2020届高三数学4月教学质量测评试题 理答案.pdf

1、理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)华大新高考联盟届高三月教学质量测评理科数学参考答案和评分标准一、选择题【答案】D【命题意图】主要考查复数的概念及相关运算,考查考生的运算求解能力【解析】因为zii,zi,所以zz(i)(i)故选 D【答案】A【命题意图】主要考查指数函数和对数函数的单调性、集合子集的概念、充要条件,考查考生的逻辑推理能力【解析】Ax|x,Bx|xa当a时,Bx|x所以BA当BA 时,即a,并不能得到a故选 A【答案】C【命题意图】主要考查等差数列通项公式及前n 项和的应用,考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力【解析】因为aaa,所以a又a,所以aaaaS(aa)故选 C

2、【答案】D【命题意图】主要考查以数学文化为背景的概率问题,考查考生的化归转化能力、数学建模能力和逻辑推理能力【解析】因为RsinR,所以故选 D【答案】C【命题意图】主要考查对数函数的性质,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力【解析】因为xlg,yln,zlog,所以x 最小又因为ylglge,zlglg,所以yz,所以xyz故选 C【答案】C【命题意图】主要考查程序框图有关知识、二次函数单调性以及古典概型,考查考生的逻辑推理能力和数形结合能力【解析】当xy;xy;xy;xy;xy;x,退出循环,所以 A,又函数f(x)xmx 在,)上是增函数,所以mm函数f(x)xmx 在,)上是增函数的概

3、率为,故选 C【答案】A【命题意图】主要考查函数的性质与图象,考查考生的化归转化能力和数形结合能力,以及逻辑推理、直观想象和数学运算【解析】因为f(x)g(x)excosx,所以f(x)g(x)excos(x),理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)即f(x)g(x)excos(x),所以f(x)g(x)cosxex因为ycosxex,当x时,y,所以 C,D 错误又y(sinxcosx)ex sinxex,所以x为极值点,即 B错误故选 A【答案】C【命题意图】主要考查等比数列有关知识,考查考生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力【解析】设每个实验室的装修费用为x 万元,设备费为an 万元

4、(n,)则 aa,aa,所以 aqaq,aqaq,解得 a,q故aaq依题意x,即x所以总费用为xaaax()x故选 C【答案】B【命题意图】主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线方程等知识,考查考生的化归转化思想、数形结合思想以及数学运算能力【解析】如图所示,设B 点的坐标为(x,y),则|BF|x,所以x,B 点的坐标为(,)所以线段BF 的中点D 的坐标为,设 A(x,y),C(x,y)有yx,yx,且yy所以yy(xx),所以yyxxyy,所以kAC对角线 AC 所在的直线方程为AC:yx,即xy故选 B【答案】C【命题意图】主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的化归与转化能力

5、、数形结合能力,考查逻辑推理与直观想象【解析】f()sincostan因为,所以tantan,所以tan故正确设y|sinx|sinx sinx,kxk,sinx,kxk,kZ显然f(x)是以为周期的周期函数作y|sinx|sinx,x,的图象如图所示由图可知f(x)的值域为cos,cos,即错误由f(x)的函数图象可知,f(x)在,上单调递增又因为f(x)是周期为的函数,所以f(x)在,上单调递增,即正确又因为,所以cos,所以cos理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)f(x)|sinx|sinxcos由图象可知f(x)在,内有四个零点且xx,xx,所以xxxx,所以正确故选 C【答案

6、】D【命题意图】主要考查双曲线的定义及几何性质、平面向量的运算,考查考生的运算求解能力、化归转化能力和数形结合能力【解析】因为FBFA,所以点F,A,B 共线,且|AB|AF|因为AFABAF(AFFB)AFAFFBAF,所以FBAF,所以FBAF设|AF|m,则|AB|m,由双曲线定义得|AF|ma,m|BF|a,|AF|BF|m,所以(ma)(ma)mmmaa(ma)(ma),解得 ma 或ma若 ma 时,|AF|a,|BF|a,因为|AF|BF|,故舍去若 ma 时,|AF|a,|BF|a,|BF|a,|AB|a,cosABF aa在FBF 中,caaaacae,故选 D【答案】A【命

