以ex2(当且仅当x0时取等号)，所以y1,0)，所以tan 1,0)又因为0，

15、)，所以.13设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f(x)是奇函数，则.答案解析f(x)sin(x)，f(x)f(x)cos(x)sin(x)，令g(x)cos(x)sin(x)，其为奇函数，g(0)0，即cos sin 0，tan ，又0，.14已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是答案y2x1解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，所以切线方程为y2x1.15已知f，则f(x)等于()A.BC.D答案D解析由f，得f(x)，从而f(x)，故选D.16(1)已知f(x)exsin x，求f(x)及f；(2)在曲线y上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程解(1)f(x)exsin x，f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x)f(2)设切点坐标为P(x0，y0)，由题意可知又y，0.解得x00，此时y01.即该点的坐标为P(0,1)，切线方程为y10.