2020-2021学年高中数学 第六章 计数原理测评课后习题（含解析）新人教A版选择性必修第三册.docx

1、第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020重庆高三月考)(x+1)8的展开式的各项系数和为()A.256B.257C.254D.255解析令x=1,则(1+1)8=28=256,即(x+1)8的展开式的各项系数的和为256.故选A.答案A2.把编号为1,2,3,4,5的5位运动员排在编号为1,2,3,4,5的5条跑道中,要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同,共有不同排法的种数是()A.10B.20C.40D.60解析先选出两位运动员的编号与其所在跑道编号相同,有C5

2、2,剩余的有2种排法,共有2C52=20(种).答案B3.(2020河南高二月考)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18B.24C.30D.36解析由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41C32=43=12(种)不同的选法;第2类,3人中是2男1女,共有C42C31=63=18(种)不同的选法.所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.答案C4.(2020浙江高三专题练习)已知A3m-C32+0!=4,则m=()A.0B.1C.2或3D.3解析A3m-C32+0!=4,A3m=6.当m=2时成

3、立;当m=3时也成立.故选C.答案C5.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末)张、王夫妇各带一个小孩儿到游乐园游玩,购票后依次入园,为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外两个小孩要排在一起,则这6个人的排法种数是()A.12B.24C.36D.48解析先安排首尾两个位置的男家长,共有A22种方法;将两个小孩作为一个整体,与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间,共有A22A33种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法有A22A22A33=24(种).故选B.答案B6.(2020全国1高考)x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20解析因为(x+y)5的通项

4、公式为C5kx5-kyk(k=0,1,2,3,4,5),所以当k=1时,y2xC51x4y=5x3y3,当k=3时,xC53x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.答案C7.如图所示,要给四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320B.160C.96D.60解析根据分步乘法计数原理,区域有5种颜色可供选择,区域有4种颜色可供选择,区域和区域只要不选择区域的颜色即可,故有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5444=320(种).答案A8.(2020山东济南高三模拟)某学校实行新课程改革,即除语

5、文、数学、外语三科为必考科目外,还要在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求,物理、化学必选,为该生安排课表(上午四节、下午四节,每门课每天至少一节),已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则该生该天课表有()A.444种B.1 776种C.1 440种D.1 560种解析物理、化学、生物、历史、地理、政治六选三,且物理、化学必选,所以只需在生物、历史、地理、政治中四选一,有C41=4(种).对语文、外语排课进行分类,第1类,语文

6、、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有C21C41A44=192(种);第2类,语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语文、数学、外语三科的另三科中选择,有C31=3(种),语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节,有3A22=6(种),也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有C41A22=8(种),其他三科可以全排列,有C31(6+8)A33=252(种).综上,共有4(192+252)=1776(种).故选B.答案B二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合

7、题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2020江苏扬中高级中学高二期中)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若任意选择三门课程,选法总数为A73B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C21C52C.若物理和历史不能同时选,选法总数为C73-C51D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C21C52-C51解析若任意选择三门课程,选法总数为C73,故A错误;若物理和化学至少选一门,选法总数为C21C52+C22C51,故B错误;若物理和历史不能同时选,选法总数为C73-C22

8、C51,故C正确;若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为C21C52+C22C51-C51,故D错误.故选ABD.答案ABD10.(2020江苏丰县中学高二期中)下列等式中,成立的有()A.Anm=n!m!B.Cnm-1+Cnm=Cn+1mC.Cnm=Cnn-mD.Anm=nAn-1m-1解析Anm=n(n-1)(n-m+1)=n!(n-m)!,故A错误;根据组合数性质知B,C正确;Anm=n!(n-m)!=n(n-1)!(n-1)-(m-1)!=nAn-1m-1,故D正确.故选BCD.答案BCD11.(2020山东高二期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+a8x

9、8且a1+a2+a8=255,则实数m的值可以为()A.-3B.-1C.0D.1解析因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+a8x8,令x=1,得(1+m)8=a0+a1+a2+a8,令x=0,得a0=1.因为a1+a2+a8=255,所以(1+m)8-1=255,所以(1+m)8=256=28,所以1+m=2或1+m=-2,解得m=1或m=-3.故选AD.答案AD12.(2020山东宁阳第四中学高二期中)已知(ax2+1x)n(a0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是()A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6

10、项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x15的项的系数为45解析由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,可知n=10.又因为展开式的各项系数之和为1024,即当x=1时,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二项式为(x2+1x)10=(x2+x-12)10.二项式系数和为210=1024,则奇数项的二项式系数和为121024=512,故A错误;由n=10可知展开式共有11项,故第6项的二项式系数最大,因为x2与x-12的系数均为1,则该二项展开式的二项式系数与相应各项的系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确;若展开式中存在常数项,由通项Tk+1=C10kx2(10-