7、题意图】考查空间线线、线面、面面的平行与垂直关系,考查考生的空间想象能力、化归转化能力和直观想象能力【解析】如图,补正方体 ABJKABIH,作平面 MNP 与正方体ABCDABCD 的截面,设 AB,易知 AEAF易证BCBI,BCAB,BIABB,所以BC平面 ABIH,即平面 ABIH 为平面,所以直线GF 为n,直线 HI 为m,又 HIAB,AFG 为直线m 与直线n 所成的角设 AGx,GH y,而AEGHNG,所以xy,xy,解得x 理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)在 RtAGF 中,tanAFGAGAF ,故选 A二、填空题【答案】【命题意图】主要考查二项式定理有关知

8、识,考查考生的运算求解能力【解析】因为TrCrxr xr rCrxr,令r,所以r,T【答案】【命题意图】主要考查平面图形折叠中的线面关系以及球的表面积,考查考生的空间想象能力和转化与划化归能力【解析】沿 AD 折叠后二面角BADC 为,即折叠后BDC,所以DBC 为等边三角形又因为 AB,所以折叠后 ADDBBCCD 设点O 为三棱锥ABCD 外接球的球心,O 为BDC 的外心所以sinDO,所以 DO 又OOAD,所以球心半径RDOOO所以S球 R【答案】【命题意图】主要考查平面向量加、减、数量积的运算,以及三角形内切圆和外接圆有关问题,考查考生的化归与转化能力,逻辑推理和运算求解能力【解

9、析】因为ABC 为直角三角形,所以内切圆O 的半径r,外接圆O 的半径rAB,PMPN(POOM)(POON)POPO(OMON)OMON|PO|又|OO|(),理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)所以|PO|的最大值为 ,所以PMPN的最大值为【答案】ln,ln【命题意图】主要考查函数零点,利用导数分析函数的图象及性质,考查考生化归转化能力、推理运算能力和数形结合能力【解析】因为f(x)axaxlnxlnxlnxax(lnx)lnx(lnx)(lnx)(axlnx),x,所以lnx 或axlnx 由得xe,由得alnxx令g(x)lnxx,则g(x)(lnx)x,所以x e当x,e时,

10、g(x),g(x)单调递增,xe,时,g(x),g(x)单调递减事实上,当x时,g(x),当x时,g(x)由图显然x(,),xe(,),所以x,x,而xxx,所以x,即x,)所以 ag(),ag(),即aln,aln,解得lnaln 三、解答题【命题意图】主要考查解三角形、三角恒等变换、等比中项以及均值不等式的应用,考查考生的转化与化归能力和运算求解能力【解析】()因为b acsinBacac,所以acaccosB acsinBacac,分所以 sinBcosB,即sinB分因为B,所以B,分所以B分()ABC 的面积为,所以acsin,即acsin,所以ac分因为,b,|ac|成等比数列,所

11、以b|ac|,由于ac,所以b|ac|分又bacaccos(ac)ac(ac)分所以b|ac|(ac)|ac|ac|ac|分当且仅当|ac|时,取“”理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)所以 的最小值为 分【命题意图】主要考查空间面面垂直关系,直线与平面所成角的求法,考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力【解析】()连接 AC,AN,因为四边形 ACCA 为菱形,AAC,所以AAC 为等边三角形而点 N 为AC 中点,所以 ANAC又平面 ACCA平面 ABC,分所以 AN平面 ABC,所以 ANBC分而四边形CBBC 为正方形,所以BCCC而CCAA,所以BCAA分又因为

12、AAANA,所以BC平面 AACC分又因为BC平面BCCB,所以平面BBCC平面 ACCA分()设 AC 的中点为点P,以C 点为坐标原点,分别以向量CA,CB,CP为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则有 A(,),B(,),A(,),N(,)分AB(,),AMAB,NA(,),所以NMNAAM,分又NA(,),ABAB(,),所以NBNAAB(,)分设平面BMN 的法向量为n(x,y,z),则 nNM,nNB,所以 xy,xy z取y,则n(,),分BBAA(,)分设 为直线BB 与平面BMN 所成的角,所以sinBBn|BB|n|(,)(,),所以直线BB 与平面

