2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版课时作业24 WORD版含解析.docx

1、课时作业(二十四)第24讲正弦定理和余弦定理的应用时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者()A.北偏东80的方向B.东偏北80的方向C.北偏西80的方向D.西偏北80的方向2.如图K24-1所示,在地平面上有一旗杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,测得其长为20 m,在A处测得P点的仰角为30,在B处测得P点的仰角为45,又测得AOB=30,则旗杆的高h等于图K24-1()A.10 mB.20 mC.103 mD.

2、203 m3.某船以每小时152 km的速度向正东方向行驶,行驶到A处时,测得一灯塔B在A的北偏东60的方向上,行驶4小时后,船到达C处,测得这个灯塔在C的北偏东15的方向上,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.602 kmC.302 kmD.30 km4.2018河南豫南豫北联考 线段的黄金分割点定义:若点P在线段MN上,且满足MP2=NPMN,则称点P为线段MN的黄金分割点.在ABC中,AB=AC,A=36,若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点,利用上述结论,可以求出cos 36=()A.5-14B.5+14C.5-12D.5+125.2018上海徐汇区一模 某船

3、在海平面A处测得灯塔B在北偏东30的方向,与A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海里到达C处,这时灯塔B与船相距海里.(精确到0.1海里)能力提升6.如图K24-2所示,无人机在离地面高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15、山脚C处的俯角为45,已知MCN=60,则山的高度MN为()图K24-2A.300 mB.3003 mC.2003 mD.275 m7.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图K24-3所示,要求ACB=60,BC的长度大于1米,且AC比AB长12米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()图K24-3A.1+32米B.2米C.(1+3)米D.(2

4、+3)米8.从某船上开始看见灯塔A时,灯塔A在船的南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行45 km后,看见灯塔A在船的正西方向,则这时船与灯塔A的距离是()A.152 kmB.30 kmC.15 kmD.153 km9.2018南昌一模 已知台风中心位于城市A的东偏北(为锐角)方向的150公里处,台风中心以v公里/时的速度沿正西方向快速移动,52小时后到达城市A西偏北(为锐角)方向的200公里处,若cos =34cos ,则v=()A.60B.80C.100D.12510.一艘游轮航行到A处时,测得灯塔B在A的北偏东75方向,距离为126海里,灯塔C在A的北偏西30方向,距离为123海里

5、,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时,测得灯塔B在其南偏东60方向,则此时灯塔C位于游轮的() A.正西方向B.南偏西75方向C.南偏西60方向D.南偏西45方向11.在一幢10 m高的房屋顶部测得对面一塔顶的仰角为60,塔基的俯角为30,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为.12.某港口停泊着两艘船,大船以每小时40海里的速度从港口出发,沿北偏东30方向行驶2.5小时后,小船开始以每小时20海里的速度向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向行驶,期间,小船行进方向不变,从大船折向开始到与小船相遇,最少需要小时.13.我国南宋著名数学家秦九

6、韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.14.(10分)如图K24-4所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在A处测得山顶P在北偏东15(BAC=15)的方向,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60的方向,此时测得山顶P的仰角为60,已知山高为23千米.(1)船的航行速度是每小时多少千米?(2)若该船继续航行10分钟到达D处,问此时山顶位于D处的南偏东什

7、么方向?图K24-415.(12分)如图K24-5所示,某公园的三条观光大道AB,BC,AC围成一个直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)若CEF=,0,2,乙、丙之间的距离是甲、乙之间的距离的2倍,且DEF=3,请将甲、乙之间的距离y表示为的函数,并求甲、乙之间的最小距离.图K24-5难点突破16.(13分)如图K24-6所

8、示,某镇有一块三角形空地,记为OAB,其中OA=3 km,OB=33 km, AOB=90.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,记为OMN,其中M,N都在边AB上,且MON=30,挖出的泥土堆放在OAM上形成假山,剩下的OBN开设儿童游乐场.为了安全起见,需在OAN的周围安装防护网.(1)当AM=32 km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地OMN的面积是堆假山用地OAM的面积的3倍,试确定AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使OMN的面积最小?最小面积是多少?图K24-6课时作业(二十四)1.C解析 注

9、意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得C正确.2.B解析 由题意得PAO=30,PBO=45,AO=3h,BO=h,又AB=20 m,在ABO中,由余弦定理得AB2=400=(3h)2+h2-23hhcos 30,解得h=20(m).3.A解析 画出图形如图所示,由题意知,在ABC中,BAC=30,AC=4152=602,B=45.由正弦定理ACsinB=BCsinBAC,得BC=ACsinBACsinB=602sin30sin45=60,此时船与灯塔的距离为60 km.故选A.4.B解析 设AB=AC=2,由黄金分割点的定义可得AD2=CDAC,解得AD=5-1.在ABC

10、中,因为A=36,AB=AC,所以ABC=72.又因为BD为ABC的平分线,所以ABD=CBD=36,所以BD=AD=5-1.在ABD中,由余弦定理得cos A=AD2+AB2-BD22ADAB,即cos 36=(5-1)2+22-(5-1)22(5-1)2=5+14.故选B. 5.4.2解析 设此时灯塔B与船相距m海里,由余弦定理得,m=8.12+62-268.1cos304.2.6.A解析 ADBC,ACB=DAC=45,AC=2AB=2002(m).又MCA=180-60-45=75,MAC=15+45=60,AMC=180-MCA-MAC=45,在AMC中,由正弦定理MCsinMAC=