11、k)x-12k可得2(10-k)-12k=0,解得k=8,故C正确;由通项Tk+1=C10kx2(10-k)x-12k可得2(10-k)-12k=15,解得k=2,所以系数为C102=45,故D正确.故选BCD.答案BCD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2019上海高二期末)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有种.解析第1步,甲、乙抢到红包,有A42=43=12(种),第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=32=6(种),所以甲、乙两人都抢到红包的情况有126=72(种).答

12、案7214.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种.解析先分组C52C32C11A22,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案C52C32C11A22A33=90(种).答案9015.(2020安徽高三模拟)(x2+2)(2x-1x)6的展开式中的常数项为.解析因为2x-1x6的展开式中含1x2的项为C64(2x)2(-1x)4=60x2,(2x-1x)6的展开式中含常数项C63(2x)3(-1x)3=-160,所以(x2+2)(2x-1x)6的展开式中的常数项为60-320=-260.答案-26016.(2020浙

13、江高三专题练习)某学校要安排2名高二的同学、2名高一的同学和1名初三的同学去参加电视节目,有五个乡村小镇A,B,C,D,E(每名同学选择一个小镇),由于某种原因高二的同学不去小镇A,高一的同学不去小镇B,初三的同学不去小镇D和E,则共有种不同的安排方法.解析如果初三学生去A,则高二学生选1人去B,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有C21A33=12(种);如果初三学生去B,则高一学生选1人去A,另外三人去C,D,E,故不同的安排方法有C21A33=12(种);如果初三学生去C,则高二学生选1人去B,高一学生选1人去A,另外两人去D,E,故不同的安排方法有C21C21A22=8(种).故共

14、有不同的安排方法12+12+8=32(种).答案32四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二期末)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.解(1)根据所给的等式求得常数项a0=1.令x=1,可得a0+a1+a2+a7=-1.则a1+a2+a7=-2.(2)在所给的等式中,令x=1,可得a0+a1+a2+a7=-1.令x=-1,则a0-a1+a2-a3+-a7=37

15、.(-)2,可得a1+a3+a5+a7=-1094.(3)由(2),(+)2,可得a0+a2+a4+a6=1093.(4)在所给的等式中,令x=-1,可得|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=a0-a1+a2-a3+-a7=37=2187.18.(12分)(2020安徽六安中学高二期中)某医院有内科医生8名、外科医生6名,现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队.(1)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?解(1)不考虑甲、乙两人,从所有14名医生中选派4名共有C144=1001(种);甲、乙两人都没被选派共有C124=495(种).故甲

16、、乙两人至少有一人参加,有1001-495=506(种).(2)此时4名医生的组成可分为三类:第1类,1名内科医生、3名外科医生,共有C81C63=160(种);第2类,2名内科医生、2名外科医生,共有C82C62=420(种);第3类,3名内科医生、1名外科医生,共有C83C61=336(种).故队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有160+420+336=916(种)选法.19.(12分)(2020四川仁寿第二中学高二月考(理)在3x-123xn的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.解通项为Tk+1=(-1

17、2)kCnkxn-2k3.由已知,(-12)0Cn0,12Cn1,122Cn2成等差数列,得212Cn1=1+14Cn2,解得n=8,故Tk+1=(-12)kC8kx8-2k3.(1)令k=3,得T4=(-12)3C83x23=-7x23.(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358.(3)令x=1,得各项的系数和为128=1256.20.(12分)(2020江苏高二期中)有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?解(1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,

18、则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C72=21(种)分组方法;第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=720(种)方法.一共有21720=15120(种)不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73A55=4200;第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C72C52A55=12600.所以所求分法种数为4200+12600=16800.21.(12分)(2020河南南阳中学高二月考)已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992.求(2x-1x)

19、2n的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解由题意22n-2n=992,解得n=5.(1)(2x-1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=C105(2x)5(-1x)5=-8064.(2)设第k+1项的系数的绝对值最大,Tk+1=C10k(2x)10-k(-1x)k=(-1)kC10k210-kx10-2k,则C10k210-kC10k-1210-k+1,C10k210-kC10k+1210-k-1,即C10k2C10k-1,2C10kC10k+1,即11-k2k,2(k+1)10-k,解得83k113,故k=3.系数的绝对值最大的项为T4=C

20、103(2x)7(-1x)3=-15360x4.22.(12分)(2020江苏徐州高二月考)从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数?(2)在(1)中的七位数中,三个偶数排在一起的有几个?(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?解(1)分步完成:第1步,在四个偶数中取三个,可有C43种情况;第2步,在五个奇数中取四个,可有C54种情况;第3步,三个偶数,四个奇数进行排列,可有A77种情况.所以符合题意的七位数有C43C54A77=100800(个).(2)上述七位数中,三个偶数排在一起的有C43C54A55A33=14400(个).(3)上述七位数中,三个偶数排在一起,四个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22=5760(个).(4)上述七位数中,偶数都不相邻,可先把四个奇数排好,再将三个偶数分别插入5个空位,共有A54C43A53=28800(个).