13、BMN 所成角的正弦值为 分【命题意图】主要考查椭圆的标准方程及几何性质,直线与椭圆的位置关系,正弦定理等知识,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力以及数形结合思想和化归与转化思想等【解析】()依题意:ca,ab,abc,分所以 a,b 分椭圆 的方程为xy 分()设C(x,y)(y),则x y,A(,),B(,)理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)直线 AC:yyxx与直线l:x联立得 M,yx直线BC:yyxx与直线l:x联立得 N,yx|MN|yxyx|y|x|x|分设ACB,r,r 分别为ABC 和CMN 外接圆的半径,在ABC 中|AB|sin r,所以r|AB|sin在CMN

14、 中|MN|sin()r,所以r|MN|sin,分SSrr|MN|AB|y(x)(x)y(x)(x)又y(x),所以SS(x)(x)(x)(x)x分令tx,而x,所以tSSt(t)ttt t t t 分所以t,即x时,SS取得最小值,最小值为分【命题意图】主要考查频率分布直方图、古典概型、离散型随机变量分布列、超几何分布等知识,考查考生的数据处理能力、数学建模能力和数学运算能力【解析】()A 类学生有:()人,分B 类学生有:人,分C 类学生有:()人分()ABC,故从 A 类中抽人,B 类中抽人,C 类中抽人分设邀请的三人中是C 类的学生人数为X,则 X 可取,P(X)CC,P(X)CCC,

15、P(X)CCC,P(X)CC 分所以 X 的分布列为XP,所以E(X)分()学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为(C),分当k 时,由韦恩图可知,只参加语文辅导的人数为k,只参加数学辅导的人数为k,语文和数学都参加辅导的人数为k分事件k所包含的基本事件的总数为 CCkCk,理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)所以P(k)CCkCk(C)CkCkC最大分则 P(k)P(k),P(k)P(k),所以 CkCkCkCk,CkCkCkCk(k)(k)(k),(k)(k)(k)k分又因为kN,所以k分【命题意图】主要考查函数的单调性和极值,函数导数的综合应用,考查考生的推理论证

16、能力、运算求解能力、抽象概括能力,考查化归与转化思想和分类讨论思想【解析】()a,f(x)xsinxxcosx,x(,),f(x)cosxxsinx分令T(x)cosxxsinx,T(x)xcosx分当x,时,T(x),T(x)单调递减,当x,时,T(x),T(x)单调递增,T(x)的最小值为T,所以T(x)T,即f(x),分所以f(x)在(,)上单调递增,所以f(x)f(),故f(x)分()f(x)ax(cosx)sinxax sinxcosx令g(x)ax sinxcosx,x,分g(x)a cosx(cosx)分令tcosx,h(t)t(t),t,h(t)(t)(t),所以h(t)在,上

17、单调递增,所以h()h(t)h(),即h(t)分当a,即a时,g(x),g(x)在,)上单调递增,所以g(x)g()满足条件分当a,即a时,g a,显然不满足条件分当a,即a时,若x,g(x)axsinx,令(x)axsinx,x,(x)acosx(acosx),a(,),故存在x,使x(,x)时,(x),即(x)在(,x)上单调递减,所以(x)(),即x(,x),g(x)(x),故不满足条件分综上,a 的取值范围是,分【命题意图】主要考查圆与椭圆的参数方程和椭圆的极坐标方程,考查考生的数形结合能力、化归转化能力和运算求解能力理科数学参考答案和评分标准 第 页(共页)【解析】()曲线C:x(y

18、)cossin,即x(y)分曲线C:cos,即(cossin),所以(xy)(xy),即x y分()设Q(cos,sin),C(,)|CQ|(cos)(sin)sinsinsinsinsinsin分当sin时,|CQ|max ,分所以|PQ|max 即|PQ|的最大值为 分【命题意图】主要考查利用综合法和基本不等式求最值以及证明不等式,考查考生的推理论证能力和运算求解能力【解析】()因为a,b,c 为正数,且abc,所以 abc abcababcc cababccababc当且仅当abc 时取“”,所以 abc 的最小值为分()abc(abbcac)(abbcac)当且仅当abc时等号成立分(abbcac)(abbcabacbcac)(abcabcabc)abc(bac)abc当且仅当abc时等号成立分所以abcabc当且仅当abc时等号成立分