2021年中考数学压轴题专项训练14 相似三角形（含解析）.docx

1、相似三角形1已知，如图，ABC中，AB2，BC4，D为BC边上一点，BD1，AD+AC=8（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长【解析】解：（1）BADBCA，理由如下： AB2，BC4，BD1，又B=B，BADBCA；（2）由（1）得：，即， AD+AC=8，解得：，2如图，在中，是上一点，是上一动点，连接，作，射线交线段于.（1）求证：；（2）当是线段中点时，求线段的长；【解析】（1）证明：，；，.（2）（已证）.；为的中点，.设，则；又，解得或3.故长为2或3.3如图，是一个照相机成像的示意图（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点

2、离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？【解析】解：根据物体成像原理知：LMNLBA，（1）像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，解得：LD=7拍摄点距离景物7 m（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，解得：LC=70相机的焦距应调整为70mm4如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若AFGACD（1）求证：MFCMCA；若AB5，AC8，求的值（2）若DMCM2，AD3，请直接写出EF长【

3、解析】（1）证明：AFGACD，FCA+FACFCA+MCF，FACMCF，FMCCMA，MFCMCA解：四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，FGAE，CDAB，AFGFAE，ACDCAB，AFGACD，FAECAB，AEFABC90，AEFABC，FAECAB，FACEAB，FACEAB，（2）解：四边形ABCD是矩形，D90，ADBC3，DMMC2，AD3，CD4，AM，AC5，MFCMCA，FM，AFAMFM，AEFABC，EF5已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E（1）如图1，若ABC=ADC=90，求证：EDEA=ECEB；（2）如图2，若ABC=120，cos

4、ADC=35，CD=5，AB=12，CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积【解析】解：（1）证明：ADC90，EDC90，ABECDE.又AEBCED，EABECD，（2）过点C作CGAD于点D，过点A作AHBC于点H，CD5，cosADC，DG3，CG4.SCED6，ED3，EG6.AB12，ABC120，则BAH30，BH6，AH，由（1）得ECGEAH，EH，S四边形ABCDSAEHSECDSABH6如图，在中，是高，平分，分别与，相交于点，（1）求证：（2）求证：（3）若，求的长【解析】证明：（1）为边上的高，是的平分线，；（2），；（3）如图，作于，由，由7如图，在平面直角坐标系x

5、0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M(1)求直线BC的解析式；(2)求阴影部分的面积【解析】解：（1），所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），又轴，点B坐标为（2，4），设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，得，解得：k=4，b=4，所以直线的表达式为(2) 轴，ABx轴，S阴影8在矩形ABCD的CD边上取一点E，将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处（1）如图1，若BC=2BA，求CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AFFD=10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF

6、，与ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AD时，求的值【解析】解：（1）四边形ABCD是矩形，C=90，将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，BC=BF，FBE=EBC，C=BFE=90，BC=2AB，BF=2AB，AFB=30，四边形ABCD是矩形，AD/BC，AFB=CBF=30，CBE=FBC=15；（2）将BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，BFE=C=90，CE=EF，又矩形ABCD中，A=D=90，AFB+DFE=90，DEF+DFE=90，AFB=DEF，FABEDF，AFDF=ABDE，AFDF=10，AB=5，DE=2，CE=DC-DE

7、=5-2=3，EF=3，DF=，AF=，BC=AD=AF+DF=（3）过点N作NGBF于点G，NF=ADNF=BF，NFG=AFB，NGF=BAF=90，NFGBFA，设AN=x，BN平分ABF，ANAB，NGBF，AN=NG=x，AB=BG=2x，设FG=y，则AF=2y，AB2+AF2=BF2，(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=x，BF=BG+GF=9如图，抛物线y（x+1）（xn）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，ABC的面积为5动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PNx轴交BC于M，交抛物线于N（1）求抛物线的解析式；（2

8、）当MN最大时，求运动的时间；（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？【解析】（1）抛物线y与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点CA（1，0），B（n，0），C（0，），n0ABn+1，OCn由SABCABOC5取正根n4yx2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2）直线BC为设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）MN当m2时，MN最大OP2AP3，即经过3s，MN最大；（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，CDECOB由（2），得BC2，D（2，1）DE2CD2CE5OE3E（0，-3）直线DE为y2x-3

9、由x2+x+22x-3移项整理得：x2+x-50x2+x-100取正根xOPAP即经过秒，点N到点B、点C的距离相等10如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求证ACFABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，；（2）四边形是正方形，同理可得，；（3），即，即正方形的边长为11如图，函数yx2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x22x30的两个实数根

10、，且mn（）求m，n的值以及函数的解析式；（）设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD求证：BCDOBA；（）对于（）中所求的函数yx2+bx+c，（1）当0x3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在txt+1内的最大值为p，最小值为q，若pq3，求t的值【解析】（I）m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn，用因式分解法解方程：（x+1）（x3）0，x11，x23，m1，n3，A（1，0），B（0，3），把（1，0），（0，3）代入得，解得，函数解析式为yx2+2x+3（ II）证明：令yx2+2x+30，即x22x30，解

11、得x11，x23，抛物线yx2+2x+3与x轴的交点为A（1，0），C（3，0），OA1，OC3，对称轴为，顶点D（1，1+2+3），即D（1，4），CD2DB2+CB2，BCD是直角三角形，且DBC90，AOBDBC，在RtAOB和RtDBC中，BCDOBA；（ III）抛物线yx2+2x+3的对称轴为x1，顶点为D（1，4），（1）在0x3范围内，当x1时，y最大值4；当x3时，y最小值0；（2）当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当xt时取得最小值qt2+2t+3，最大值p（t+1）2+2（t+1）+3，令pq（t+1）2+2（t+1）+3（t2+2t+3）3，即2t+13

12、，解得t1当t+11时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p4，令pq4（t2+2t+3）3，即t22t20解得：t11+（舍），t21（舍）；或者pq4（t+1）2+2（t+1）+33，即（不合题意，舍去）；当t1时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当xt时取得最大值pt2+2t+3，最小值q（t+1）2+2（t+1）+3，令pqt2+2t+3（t+1）2+2（t+1）+33，解得t2综上，t1或t212如图，在ABC中，ACB90，ACBC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN使CMN90，连

13、接BN，射线NM交BC于点D（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，求证：BN+CMAM；若AM4，BN，求BD的长；（2）如图2，若AB4，CN2，将CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长【解析】证明：（1）如图，过点C作CFCN，交AN于点F，CMN是等腰直角三角形，CNM45，CMMN，CFCN，ACB90，FCNACB，CFNCNF45，ACFBCN，CFCN，且ACBC，ACFBCN（SAS），AFBN，CFCN，CMMN，MFMNCM，AMAF+FMBN+CMAM4，BN，BN+CMAM，CMMN，ACFBCN，CAFCBN，CAF+ACFCFN45，BCN+MCDMCN45CAFMCD，且CAFCBN，MCDCBNCMBNMCDNBD，CMDBND90MDNDMD+NDMNND在RtDNB中，BD（2）若BDH90，如图，此时点M与点D重合，CMN是等腰直角三角形，CN2CMMNCD，若BHD90，如图，BHD90，B45，BDH45CDN45NCDCN2