2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学（理）讲义：第三篇 专题五 第三讲　统计与统计案例、正态分布 WORD版含答案.docx

1、第三讲统计与统计案例、正态分布高考导航1考查系统抽样和分层抽样、样本的频率分布与数字特征、线性回归分析、独立性检验2考查正态曲线的性质及正态分布的概率计算3与概率知识交汇进行综合考查考点一抽样方法、用样本估计总体1抽样方法抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样2频率分布直方图(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)21(2019安徽皖南八校联考)某校为了解1000名高一新生的健康状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1100

2、0进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为()A16 B17 C18 D19解析第一组用简单随机抽样抽取的号码为443(181)18.故选C.答案C2(2019全国卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A中位数 B平均数C方差 D极差解析根据中位数特征可知，去掉最高分和最低分后，只有中位数一定不会变化故选A.答案A3(2019黔东南州第一次联考)近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄

3、分组，得到样本频率分布直方图如图所示，其中年龄在区间30,40)内的有2500人，在区间20,30)内的有1200人，则m的值为()A0.013 B0.13 C0.012 D0.12解析由题意，得年龄在区间30,40)内的频率为0.025100.25，则赞成高校招生改革的市民有10000(人)，因为年龄在区间20,30)内的有1200人，所以m0.012.答案C4(2019山东临沂一模)传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的中国诗词大会火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是()A.甲的平均数大于乙的平均数B甲的中位数大于乙的中位数C甲的方差

4、大于乙的方差D甲的平均数等于乙的中位数解析由茎叶图，知：甲(594532382426111214)29，乙(514330342025272812)30，s3021623292(5)2(3)2(18)2(17)2(15)2235.3，s2121320242(10)2(5)2(3)2(2)2(18)2120.9，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，甲的方差大于乙的方差故选C.答案C5(2019湖南郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人

5、数分别为()A240,18 B200,20C240,20 D200,18解析样本容量n(250150400)30%240，抽取的户主对四居室满意的人数为15030%40%18.故选A.答案A6(2019正定中学抽测)从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数为_，中位数为_解析由图可知，平均数1050.11150.31250.251350.21450.15125.0.10.30.40.5，中位数在120130之间，设为x，则0.01100.03100.025(x120)0.5，解得x124.答案125124统计

6、问题应关注的3点(1)分层抽样的关键是确定抽样比例，系统抽样主要是确定分段间隔，应用等差数列计算个体号码数(2)在频率分布直方图中，众数为最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为垂直横轴且平分直方图面积的直线与横轴交点的横坐标，平均数为每个小矩形的面积乘以相应小矩形底边中点的横坐标之积的和(3)计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大考点二回归分析1散点图利用平面直角坐标系中的点表示关于两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示若这些点散布在从左下角到右上角的区域，则称两个变量正

7、相关；若这些点散布在从左上角到右下角的区域，则称两个变量负相关2回归方程x，其中，它主要用来估计和预测取值3相关系数r，它主要用于衡量两个变量之间的线性相关程度当r0时，表示两个变量正相关；当r0时，表示两个变量负相关|r|越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；当|r|接近0时，表明两个变量间几乎不存在线性相关关系【例1】(2019西安二模)中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘

8、探费用，勘探初期数据资料见下表：井号i123456坐标(x，y)(km)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1，y)勘探深度(km)2456810出油量(L)407011090160205(1)16号旧井的位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归直线方程为6.5xa，求a，并估计y的预报值；(2)现准备勘探新井7(1,25)，若通过1、3、5、7号井计算出的，的值(，精确到0.01)与(1)中b，a的值的差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6(1，y)，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井.解题指导(1)解(1)利用前5组数据得到(24568)5，(3

9、040605070)50，6.5xa，a506.5517.5，回归直线方程为6.5x17.5.当x1时，6.517.524，y的预报值为24.(2)利用1、3、5、7号井的数据得4，46.25，又94，2i1y2i1945，6.83，又，46.256.83418.93，又b6.5，a17.5，5%，8%，均不超过10%，可使用位置最接近的已有旧井6(1,24)求回归直线方程的关键(1)正确理解计算，的公式和准确的计算，其中线性回归方程必过样本中心点(，)(2)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预

10、测变量的值(2019成都一模)基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：(1)请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年12月的市场占有率(3)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A，B两款车型，且报废年限各不相同，考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两

11、款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：(xi)217.5，(xi)(yi)35，36.5.参考公式：相关系数r；回归直线方程为x，其中，.解(1)16，(yi)276，r0.96，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系(2)由数据得2，又3.5，1623.59，线性回归方程为2x9.2018年12月的月份代码x7，27923