11、ACsinAMC,得MC=2002sin60sin45=2003(m),MN=MCsinMCN=2003sin 60=300(m).故选A.7.D解析 设BC的长度为x米(x1),AC的长度为y米,则AB的长度为y-12米.在ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,得y-122=y2+x2-2yx12,化简得y(x-1)=x2-14,x1,x-10,y=x2-14x-1=(x-1)+34(x-1)+23+2,当且仅当x-1=34(x-1),即x=1+32时,取等号,y的最小值为2+3.故选D.8.D解析 设船开始的位置为B,船航行45 km后处于C,如图所示,可得D

12、BC=60,ABD=30,BC=45 km,ABC=30,BAC=120.在ABC中,利用正弦定理ACsinABC=BCsinBAC,可得AC=BCsinABCsinBAC=451232=153(km).故选D.9.C解析 如图所示,由余弦定理得52v2=2002+1502+2200150cos(+),由正弦定理得150sin=200sin,即sin =43sin .又cos =34cos ,sin2+cos2=1,sin2+cos2=1,可得sin =35,cos =45,sin =45,cos =35,故cos(+)=1225-1225=0,代入解得v=100.故选C.10.C解析 如图所

13、示,AB=126,AC=123,在ABD中,B=45,由正弦定理有ADsin45=ABsin60=12632=242,所以AD=24.在ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcos 30,因为AC=123,AD=24,所以CD=12,由正弦定理得CDsin30=ACsinCDA,所以sinCDA=32,故CDA=60或CDA=120.因为ADAC,故CDA为锐角,所以CDA=60.故选C.11.40 m解析 如图所示,过房屋顶部C作塔AB的垂线CE,垂足为E,则CD=10,ACE=60,BCE=30,BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD=BC2-CD2=103.A

14、CE=60,AEC=90,AC=2CE=203,AE=AC2-CE2=30,AB=AE+BE=30+10=40,故塔的高度为40 m.12.3.5解析 如图所示,设港口为O,小船行驶1.5小时到达B,此时大船行驶到A,大船折向按AC方向行驶,大船与小船同时到达C点时,用时最少.设从A到C,大船行驶时间为t,则OA=40(2.5+1.5)=160,AC=40t,OC=201.5+20t.由余弦定理得OA2+OC2-2OCOAcos 60=AC2,即12t2+20t-217=0,(2t-7)(6t+31)=0,解得t=3.5,即最少需要3.5小时.13.4062.5解析 设在ABC中,AB=13里

15、=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,由余弦定理知,cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=513,所以sin B=1-cos2B=1213.设ABC外接圆的半径为R,则由正弦定理得,ACsinB=2R,所以R=AC2sinB=750021213=4062.5(米).14.解:(1)在BCP中,由tanPBC=PCBC,得BC=PCtanPBC=2,在ABC中,由正弦定理得BCsinBAC=ABsinBCA,即2sin15=ABsin45,所以AB=2(3+1),故船的航行速度是每小时6(3+1)千米.(2)在BCD中,BD=3+1,BC=2,CBD=60,则

16、由余弦定理得cosCBD=BC2+BD2-CD22BCBD,解得CD=6,由正弦定理CDsinDBC=BCsinCDB,得sinCDB=22,因为0CDB120,所以CDB=45,所以山顶位于D处南偏东45的方向.15.解:(1)依题意得,当乙出发1分钟后,BD=300,BE=100,在ABC中,cos B=BCAB=12,又B0,2,B=3.在BDE中,由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B=3002+1002-230010012=70 000,DE=1007,即此时甲、乙两人相距1007 m.(2)由题意得EF=2DE=2y,CEF=,则BDE=-ABC-DEB=23-3

17、-=.在直角三角形CEF中,CE=EFcosCEF=2ycos ,在BDE中,由正弦定理BEsinBDE=DEsinDBE,得200-2ycossin=ysin60,y=10033cos+sin=503sin+3,02,当=6时,y有最小值503,即甲、乙之间的最小距离为503 m.16.解:(1)在OAB中,OA=3,OB=33,AOB=90,OAB=60.在AOM中,OA=3,AM=32,OAM=60,由余弦定理OM2=OA2+AM2-2OAAMcosOAM,得OM=332,OM2+AM2=OA2,即OMAN,AOM=30,AON=AOM+MON=60,OAN为正三角形,OAN的周长为9,

18、即防护网的总长度为9 km.(2)设AOM=(060),SOMN=3SOAM,12ONOMsin 30=312OAOMsin ,即ON=63sin . 在OAN中,由ONsin60=OAsin180-(+60+30)=3cos,得ON=332cos,从而63sin =332cos,即sin 2=12,由02120,得2=30,=15,即AOM=15.(3)设AOM=(060),由(2)知,ON=332cos,又在AOM中,由OMsin60=OAsin(180-60),得OM=332sin(+60),SOMN=12OMONsin 30=2716sin(+60)cos=27812sin2+32cos2+32=278sin(2+60)+43,当且仅当2+60=90,即=15时,OMN的面积取得最小值,此时,SOMN=27(2-3)4,OMN的最小面积为272-34 km2.