2021-2022学年高中数学北师大版选择性必修第一册训练：第三章　4-3　第1课时　空间中的角 WORD版含解析.docx

1、第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角课后篇巩固提升合格考达标练1.若平面的一个法向量为n1=(1,0,1),平面的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面与所成二面角的平面角等于()A.30B.45C.60D.90答案D解析因为n1n2=(1,0,1)(-3,1,3)=0,所以,即平面与所成二面角的平面角等于90.2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.52266B.-52266C.52222D.-52222答案A解析AB=(2,-2,-

2、1),CD=(-2,-3,-3),而cos􀎮AB,CD􀎯=ABCD|AB|CD|=5322=52266,故直线AB和CD所成角的余弦值为52266.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30B.45C.60D.90答案A解析取AB的中点D,连接CD,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,3,3),故AB1=(-2

3、,0,3),AC1=(-1,3,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),AA1与平面A1B1C1所成角为,根据mAB1=0,mAC1=0,可得m=(3,-3,2),cos=mAA1|m|AA1|=12.sin=|cos|=12.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30,故选A.4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30B.45C.60D.90答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),AD=(0,1,0).取PD的中点E,

4、则E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cos=22,故平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为45.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AD,C1D1的中点,O为侧面BCC1B1的中心,则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为()A.16B.14C.-16D.-14答案A解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),MN=(-1,1,2),OD1=(-1,-

5、2,1).则cos=MNOD1|MN|OD1|=166=16.异面直线MN与OD1所成角的余弦值为16,故选A.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,则直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为.答案49解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是侧棱CC1的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,-1,-2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),设平面A1ED

6、的法向量为n=(x,y,z),则nDA1=2x+4z=0,nDE=y+2z=0,取z=1,得n=(-2,-2,1),设直线AE与平面A1ED所成角为,则sin=|cos|=EAn|EA|n|=499=49.直线AE与平面A1ED所成角的正弦值为49.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为.答案23解析建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2,则D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),则A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则nA1D

7、=0,nA1E=0.则2x-2z=0,2y-z=0,即x=z,z=2y.令y=1,得n=(2,1,2).易知平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),则cos=nm|n|m|=23.设平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为,则cos=|cos|=23.8.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,ABC=BAD=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,-2),AB平面SAD

8、,故平面ASD的一个法向量为AB=(0,2,0),设直线SC与平面ASD所成的角为,则sin=|cos|=|SCAB|SC|AB|=33,故cos=63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为63.(2)易知平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),SC=(2,2,-2),SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由SCn=0,SDn=0,可得x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD所成锐二面角的平面角为,则cos=|mn|m|n|=63,即平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值为63.9.如

9、图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BF=DE,M为棱AE的中点.(1)求证:平面BDM平面EFC;(2)若DE=2AB,求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.(1)证明连接AC,交BD于点N,连接MN,则N为AC的中点,又M为AE的中点,所以MNEC.因为MN平面EFC,EC平面EFC,所以MN平面EFC.因为BF,DE都垂直底面ABCD,所以BFDE.因为BF=DE,所以四边形BDEF为平行四边形,所以BDEF.因为BD平面EFC,EF平面EFC,所以BD平面EFC.又MNBD=N,所以平面BDM平面EFC.(2)解因为DE平面ABCD,

10、四边形ABCD是正方形,所以DA,DC,DE两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=2,则DE=4,从而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A(2,0,0),E(0,0,4),所以DB=(2,2,0),DM=(1,0,2),设平面BDM的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nDM=0,即2x+2y=0,x+2z=0.令x=2,则y=-2,z=-1,从而n=(2,-2,-1)为平面BDM的一个法向量.因为AE=(-2,0,4),设直线AE与平面BDM所成的角为,则sin=|cos|=nAE|n|AE|=4515,所以直线AE与平面BDM所成角的正弦值为451

11、5.等级考提升练10.如图,在三棱锥C-OAB中,OAOB,OC平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为()A.1010B.61025C.3030D.3020答案B解析以O为坐标原点,以OA,OB,OC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz,则D(3,4,0),F(0,4,4),E(0,2,6),DF=(-3,0,4),OE=(0,2,6),cos=DFOE|DF|OE|=245210=61025,异面直线DF与OE所成角的余弦值为61025.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点

