2021中考数学压轴题专题训练01全等三角形中的辅助线做法及常见题型（附解析）.docx

1、全等三角形中的辅助线做法及常见题型1如图，在中，是的中点，且，点在上，点在上（1）求证：；（2）若，求四边形的面积【详解】（1）证明：，是等腰直角三角形，为中点，平分，在和中，（2），S四边形CEDF，是的中点，S四边形CEDF=12如图，中，点D在边上，且 （1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，求的度数（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长【详解】（1）证明：BDC90ABD，BDC=ABD+A， A90ABDBDCBDA180， BDA180BDC90ABD ABDA90ABDDBAB解：（2）如图1，作CHBE，连接DH，AFDABC，AFDABDBAE，ABCA

2、BDDBC，BAEDBC由（1）知，BADBDA，又EACBADBAE，CADBDBC，CAECAECEBECH，BEEHCHEH即BHCEAEABBD，BDHABEBEDHBECD，CHDHCDDCH为等边三角形ACB 60（3）如图2，过点A作AOCE，垂足为ODHAE，CAECDH60，AECDHC60ACE是等边三角形设ACCEAEx，则BE16x，DHAE，BFEBDH，ABF的周长等于30，即ABBFAFABx=30，解得AB16在RtACO中，AC，AO，BO16在RtABO中，AO2BO2AB2，即解得（舍去）ACAF113已知：在和中，（1）如图，若求证：求证：的度数图（2）

3、如图，若，的大小为_（直接写出结果，不证明）图【详解】解:（1），在和中，；（2）如图，同理可得：，故答案为：，4如图，在中，于点，点是线段上一点，且，连接交于点（1）求证：；（2）若，求的周长【详解】解：（1）证明：ADBC，ADC=ADB=90，在ACD和BED中，ACDBED（SAS），DAC=CBF；（2）ADBC，AD=BD=3，DAC=CBF，DAC+C=CBF+C=90，AFB=90，BAF的周长为：AB+BF+AF=5在ABC中，BAC=90，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作ADE（顶点ADE按逆时针方向排列），且DAE=90，AD=AE，连接CE（1）如图1

4、，若点D在BC边上（点D与BC不重合），求证：ABDACE；求证：（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则ADE的面积为_（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰RtADE，DAE=90，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为_【详解】（1）BAC=DAE，BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE，ABDACE，ABDACE，ABD=ACE，BD=CE，ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90，；（2）过点A作AFDE于点FADAE，点F是DE的中点，DAE90，AFDE，同理可证ABDACE，ADBAEC，DBEC，DB5，BC7，EC5，DC

5、12，DAE90，ADEAED90，ADCCDEAED90，AECAEDCDE90，即CEDCDE90，ECD90，DE2CE2CD225144169，DE0，DE13，AF，ADE的面积为DEAF13；（3）由（1）可知：ABDACE，BDCE，ABDACE，BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90，RtBCE中，BE10，BC6，CE8，BDCE8，CD862，RtDCE中，DE=，ADE是等腰直角三角形，AE=6如图在中，为的中点（1）写出点到的三个顶点、的距离的大小关系（2）如果点、分别在线段、上移动，移动中保持，请判断的形状，并证明你的结论（3）当点、分别在、上运动时，四边形的面

6、积是否发生变化？说明理由【详解】（1）连接OA，中，为的中点，（2）是等腰直角三角形，证明如下：，为的中点，在与中，是等腰直角三角形（3）四边形的面积保持不变，理由如下：由（2）可得： =，的面积保持不变四边形的面积保持不变7如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线交于点（1）填空：点的坐标是（_，_），点的坐标是（_，_）；（2）直线与直线的位置关系_；（3）线段的长为_；（4）在第一象限是否存在点，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标_【详解】（1）令，令，则，解得，； 令，令，则，解得，；（2）直线与直线垂直，理由如下：，在和中， ， ， ，

7、 直线与直线垂直；（3）解得，点M的坐标为， 线段的长为；（4）假设存在点P，使得是等腰直角三角形，若AB为斜边，过点P分别作x轴和y轴的垂线，分别交x轴于点E，y轴于点F，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，设点P的坐标为，则 ，解得此时点P的坐标为；若AB边为直角边，过点P作轴交x轴于点G，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，此时P的坐标为，过点P作轴交y轴于点H，是等腰直角三角形， ， 在和中， ，此时P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或或8如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点将图1中的绕点顺时针旋转，在图2中作出旋转后的OAB(保留作图痕迹，不写作法，不

8、证明)；在图1中，你发现线段的数量关系是_，直线 相交成 角(填“锐”、“钝”或“直”)；将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角， 得到图，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由； 若将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由【详解】解：（1）如图所示（2）等腰直角三角形和叠放在一起，如图1，OC=OD，OA=OBAC=BD，故答案为：；直（3）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，的两个结论成立；理由如下：旋转一个锐角后， 在和中，延长交于E，交于，又将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立理由同上9问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形

9、中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图（1），在中，则探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：为等边三角形；与之间的数量关系为_（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可【详解】（1），为边上的中线，是等边三角形，（2）证明：如图，连接，都是等边三角形，；（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证10如图1，在RtABC

10、中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB，AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD4，AB10，请直接写出PMN面积的最大值【详解】解：（1）点，是，的中点，点，是，的中点，故答案为：，；（2）是等腰直角三角形由旋转知，利用三角形的中位线得，是等腰三角形，同（1）的方法得，同（1）的方法得，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2

11、）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连接，在中，在中，方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，最大时，面积最大，点在的延长线上，11在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出DE、AD、BE的关系为：_；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明【详解】（1）证明：如下图：ACB=90，ACD+BCE=90，而ADMN于D，

12、BEMN于E，ADC=CEB=90，BCE+CBE=90，ACD=CBE在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在ADC和CEB中，ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD易证得ADCCEB，AD=CE，DC=BE，DE=CDCE=BEAD12（1）（方法探索）如图，在等边中，点在内，且，求的长小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解请在此思路提示下，求出PB的长解：把绕着点顺时针旋转得到，连接，请接着写下去：（2）（方法应用）请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题如图，点在等边外，且，若，求度数；如图，在中，是外一点，连接、已知，请直接写出的长【详解】解：（1）如图1中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，由旋转不变性可知，为等边三角形，在中，（2）如图2中，把绕着点顺时针旋转得到，连接，是等边三角形，由旋转不变性可知，为等边三角形，共线，如图3中，过点作，使得，连接，都是等腰直角三角形，过点作于，在中，在中，