12、，估计2018年12月的市场占有率为23%.(3)用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列如下：X50005001000P0.10.30.40.2E(X)5000.100.35000.410000.2350(元)；B款单车的利润Y的分布列如下：Y3002007001200P0.150.40.350.1E(Y)3000.152000.47000.3512000.1400(元)以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型考点三独立性检验1列联表列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为22列联表)为：y

13、1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd2.独立性检验K2(其中nabcd为样本容量)(2019辽宁大连二模)为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组从该校高一年级学生中随机抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣(1)试完成下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认为“对游泳有兴趣与性别有关”.有兴趣没兴趣合计男生女生合计(2)已知在被抽取的女生中有6名

14、高一(1)班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率附：P(K2k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2.解(1)由题可得有兴趣没兴趣合计男生501060女生251540合计7525100K25.5566.635，没有99%的把握认为“对游泳有兴趣与性别有关”(2)记事件Ai从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i人对游泳有兴趣，i0,1,2,3，则A2A3从这6名学生中

15、随机抽取的3人中至少有2人对游泳有兴趣，且A2与A3互斥，所求概率PP(A2A3)P(A2)P(A3).独立性检验的方法步骤(1)构造22列联表；(2)计算K2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联考点四正态分布1正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线关于直线x对称，且在x处达到峰值(2)曲线与x轴之间的面积为1.(3)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2正态分布XN(，2)的三个常用数据(1)P(X)0.6827；(2)P(2X2)0.9545；(3)P(3X3)0.9973.【例2】(

16、2019江西南昌模拟)以下是某一年A，B两地的气温曲线与降水量柱状图其中A地的月平均气温u(单位：)与月份x的关系近似为函数ux213x17.25，且A地的月平均降水量y(单位：mm)与月份x的关系近似为函数y200e(x6.5)2.(1)求A地月平均降水量y(单位：mm)与月平均气温u(单位：)的函数关系式，并预测当月平均气温u为23时，该月的平均降水量为多少毫米？(2)若两地的月平均降水量均符合正态分布，分别为Y1N(100,400)，Y2N(105,25)，试根据A，B两地的降水量柱状图判断Y1，Y2所对应的地区，并求B地月平均降水量超过120 mm的概率参考数据：ln2005.3e51

17、48.4e5.1164.0e5.2181.3e5.3200.3e5.4221.4若随机变量X服从正态分布，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.解题指导解(1)由ux213x17.2525(x6.5)2，知u25(x6.5)2.两边同时取对数得lnyln200，当u23时，lny5.2，此时y181.3.当气温u为23时，该月的平均降水量约为181.3 mm.(2)分析A，B两地的降水量柱状图，可知A地的月平均降水量的波动(方差)较大，B地的月平均降水量的波动(方差)较小，Y1对应A地，Y2对应B地由Y2N(105,25)，可知105，5,1203，由P(

18、3120)P(X3)(10.9973)0.001350.135%，即B地月平均降水量超过120 mm的概率约为0.135 %.(1)正态分布的核心是正态密度曲线的对称性，利用对称性，可以由已知区间上的概率求未知区间上的概率(2)如果某个总体服从正态分布，则某个个体在指定区间内的概率就是一个固定值，若干个个体在该区间上出现的情况就是独立重复试验1. (2019南宁、柳州联考)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(1，)，N(2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A甲类水果的平均质量为0.4 kgB甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C甲类水

19、果的平均质量比乙类水果的平均质量小D21.99解析由图象可知甲的正态曲线关于直线x0.4对称，乙的正态曲线关于直线x0.8对称，所以10.4，20.8，故A正确，C正确由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即1.99，所以21.99，故D错误，于是选D.答案D2. (2019成都一模)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入由曲线C(曲线C为正态分布N(2,1)的密度曲线)与直线x0，x1及y0围成的封闭区域(如图中阴影部分所示)内点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.6827，P(2X2)0.9

20、545，P(3X3)0.9973.A2718 B1359 C430 D215解析因为随机变量XN(2,1)，所以正态曲线关于直线x2对称由题意P(0X1)P(0X4)P(1，解得x24，故x的取值范围是25,30)且xN*.专题强化训练(二十七)一、选择题1(2019长春市第一次质量监测)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示，则其中位数和众数分别为()A.95,94 B92,86C99,86 D95,91解析由题中茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故中位数为92，出

