2021-2022学年新教材高中数学 第5章 函数应用测评巩固练习（含解析）北师大版必修第一册.docx

1、第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)的图象与x轴有3个交点,则方程f(x)=0的实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:因为函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以函数f(x)有3个零点,即方程f(x)=0有3个实数解.答案:D2.函数y=x的零点是()A.0B.(0,0)C.(1,0)D.1解析:函数y=x的零点是其图象与x轴交点的横坐标,为0,它是一个实数,而不是点,故选A.答案:A3.函数f(x)=x3-12x-2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.

2、(1,2)C.(2,3)D.(3,-4)解析:因为函数f(x)=x3-12x-2在R上为增函数,f(1)=13-121-2=1-2=-10,所以零点所在的区间为(1,2).答案:B4.函数f(x)的图象如图所示,则能用二分法求出的函数f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析:能用二分法求出的零点,必须满足零点左右两侧的函数值异号,由题图可知,满足条件的零点只有3个.答案:C5.若f(x)是一个一元二次函数,且满足f(2+x)=f(2-x),该函数有两个零点x1,x2,则x1+x2=()A.0B.2C.4D.无法判断解析:由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称

3、.所以x1+x2=4.答案:C6.夏季高山温度从山脚起每升高100 m,降低0.7 ,已知山顶的温度是14.1 ,山脚的温度是26 ,则山的相对高度为()A.1 750 mB.1 730 mC.1 700 mD.1 680 m解析:设从山脚起升高x百米时,温度为y,根据题意得y=26-0.7x,山顶温度是14.1,代入得14.1=26-0.7x,得x=17(百米),山的相对高度是1700m.答案:C7.下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是()x23456789y0.631.011.261.461.631.771.891.99A.一次函数模型B

4、.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型解析:对于A,由于x均匀增加1,而y值不是均匀递增,故不是一次函数模型;对于B,由于该函数是增函数,故不是二次函数模型;对于C,由于指数函数y=ax过点(0,1),故不是指数函数模型,故选D.答案:D8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5 000元;(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括:赡养老人费用,子女教育费用,继续教育费用,大病医疗费用等,其中前两项的扣除标准为:赡养老人费用:每月扣除2 000元,子女教育费用:每个子女每月扣除1 000

5、元,新的个税政策的税率表部分内容如下:级数一级二级三级每月应纳税所得额x元(含税)x3 0003 000x12 00012 000x25 000税率31020现有李某月收入为18 000元,膝下有一名子女在读高三,需赡养老人,除此之外无其他专项附加扣除,则他该月应交纳的个税金额为()A.1 800B.1 000C.790D.560解析:由题意可得李某该月应纳税所得额(含税)=18000-5000-2000-1000=10000(元),所以依据新的个税政策的税率,他该月应交纳的个税金额为30003%+(10000-3000)10%=790(元).答案:C9.某同学求函数f(x)=ln x+2x-

6、6的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:f(2)-1.306 9f(3)1.098 6f(2.5)-0.084f(2.75)0.512f(2.625)0.215f(2.562 5)0.066则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为()A.2.52B.2.625C.2.66D.2.75解析:由表格可知,方程f(x)=lnx+2x-6=0的近似解在区间(2.5,2.5625),(2.5,2.625),(2.5,2.75)内,又|2.5625-2.5|=0.06250,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.

7、4解析:f(x)=x2+bx+c,x0,2,x0,f(0)=c,f(-4)=16-4b+c,f(-2)=4-2b+c,又f(-4)=f(0),f(-2)=-2,16-4b+c=c,4-2b+c=-2,解得b=4,c=2,f(x)=x2+4x+2,x0,2,x0,求方程f(x)=x的解的个数,即求函数f(x)与y=x两图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=x的图象,如图所示.由图可知,直线y=x与曲线y=f(x)有3个交点,关于x的方程f(x)=x有3个解.答案:C12.设f(x)与g(x)是定义在同一区间a,b上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在xa,b上有两个

