2020学年九年级数学上学期同步讲解 二次函数的图象和性质（含解析）（新版）新人教版.docx

1、二次函数的图象和性质一、知识点知识点1：二次函数的概念及解析式1.二次函数的定义yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数.知识点2：二次函数的图像和性质2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两

2、个交点坐标，可设交点式.3.二次函数的图象和性质图象开口向上向下对称轴x顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.最值x=，y最小.x=，y最大.3.系数a、b、c的作用a决定抛物线的开口方向及开口大小当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下.a、 b决定对称轴（x=-b/2a）的位置当a，b同号，-b/2a0，对称轴在y轴左边；当b0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，-b/2a0，对称轴在y轴右边c决定抛物线与y轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过

3、原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时，抛物线与x轴没有交点知识点3：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）二、标准例题：例1：已知二次函数，下列说法正确的是（）A开口向上，顶点坐标B开口向下，顶点坐标C开口向上，顶点坐标D开口向下，顶点坐标【答案】A【解析】解：，其中a=20，抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）.故选A.总结：抛物线的开口方向由a的正负确定，a0时开口向上，a0时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此

4、判断即可.例2：已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】解法1：将，与代入，得，；解法2：抛物线的对称轴为，在，与三点中，离对称轴最近，次之为，最远的是，又因为抛物线开口向下，所以.故选B.总结：本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：yx26x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：yx+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是5m1，乙同学的结果是m下列说法

5、正确的是（）A甲的结果正确B乙的结果正确C甲、乙的结果合在一起才正确D甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D【解析】解：令yx26x+50，解得（1，0），（5，0）将点（1，0），（5，0）分别代入直线yx+m，得m1，5；5m1由题可知，图象G中的顶点为（3，4）代入直线yx+m，得m1，m1综上所述，m1或5m1故选：D总结：本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.例4：如图，抛物线y=x2x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求ACP面积的最大值【答案】(1) A（4，0）

6、，B（2，0）；(2)ACP最大面积是4.【解析】(1)解：设y=0，则0=x2x+4x1=4，x2=2A（4，0），B（2，0）(2)作PDAO交AC于D设AC解析式y=kx+b解得：AC解析式为y=x+4.设P（t，t2t+4）则D（t，t+4）PD=（t2t+4）（t+4）=t22t=（t+2）2+2SACP=PD4=（t+2）2+4当t=2时，ACP最大面积4.总结：本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作PDAO交AC于D，ACP的面积可以表示成PDOA，其中OA是定值，P、D两点有相同的横坐标，所以PD的

7、长可用它们的横坐标的关系式来表示，这样ACP的面积就表示成了P点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法求解即可.三、练习1. 将二次函数y=2x2+8x7化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（）Ay=2（x+4）27By=2（x+2）27Cy=2（x+2）211Dy=2（x+2）215【答案】D【解析】=.故选D.2.已知二次函数y=（xh）2（h为常数），当自变量x的值满足2x5时，与其对应的函数值y的最大值为1，则h的值为（）A1或6B3或6C1或3D4或6【答案】A【解析】解：对于二次函数y=（xh）2（h为常数），其开口向下，顶点为（h，0），函数的最大值为0，因为当x满足2

8、x5时，与其对应的函数值y的最大值为1，故h不能取25（含2与5）之间的数，故h2或h5.当h2，2x5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而减小，所以当x=2时，y有最大值，此时，解得（舍去）；当h5，2x5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而增大，所以当x=5时，y有最大值，此时，解得（舍去）；综上可知：h= 1或6.故选A.3将抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）Ay=3（x+1）22By=3（x+1）2+2Cy=3（x3）2+1Dy=3（x3）21【答案】A【解析】解：抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，可得y=3（x+1）2+1，再

9、向下平移3个单位得到y=3（x+1）2+13，即y=3（x+1）22.故选A.4抛物线y=x2+3x2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（）AB3C3D【答案】D【解析】解：抛物线y=x2+3x2与y=ax2的形状相同，.开口方向相反，两个函数的二次项系数互为相反数，即.故选D.5顶点为，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（）ABCD【答案】B【解析】解：顶点是，可设顶点式，又形状与的图象相同，故选6如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：；.其中，正确结论的个数是（）ABCD【答案】C【解析】解：根据图象可知a0，c0，b0，, 故错误；.B（-c，0）抛物

10、线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点， ac2-bc+c=0，ac-b+1=0，故正确；，b=ac+1,2b-c=2，故正确；故选：C7抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：；方程有两个不相等的实数根；若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】如图，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）故可补全图像如下，由图可知a0，c0，对称轴x=1,故b0，错误，对称轴x=1,故x=-,，正确；如图，作y=2图像，与函数有两个交点，方程有两个

11、不相等的实数根，正确；x=-2时，y=0,即，正确；抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；故选D8如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，则下列说法错误的是（）ABC当时，D当时，随的增大而减小【答案】D【解析】令y=0，得x1=-1,x2=3,A（-1,0），B（3,0）AB=4，A正确；令x=0，得y=-3，C（0，-3）OC=BO, ,B正确；由图像可知当时，故C正确，故选D.9如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:;抛物线关于直线对称;抛物线过点;四边形,其中正确的个数