21、现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.答案B2(2019福建龙岩质检)某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108,72,72，现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人外出学习，并从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报，则这2人来自不同部门的概率为()A. B. C. D.解析由题意知应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人，2人，2人故所求事件的概率为1.答案D3(2019河南濮阳一模)根据下表中的数据，得到的回归方程为x9，则()x45678y54321A.2 B1 C0 D1解析由题意可得(45678)6，(54321)3，回归方程为x9且回归直线过点(6,3)，369，解得1

22、，故选D.答案D4(2019郑州一中摸底测试)给出下列命题：对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大；若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模拟拟合的精度越高；设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(11)p，则P(1)p，则P(11)12p，所以P(10)，若在(85,115)内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115分的概率为_解析由学生成绩服从正态分布(100，2)(0)，且P(85115)0.125.答案0.125三、解答题10(2019昆

23、明统一测试)为了研究高一阶段男生、女生对物理学科学习的差异性，在高一年级所有学生中随机抽取20名男生和20名女生，计算他们高一上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次物理考试成绩的各自的平均分，并绘制成如下的茎叶图：(1)请根据茎叶图直观判断，男生组与女生组哪组学生的物理成绩更高？并用数据证明你的判断；(2)以样本中40名同学物理成绩的平均分x0为分界点，将各类人数填入如下的列联表.分数性别高于或等于x0低于x0男生女生(3)请根据(2)中的列联表判断，能否有99.9%的把握认为物理学科学习能力与性别有关？附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.0500.0250.0100.0050.00

24、1k03.8415.0246.6357.87910.828解(1)男生组物理成绩比女生组物理成绩高理由如下：由茎叶图可知，男生成绩分布在8090的较多，其他分布关于茎8具有初步对称性；女生成绩分布在7080的较多，其他分布关于茎7具有初步对称性因此男生组成绩比女生组成绩高由茎叶图可知，男生组20人中，有15人(占75%)成绩超过80分，女生组20人中，只有5人(占25%)成绩超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩高由茎叶图可知，男生组成绩的中位数是85.5分，女生组成绩的中位数是73.5分，85.573.5，因此男生组成绩比女生组成绩高用茎叶图数据计算可知，男生组成绩的平均分是84分，女生组成

25、绩的平均分是74.7分，因此男生组成绩比女生组成绩高或者，由茎叶图直观发现，男生组平均分高于80分，女生组平均分低于80分，可以判断男生组成绩高于女生组成绩(以上给出了4种理由，写出任意一种或其他合理理由均可)(2)样本中40名同学物理成绩的平均分x079.35，以此为分界点，将各类人数填入如下的列联表：分类性别高于或等于x0低于x0男生155女生515(3)计算得K2的观测值k01010.828，所以没有99.9%的把握认为物理学科学习能力与性别有关11(2019河南三市联考)某化妆品制造厂每日生产一种面膜x(x1)万袋，每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为y万元，产品价格随着产量变化而有

26、所变化，经过一段时间的产销，得到了x，y的一组统计数据如下表.x12345y512161921(1)请判断x与lnx中，哪个模型更适合刻画x，y之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；(2)根据你的判断及下面的数据和公式，求出y关于x的回归方程，并估计当x8时，日销售额是多少？参考数据：ln20.69，ni4.8，(lni)26.2,5ln112ln216ln319ln421ln586.参考公式：回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.解(1)lnx更适合刻画x，y之间的关系，理由如下x的值每增加1，y的值的增加量分别为7,4,3,2，增加得越来越缓慢，符合对数型函数的增长规

27、律，与直线型函数的均匀增长规律存在较大差异，故lnx更适合刻画x，y之间的关系(2)令zilnxi，14.6，ni4.80.96，(lni)26.2，iyi5ln112ln216ln319ln421ln586，所以10，14.6100.965，所以所求的回归方程为10lnx5.当x8时，10ln8530ln25300.69525.7(万元)所以，当x8时，日销售额大约是25.7万元12(2019武汉调研)为评估M设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm7879818283848586878889909193个数113

28、56193318442121经计算，样本的平均值85，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3X3)0.9973.评判规则：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断M设备的性能等级(2)将直径小于或等于2的零件或直径大于或等于2的零件认定为“次品”，将直径小于或等于3的零件或直径大于或等于3的零件认定为“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2个零件，求“突变品”个数的数学期望解(1)由题知P(X)P(82.8X0.6827，P(2X2)P(80.6X89.4)0.940.9545，P(3X3)P(78.4X91.6)0.980.9973.因为M设备的数据仅满足一个不等式，所以其性能等级为丙(2)由题意可知，样本中“次品”个数为6，“突变品”个数为2，则“突变品”个数的可能值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，所以的分布列为012PE()012.