12、,F为B1C1上靠近点B1的四等分点,则直线AC1与平面EFD1所成角的正弦值为()A.2613B.22613C.27839D.47839答案D解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),EF=12,0,2,D1F=32,2,0,AC1=(-2,2,2).设平面EFD1的法向量n=(x,y,z),则nEF=0,nD1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4,得n=(4,-3,-1),设直线AC1与平面EFD1所成角为,则sin=|

13、cos|=47839.12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E为侧棱BB1上的一点,且B1EB1B=13,则直线AE与平面A1ED1所成角的余弦值为()A.255B.1010C.31010D.55答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-2,-2).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则A1En=0,D1En=0,即2y-z=0,2x+2y-z=0,取

14、z=2,则n=(0,1,2),cos=nEA|n|EA|=-2-44+41+4=-6210=-31010,设直线AE与平面A1ED1所成角大小为,则sin=|cos|=31010,所以cos=1-910=1010.13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.33D.22答案B解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),所以有

15、A1Dn1=0,A1En1=0,即y-z=0,x-12z=0,令x=1,解得y=2,z=2,n1=(1,2,2).平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=231=23,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为23.14.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AC长为23,A1B1长为3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.6B.4C.3D.2答案B解析以O为坐标原点建立空间直角坐标系如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12,0.所以AA1=(

16、0,0,1),B1C=(0,-1,-1),所以cos=AA1B1C|AA1|B1C|=00+0(-1)+1(-1)102+(-1)2+(-1)2=-22,所以=34,所以异面直线B1C与AA1所成的角为4.15.如图,在三棱锥P-ABC中,ABC为等边三角形,PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为.答案24解析取AC的中点O,连接OP,OB,因为PA=PC,所以ACOP.因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,所以OP平面ABC,所以OPOB.又因为AB=BC,所以ACOB.于是以O为坐标原点,建立如图所

17、示的空间直角坐标系O-xyz,则A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),所以AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),所以cos=ACPD|AC|PD|=-8424=-24.故异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的正弦值为.答案223解析以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0

18、),EF=(-1,0,1),EB=(1,2,0).设平面EFC1B的一个法向量n=(x,y,z),则nEF=-x+z=0,nEB=x+2y=0,取x=2,得n=(2,-1,2).平面BCC1B1的一个法向量m=(0,1,0),设平面EFC1B和平面BCC1B1所成二面角的平面角为,则|cos|=|nm|n|m|=13,所以sin=223.17.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ABC=90,且侧面ABB1A1为菱形.(1)证明:A1B平面AB1C1;(2)若A1AB=60,AB=2,直线AC1与底面ABC所成角的正弦值为55,求三棱锥C-ABA1的体积.(1)证明四边

19、形ABB1A1是菱形,则A1BAB1,平面ABB1A1平面ABC,且AB为交线,BCAB,BC平面ABB1A1,BCA1B.BCB1C1,A1BB1C1.又AB1B1C1=B1,A1B平面AB1C1.(2)解取A1B1的中点M,连接BM,A1AB=60,BMA1B1,即BMAB,从而BM平面ABC,且ABBC,则BM,AB,BC两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=t,则A(2,0,0),A1(1,0,3),C(0,t,0),AA1=(-1,0,3),AC=(-2,t,0),四边形A1ACC1为平行四边形,则AC1=AA1+AC=(-3,t,3),平面ABC的一个法向量为n=(0,

20、0,1),|cos|=|AC1n|AC1|=312+t2=55,解得t=3.由等体积法可知,VC-ABA1=VA1-ABC=1331223=1.新情境创新练18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.(1)证明取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,

21、则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).点N为PC的中点,N(0,0,1),DN=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),DNn=0.又DN平面PAB,DN平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为,则cos=226=66.(3)解存在.设M(x,y,z),且PM=PD,01,x=-,y+1=,z-2=-2,M(-,-1,2-2).设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),由AC=(0,2,0),AM=(-,2-2),可得m=(2-2,0,),由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),|cos|=12+(2-2)2=22,解得=23或=2(舍去).M-23,-13,23,BM=-83,23,23,m=23,0,23.设直线BM与平面MAC所成的角为,则sin=|cos|=-12922322=12,=30.故存在点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45,此时BM与平面MAC所成的角为30.