2020版高考数学培优考前练理科通用版练习：1-4　平面向量 WORD版含解析.docx

1、1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验对方向1.(2018全国6)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A解析 如图,EB=-BE=-12(BA+BD)=12AB-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC.2.(2017全国12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(

2、0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.3.(2015全国7)设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD

3、,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案A解析如图:AD=AB+BD,BC=3CD,AD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB+43AC.4.(2015全国13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12解析由题意知存在常数tR,使a+b=t(a+2b),得=t,1=2t,解之得=12.典题演练提能刷高分1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+b共线,则实数的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析向量m=4a+5b与n=2a+b共线,存

4、在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故选C.2.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量BF=()A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案C解析BF=23BE=23(BC+CE)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C.3.(2019宁夏平罗中学高三期中)已知数列an是正项等差数列,在ABC中,BD=tBC(tR),若AD=a3AB+a5AC,则a3a5的最大值为()A.1B.12C.14D.18答案C解

5、析BD=tBC,故B,C,D三点共线.AD=a3AB+a5AC,a3+a5=1,数列an是正项等差数列,故a30,a50,1=a3+a52a3a5,解得a3a514,故选C.4.(2019山东实验中学等四校高三联考)如图RtABC中,ABC=2,AC=2AB,BAC平分线交ABC的外接圆于点D,设AB=a,AC=b,则向量AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析设圆的半径为r,在RtABC中,ABC=2,AC=2AB,所以BAC=3,ACB=6,BAC平分线交ABC的外接圆于点D,所以ACB=BAD=CAD=6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在RtAB

6、C中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以AD=AB+AO=a+12b.故选C.5.已知在ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,BE=mAB+nAC,则m+n=.答案-12解析如图所示,BE=BD+DE=BD-12AD=BD-12(AB+BD)=12BD-12AB=1234BC-12AB=38BC-12AB=38(AC-AB)-12AB=-78AB+38AC.又BE=mAB+nAC,所以mAB+nAC=-78AB+38AC,所以m+78AB+n-38AC=0.又因为AB与AC不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.在平面向量中有如下

7、定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使OP=(1-t)OQ+tOR.试利用该定理解答下列问题:如图,在ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设AM=xAE+yAF,则x+y=.答案75解析B,M,F三点共线,存在实数t,使得AM=(1-t)AB+tAF,又AB=2AE,AF=13AC,AM=2(1-t)AE+13tAC,又E,M,C三点共线,2(1-t)+13t=1,解得t=35.AM=2(1-t)AE+tAF=45AE+35AF,x=45,y=35,x+y=75.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题

8、体验对方向1.(2019全国3)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,则BC=(1,0).所以ABBC=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.2.(2016全国3)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A解析由题意得cosABC=BABC|BA|BC|=1232+321211=32,所以ABC=30,故选A.3.(2018全国13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1

9、,).若c(2a+b),则=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.4.(2016全国13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.典题演练提能刷高分1.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),则t=()A.0B.12C.-2D.-3答案C解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)

10、=-(2-t),t=-2,故选C.2.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若bc,则实数t=()A.1B.-1C.2D.2答案A解析由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),bc,bc=(-1,1)(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选A.3.已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()A.26B.32C.10D.6答案B解析a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b=(3,3),|c|=9+9=32,故选B.4.已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,

11、则=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.向量BA=(1,2),CABA,且|CA|=25,则BC的坐标为.答案(3,6)或(-1,-2)解析CABA,CA=tBA=(t,2t).又|CA|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.当t=2时,BC=BA+AC=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,BC=BA+AC=(1,2)+(2,4)=(3,6).命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验对方向1.(2018全国4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,

12、则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2018全国8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案D解析易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设M(1,2),N(4,4),所以FM=(0,2),FN=(3,4),所以FMFN=8.3.(2017全国12)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面A

13、BC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点P的坐标为0,32时,PA(PB+PC)取得最小值为-32,故选B.4.(2016天津7)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点

14、,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.118答案B解析设BA=a,BC=b,则DE=12AC=12(b-a),DF=32DE=34(b-a),AF=AD+DF=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故AFBC=-54ab+34b2=-58+34=18,应选B.5.(2017天津13)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60,AB=3

15、,AC=2,ADAE=-4.ABAC=3212=3,23AC+13AB(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23ABAC=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.典题演练提能刷高分1.点B是以线段AC为直径的圆上的一点,其中|AB|=2,则ACAB=()A.1B.2C.3D.4答案D解析由圆的性质知ABC=90,所以cosBAC=BAAC=|BA|AC|,所以ACAB=|AC|AB|cosBAC=|AC|AB|AB|AC|=|AB|2=4,故选D.2.在ABC中,已知|AB+AC|=|AB-AC|,AB=1,AC=3,M,N分别为BC的三等分点,

