2020版数学新优化浙江大一轮试题：第六章 数列 考点规范练30 WORD版含答案.docx

1、考点规范练30数列求和考点规范练第38页基础巩固组1.数列112,314,518,7116,(2n-1)+12n,的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-12nB.2n2-n+1-12nC.n2+1-12n-1D.n2-n+1-12n答案A解析该数列的通项公式为an=(2n-1)+12n,则Sn=1+3+5+(2n-1)+12+122+12n=n2+1-12n.2.(2017浙江金华十校3月联考)在数列an中,an+1-an=2,Sn为an的前n项和.若S10=50,则数列an+an+1的前10项和为()A.100B.110C.120D.130答案C解析数列an+an+1的前10项和为a1+a

2、2+a2+a3+a10+a11=2(a1+a2+a10)+a11-a1=2S10+102=120.故选C.3.(2017浙江五校联考)已知数列5,6,1,-5,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.16答案C解析根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=26+4,所以这个数列的前16项之和S16=20+5+6+1-5=7.故选C.4.(2018浙江稽阳联考)已知

3、Sn是等比数列an的前n项和,若存在mN*,满足S2mSm=9,a2mam=5m+1m-1,则数列an的公比为()A.-2B.2C.-3D.3答案B解析设公比为q,若q=1,则S2mSm=2,与题中条件矛盾,故q1.S2mSm=a1(1-q2m)1-qa1(1-qm)1-q=qm+1=9,qm=8.a2mam=a1q2m-1a1qm-1=qm=8=5m+1m-1.m=3.q3=8.q=2.故选B.5.(2017全国高考)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A解析设等差数列的公差为d,则d0,a32=a2a6,

4、即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=61+652(-2)=-24,故选A.6.(2017浙江杭州模拟)已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,bn=1an2-1(nN*),数列bn的前n项和为Sn,则S100的值为.答案n4(n+1)解析设等差数列an的公差为d,a3=7,a5+a7=26,a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.an=3+2(n-1)=2n+1.bn=1an2-1=14n2+4n=141n-1n+1.S100=141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+1=n4(n+1).7.(2018浙江金华十校模拟)已

5、知公差不为零的等差数列an中,a1=1,且a2,a5,a14成等比数列,an的前n项和为Sn,bn=(-1)nSn,则数列bn的前2n项和T2n=.答案n(2n+1)解析a1=1,an是等差数列,a2,a5,a14成等比数列,(1+d)(1+13d)=(1+4d)2,解得d=2.an=a1+(n-1)d=2n-1,Sn=na1+n(n-1)2d=n2.bn=(-1)nSn=(-1)nn2,数列bn的前n项和Tn=(-12+22)+(-32+42)+-(2n-1)2+(2n)2=3+7+4n-1=n(2n+1).故答案为n(2n+1).8.有穷数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+2n-1所有

6、项的和为.答案2n+1-2-n解析由题意知所求数列的通项为1-2n1-2=2n-1,故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.能力提升组9.已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=1f(n+1)+f(n),nN*,记数列an的前n项和为Sn,则S2 017=()A.2 016-1B.2 017-1C.2 018-1D.2 018+1答案C解析由f(4)=2得4a=2,解得a=12,则f(x)=x12.故an=1f(n+1)+f(n)=1n+1+n=n+1-n,S2 017=a1+a2+a3+a2 017=(2-1)+(3-2)+(4-3)

7、+(2 018-2 017)=2 018-1.10.已知等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,2n-1lg an,的前n项和Sn等于()A.n2nB.(n-1)2n-1-1C.(n-1)2n+1D.2n+1答案C解析等比数列an的各项都为正数,且当n3时,a4a2n-4=102n,an2=102n,即an=10n.2n-1lg an=2n-1lg 10n=n2n-1.Sn=1+22+322+n2n-1,2Sn=12+222+323+n2n,-,得-Sn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n=

8、(1-n)2n-1.Sn=(n-1)2n+1.11.在数列an中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列an的前12项和等于()A.76B.78C.80D.82答案B解析因为an+1+(-1)nan=2n-1,所以a2-a1=1,a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,a11+a10=19,a12-a11=21.所以a1+a3=2,a4+a2=8,a12+a10=40.所以从第一项开始,依次取两个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列,将以上各式相加可得S12=a1+a2+a3+a12=

9、(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)=32+8+24+40=78.12.(2017浙江杭州学军中学测试改编)设Sn是数列an的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(nN*),bn=(2n-1)an,则数列bn的前n项和Tn为()A.(n-1)3n+1B.(n-1)3n+1+3C.(n-1)3n+3D.n3n+1+3答案B解析当n2时,由an+1=2Sn+3得an=2Sn-1+3,两式相减,得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,an+1=3an,an+1an=3.当n=1时,a1=3,a2=2S1+3=2a1+3=9

