2020届高考数学（理）课标版二轮习题：基础考点第5讲　数学文化 WORD版含解析.docx

1、第5讲数学文化一、选择题 1.(2019河北衡水中学联考,3)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈、长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示,则该楔体的侧视图的周长为()A.3丈B.6丈C.8丈D.(5+13)丈答案C由题意可知该楔体的侧视图是等腰三角形,它的底边长为3丈,相应高为2丈,所以腰长为22+322=52(丈),所以该楔体侧视图的周长为3+252=8(丈).故选C.2.秦九韶是我国南宋时期的

2、数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为()A.15B.16C.47D.48答案D执行程序框图,n=3,x=3,v=1,i=20,v=13+2=5,i=10,v=53+1=16,i=00,v=163+0=48,i=-10),则12(6x+x2)=72,解得x=1.设OA=y米,则(y-1)2+9=y2,解得y=5.由余弦定理得cosAOB=25+25-36255=725,故选D.11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“

3、对称美”.如图所示的太极图是由黑、白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义:图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.给出命题:对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个; 函数f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某个圆的“太极函数”;正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”;函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题为()A.B.C.D.答案A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,故对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个,故正确;函数f(x)=

4、ln(x2+x2+1)的大致图象如图所示,故其不可能为圆的“太极函数”,故错误;将圆的圆心放在正弦函数y=sin x图象的对称中心上,则图象可以将圆的周长和面积等分成两部分,所以正弦函数y=sin x是该圆的“太极函数”,从而正弦函数y=sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”,故正确;函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“太极函数”,但函数y=f(x)是“太极函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图,故错误,故选A.12.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图

5、,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛答案B设圆锥底面圆的半径为R尺,由142R=8得R=16,从而米堆的体积V=1413R25=16203(立方尺),因此堆放的米约有162031.6222(斛).故选B.二、填空题13.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天

6、的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 30.477 1,lg 20.301 0)答案3解析由题意得,蒲草的高度组成首项为a1=3,公比为12的等比数列an,设其前n项和为An;莞草的高度组成首项为b1=1,公比为2的等比数列bn,设其前n项和为Bn,则An=31-12n1-12,Bn=2n-12-1,令31-12n1-12=2n-12-1,化简得2n+62n=7(nN*),解得2n=6,所以n=lg6lg2=1+lg3lg23,即第3天时蒲草和莞草的高度相同.

7、14.(2019陕西咸阳二模,5)周髀算经中有一个问题:从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为.答案15.5尺解析设此等差数列an的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.15.将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的体积为.答案2053解析如图

8、,在长方体中可找到符合题意的三棱锥P-ABC,则球O的直径2R=PC=PA2+AC2=20=25,所以R=5.故球O的体积V=43R3=2053.16.九章算术是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分的三视图如图所示,则剩下部分的体积是.答案37.5解析由题意及给定的三视图可知,剩余部分是在直三棱柱的基础上截去一个四棱锥所得的,且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形,高为5.如图,图中几何体ABCC1MN为剩余部分,因为AM=2,B1C1平面MNB1A1,所以剩余部分的体积V=V三棱柱-V四棱锥=12555-13355=37.5.