8、不同的零点,则称f(x)和g(x)在区间a,b上是“关联函数”,a,b称为“关联区间”,若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间0,3上是“关联函数”,则实数m的取值范围是()A.-94,+B.-94,-2C.(-,-2D.-1,0解析:f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间0,3上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在区间0,3上有两个不同的零点,故有h(0)0,h(3)0,h520即4-m0,-2-m0,254-252+4-m0,解得-94m-2.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)

9、13.函数f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零点为.解析:令f(x)=0,得x=3,或x=3,或x=-1.答案:3,3,-114.用一根长为12 m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是.解析:设框架的一边长为xm,则另一边长为(6-x)m.设框架面积为ym2,则y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0x6),所以ymax=9,即能弯成的框架的最大面积是9m2.答案:9 m215.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在区间(-,0)内的零点有2 012个,则f(x)的零点的个数为.解析:因为f(x)为奇函数,且在区间(-,0)内有2012个零点,由奇函

10、数的对称性知,在(0,+)内也有2012个零点,又xR,所以f(0)=0,因此共有4025个零点.答案:4 02516.已知函数f(x)(xR)满足f(2-x)=-f(x),若函数y=1x-1与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则x1+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=.解析:函数f(x)(xR)满足f(2-x)=-f(x),f(x)的图象关于点(1,0)对称,而函数y=1x-1的图象也关于点(1,0)对称,函数y=1x-1与y=f(x)的图象的交点也关于点(1,0)对称,x1+x2+x3+x4=4,y1+y2+y3+y4=0,x1

11、+y1+x2+y2+x3+y3+x4+y4=4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出:(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x3+1.解:(1)因为f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令f(x)=0,可解得x=-18或x=1,所以函数的零点为-18和1.(2)令x2+x+2=0,因为=12-412=-70,f(2)0,f120即m0,4-2+m0,14-12+m0,解得0m14.所以实数m的取值范围是0,14.19.(12分

12、)已知函数f(x)=lgx,x32,lg(3-x),x32.若方程f(x)=k无实数解,求实数k的取值范围.解:当x32时,函数f(x)=lgx是增函数,f(x)lg32,+;当x32时,函数f(x)=lg(3-x)是减函数,f(x)lg32,+.故f(x)lg32,+.要使方程无实数解,则klg32.故实数k的取值范围是-,lg32.20.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间-1,3上恒有一个零点,且只有一个零点?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:若存在实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可,即f(-1)f(3)=(

13、1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0,解得a-15,或a1.检验:a.当f(-1)=0时a=1,所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程f(x)=0在区间-1,3上有两解,不合题意,故a1.b.当f(3)=0时a=-15,此时f(x)=x2-135x-65.令f(x)=0,即x2-135x-65=0.解得x=-25,或x=3.方程f(x)=0在区间-1,3上有两解,不合题意,故a-15.综上所述,a-,-15(1,+).21.(12分)某工艺公司要对某种工艺品深加工.已知每个工艺品进价为20元,每个的加工费为n元,销

14、售单价为x元.根据市场调查,须有n3,6,x26,32,xN,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时,日销售量为1 000个.(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售单价x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间26,32上有且只有一个公共点)解:(1)设m=k10-x=k10x,x26,32,当x=29时m=1000,则k=1032,m=103210x=1032-x,x26,32,y=m(x-20-n)=(x-20-n)1032-x,x26

15、,32,xN.(2)当n=5时,y=(x-25)1032-x=100104=106.整理得x-25=10x-26.函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间26,32上有且只有一个公共点,且当x=26时,等式成立,x=26是方程x-25=10x-26的唯一的根,当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,销售单价为26元.22.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙

16、城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?解:(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=3250-6+1470+2=43.5(万元).(2)由题知,甲城市投资x万元,则乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=32x-6+14(120-x)+2=-14x+32x+26,依题意得x40,120-x40,解得40x80.故f(x)=-14x+32x+26(40x80).令t=x,则t210,45,所以y=-14t2+32t+26=-14(t-62)2+44.当t=62,即x=72时,y取最大值,为44.所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大总收益为44万元.