10、,则a2a1=3.数列an是以a1=3为首项,公比为3的等比数列.an=33n-1=3n.bn=(2n-1)an=(2n-1)3n,Tn=13+332+533+(2n-1)3n,3Tn=132+333+534+(2n-1)3n+1,-,得-2Tn=13+232+233+23n-(2n-1)3n+1=3+2(32+33+3n)-(2n-1)3n+1=3+232(1-3n-1)1-3-(2n-1)3n+1=-6-(2n-2)3n+1.Tn=(n-1)3n+1+3.13.(2017课标高考)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码

11、”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110答案A解析设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为n(1+n)2.第n组的和为1-2n1-2=2n-1,前n组总共的和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N100,令n(

12、1+n)2100,得n14且nN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-Sn(1+n)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29(1+29)2+5=440.故选A.14.(2018浙江长兴模拟)已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2,a1=2,a2=1,则k=,Sn=.答案1241-12n解析S2=kS1+2,a1+a2=ka1+2.又a1=2,a2=1,2+1=2k+2.k=12.Sn+1=12Sn+2,当n2时,Sn=12Sn-1+2,-,得an

13、+1=12an(n2).又a2=12a1,易见an0(nN*),an+1an=12(nN*).数列an是等比数列,公比为12,Sn=21-12n1-12=41-12n.15.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列,在斐波那契数列an中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(nN*),则a7=;若a2 018=m,则数列an的前2 016项和是(用m表示).答案13m-1解析a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(nN*),a3=1+1=2,同理可得:a4=3,a5=5,a6=8,则a7=13.a1=1,a2=1,an+an+1=an+2(nN*),a1+a2=a3,a2+a3=a

14、4,a3+a4=a5,a2 015+a2 016=a2 017,a2 016+a2 017=a2 018.以上累加,得a1+2a2+2a3+2a4+2a2 016+a2 017=a3+a4+a2 018,a1+a2+a3+a4+a2 016=a2 018-a2=m-1.16.(2018浙江慈溪高三上期中)若数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,其前n项和为Sn,则(1)a1+a3+a5+a99=;(2)S4n=.答案(1)50(2)8n2+2n解析(1)an+1+(-1)nan=2n-1,a2n+1+a2n=4n-1,a2n-a2n-1=4n-3.两式相减得a2n+1+a2n-1=2

15、,则a3+a1=2,a7+a5=2,a99+a97=2,a1+a3+a5+a99=252=50.(2)由(1)得a3=2-a1,a2n+3+a2n+1=2,a2n+3=2-a2n+1=2-(2-a2n-1)=a2n-1(nN*).当n=2k(kN*)时,a4k+3=a4k-1=a3=2-a1;当n=2k-1(kN*)时,a4k+1=a4k-3=a1.由已知可得a4k-1+a4k-2=8k-5,a4k-a4k-1=8k-3(kN*).a4k-2=8k-5-a4k-1=8k-7+a1,a4k=8k-3+a4k-1=8k-1-a1.an=a1,n=4k-3,2n-3+a1,n=4k-2,2-a1,n

16、=4k-1,2n-1-a1,n=4k(kN*).设bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n=16n-6(nN*),则数列bn为首项为10,公差为16的等差数列.S4n=b1+b2+bn=10n+16n(n-1)2=8n2+2n.17.(2018浙江名校新高考研究联盟第一次联考)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=a2n+bn-1(a,bR,nN*).(1)当a=1,b=1时,求数列Sn的前n项和Tn;(2)若an是等比数列,证明:a2S1S2+a3S2S3+an+1SnSn+11.(1)解当a=1,b=1时,Sn=2n+n-1,Tn=S1+S2+Sn=21+1-1+22+2-1+

17、2n+n-1=(21+22+2n)+(1+2+n)-n=2n+1-2+12n(n+1)-n=2n+1+12n(n-1)-2.(2)证明当n=1时,a1=S1=2a+b-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1a+b,要使得数列an成等比数列,则b=0,此时an=2n-1a,且需满足当n=1时,a1=2a+b-1=a,即a=1,此时:Sn=2n-1,an=2n-1,an+1SnSn+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1.故a2S1S2+a3S2S3+an+1SnSn+1=2(2-1)(22-1)+22(22-1)(23-1)+2n(2n-1)(2n+1-1)=12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-10,即M1M2;当n2时,Mn+1-MnM3M4.(Mn)max=M2=1013+14-1=296.故数列S2n-Sn的最大值为S4-S2=296.