16、则AMAN=()A.109B.209C.89D.83答案B解析|AB+AC|=|AB-AC|,BAC=90.又M,N分别为BC的三等分点,AMAN=AB+13BCAC+13CB=ABAC+13ABCB+13BCAC+19BCCB=0+13110110+13103310-191010=13+3-109=209.故选B.3.如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,E,F分别为BC,CD的中点,则AEEF=()A.12B.-32C.32D.-12答案D解析在菱形ABCD中边长为2,BAD=60,ABAD=22cos 60=2,又AE=AB+BE=AB+12AD,EF=12BD=12(AD

17、-AB),AEEF=(AB+12AD)12(AD-AB)=1212AD2+12ABAD-AB2=12124+122-4=-12,故选D.4.(2019河北枣强中学高三一模)已知ABC中,|BC|=2,BABC=-2.点P为BC边上的动点,则PC(PA+PB+PC)的最小值为()A.2B.-34C.-2D.-2512答案D解析以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系.可得B(-1,0),C(1,0),设P(a,0),A(x,y),由BABC=-2,可得(x+1,y)(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,y0,则PC(PA+PB+PC)=(1-a,0)(x-a-1-a+1-a,y+0+0)=

18、(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3a-162-2512,当a=16时,PC(PA+PB+PC)的最小值为-2512.故选D.5.在ABC中,C=90,|AB|=6,点P满足|CP|=2,则PAPB的最大值为()A.9B.16C.18D.25答案B解析取AB的中点D,连接CD.设PC与CD的夹角为,则PAPB=(PC+CA)(PC+CB)=PC2+PC(CA+CB)+CACB=PC2+PC(CA+CB)=22+PC2CD=4+2PCCD=4+2|PC|CD|cos =4+223cos =4+12cos ,所以当=00时,PAPB的最大值为16.故选B.6.已知菱

19、形ABCD的一条对角线BD长为2,点E满足AE=12ED,点F为CD的中点,若ADBE=-2,则CDAF=.答案-7解析如图,建立平面直角坐标系,设C(t,0),A(-t,0),B(0,-1),D(0,1),E-23t,13,Ft2,12,AD=(t,1),BE=-23t,43,CD=(-t,1),AF=3t2,12,ADBE=-2,-23t2+43=-2,解得t2=5,CDAF=-32t2+12=-7.命题角度4平面向量数量积的应用高考真题体验对方向1.(2019全国7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.6B.3C.23D.56答案B解析因为(a

20、-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.所以cos=ab|a|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为3,故选B.2.(2019全国13)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.答案23解析a,b为单位向量,|a|=|b|=1.又ab=0,c=2a-5b,|c|2=4|a|2+5|b|2-45ab=9,|c|=3.又ac=2|a|2-5ab=2,cos=ac|a|c|=213=23.3.(2017山东12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.答案33解析e1,e2是互相垂直的单位向量,可

21、设a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=ab|a|b|=3-22+1=12,即3-=2+1,解得=33.典题演练提能刷高分1.如图,在ABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且AP=m+211AB+211BC,则实数m的值为()A.1B.12C.911D.511答案D解析N为线段AC上靠近A的三等分点,AN=13AC.设BP=BN,AP=AB+BP=AB+BN=AB+(AN-AB)=(1-)AB+AN=(1-)AB+3AC.AP=m+211AB+211BC=mAB+211(AB+BC)=mAB+211AC,1-=m,3=211,

22、m=1-611=511.2.已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=()A.2B.23C.4D.12答案A解析由|a-b|=3,即|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9,所以ab=-9-a2-b22=|a|2+|b|2-92=|a|2-82,由向量a在向量b方向上的投影为-2,则ab|b|=|a|2-82=-2,即|a|2=4,所以|a|=2,故选A.3.在ABC中,若AB2=ABAC+BABC+CACB,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形答案D解析在ABC中,AB2=ABAC+BABC+

23、CACB,AB2=ABAC-ABBC+CACB=AB(AC-BC)+CACB,AB2=AB2+CACB,CACB=0,C=90,ABC为直角三角形,故选D.4.已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=53,|a-b|=52,则|a|=.答案563解析由已知有4a2+4ab+b2=75,a2-2ab+b2=50,将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|=563.5.在ABC中,AB=3,BC=2AC=2,满足|BA-tBC|3|AC|的实数t的取值范围是.答案0,32解析ABC中,AB=3,BC=2AC=2,即AC=1.AB2+AC2=BC2,ABC为直角三角形,A=90,B=30.由|BA-tBC|3|AC|得BA2-2tBABCcos+t2BC23AC2,3-2t2332+4t23,整理,得2t2-3t0,解得0t32.实数t的取值范围是0,32.