12、有（）ABCD【答案】C【解析】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0）又抛物线过三点将三点坐标代入，得结论正确；解得抛物线解析式为，结论错误；抛物线的对称轴为，结论正确；点即为（2,3），抛物线过此点，结论正确；，结论错误.故正确的个数是3，选C.10如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：ab0；方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；a+b+c0；当x1时，y随x值的增大而增大；当y0时，x-1或x3其中，正确的说法有（）ABCD【答案】B【解析】解：根据图象可知：对称轴0，故ab0，正确；方程ax2+bx+c=0的根

13、为x1=-1，x2=3，正确；x=1时，y=a+b+c0，错误；当x1时，y随x值的增大而减小，错误；当y0时，x-1或x3，正确正确的有故选：B11某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（）Ay=3x2-6x-5By=3x2-6x+1Cy=3x2+6x+1Dy=3x2+6x+5【答案】B【解析】解: 抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，把（2，1）代入得：1=a（2-1）2-2，解得：a=3，y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，故选：B12已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，

14、1），则这二次函数的表达式为（）Ay=-6x2+3x+4By=-2x2+3x-4Cy=x2+2x-4Dy=2x2+3x-4【答案】D【解析】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：解得所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4故选：D13二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：；当时，；，其中正确的结论有_【答案】【解析】解：二次函数的图象开口向上，a0，二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，c0，二次函数图象的对称轴是直线x=1，2a+b=0，b0.；故正确；由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于

15、2小于3，当x2时，y有小于0的情况，故错误；当x=1时，y0，0，把代入得：，故正确；前面已得2a+b=0，又a0，故正确；故答案为：.14.抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是_【答案】【解析】解：根据抛物线的对称性可得：的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对称轴为故答案为15如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.（3）抛物线上是否存在点P，使ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）

16、y=x2+5x+6；（2）点M（）；（3）点P的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（22，42）【解析】（1）当x=0时，y=ax2+bx+6=6，则C（0，6），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x6），把C（0，6）代入得a1（6）=6，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+1）（x6），即y=x2+5x+6；（2）抛物线的对称轴是直线x=，直线AC的解析式为y=-x+6，点B关于对称轴直线x=的对称点为点A，连接AC，交直线x=于点M，此时点M满足CM+BM最小，当x=时，y=，点M（）（3）设P点坐标为（x，x2+5x+6），存在4个点P，使ACP为直角三角形PC2

17、=x2+（x2+5x）2，PA2=（x6）2+（x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，当PAC=90，PA2+AC2=PC2，（x6）2+（x2+5x+6）2+72=x2+（x2+5x）2，整理得x24x12=0，解得x1=6（舍去），x2=2，此时P点坐标为（2，8）；当PCA=90，PC2+AC2=PA2，72+x2+（x2+5x）2=（x6）2+（x2+5x+6）2，整理得x24x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；当APC=90，PA2+AC2=PC2，（x6）2+（x2+5x+6）2+x2+（x2+5x）2=72，整理得x310x2+20x+24

18、=0，x310x2+24x4x+24=0，x（x210x+24）4（x6）=0，x（x4）（x6）4（x6）=0，（x6）（x24x4）=0，而x60，所以x24x4=0，解得x1=2+2，x2=22，此时P点坐标为（2+2，4+2）或（22，42）；综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（22，42）16已知抛物线（，且为常数）（）求证：抛物线与轴有两个公共点（）若抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交点为，直接写出直线与抛物线对称轴的交点的坐标【答案】(1)证明见解析（2）【解析】解：（），又且为常数，抛物线与轴有两个公共点（）与轴的一个交点为

19、，把代入中有，另一个交点是，与轴交点，设直线为：，代入，后，又抛物线的对称轴是，点17已知二次函数（）用配方法将化成的形式（）当时，的最小值是_，最大值是_（）当时，直线写出的取值范围【答案】（）y=；（）最小值是，最大值是；（）【解析】（）（）函数的图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，当时，当时，当时，的最小值是，最大值是（）y=0时, =0，解得x=2或4，当y0时，x的取值范围是2x4.18如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点.求抛物线的解析式；点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值.【答案】(1) ；（2）线段的最大

20、值为.【解析】解：，二次函数与一次函数的图象交于轴上一点，点为，点为.二次函数的图象顶点在轴上.设二次函数解析式为.把点代入得，.抛物线的解析式为，即.设点坐标为，点坐标为.当时，即，解得.点为线段上一点, .当时，线段的最大值为.19如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；()点在线段OB上，点Q在线段BC上，若，且,求n的值；()在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()；对称轴为直线；()；()点M的坐标为，【解析】（）抛物线经过原点O，抛物线解析式为抛物线与x轴交于点(5，0)，解得抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线（）点C在抛物线上，解得(舍)，点C坐标为(8，4)过C作轴，垂足为E，连接AB在中，同理，可求得，在和中，解得（）抛物线的对称轴为，设点M的坐标为当，为顶角时，解得当，为顶角时，解得当，为顶角时，解得此时点为AB的中点，与点A，B不构成三角形综上可得，点M的坐标为，