2024 届广东省四校高三第一次联考 数学答案.pdf

1、参考答案：1D【解析】由题意，2ln(1)ln10yx，故,0M ，故(0,)(1,1)(1,)RMN 2A【解析】由复数11i z，可得11 i1 i2z，对应的点为 1 1,2 2，在第一象限.故选：A.3A【分析】先由不等式恒成立求出 m 的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】由210 xmx 在1,x 上恒成立，得1mxx在1,x 上恒成立，令1()f xxx，由对勾函数的性质可知()f x 在1,x 上单调递增，所以()(1)2f xf，所以2m，所以“210 xmx 在1,x 上恒成立”的充要条件为2m，所以“1m ”是“210 xmx 在1,x 上恒成立”的

2、充分不必要条件，故选：A4C【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积及模的坐标运算求解即可.【详解】由题意CACB，90C ，112ABCSCB CA，所以2CACB，如图，以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)CAB，所以(2,2)AB ，(2,0)AC ，(0,2)BC，所以(2)00(2)0AC BC ，(2)(2)202AB AC ，(2)02(2)2AB BC ，2cos222ABB，2BC，学科网（北京）股份有限公司所以AcosB BBC，所以选项 ABD 正确，C 错误.故选：C5.B【解析】4 名记者到甲、乙、

3、丙 3 个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有C24A33 36 种不同情况，记者 A 被安排到甲组有 A32A23 C312132 12 种，所求概率为 P6 3，故选:B6.B【解析】记双曲线 C 的右焦点为 F，P 为第二象限上的点，连接 PF，PF，QF，QF，根据双曲线的性质和直线 l 的对称性知，四边形 PFQF 为平行四边形.因为 PQ FO2，所以四边形 PFQF 为矩形，而直线 l 的斜率为 3，所以 PF c，PF3c，又 PF|PF|2a，所以23c3c c 2a，则e a 3 11故选：B7.C【解析】根据题意，可得 AD AE,AD AF,AE AF，且 AE

4、 1,AF 1,AD 2，所以三棱锥 D AEF 可补成一个长方体，则三棱锥 D AEF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，12 12 22设长方体的外接球的半径为 R，可得2R66，所以 R2，6所以外接球的表面积为 S 4R2 42()2 6.故选：C.8.A【解析】=2 sin +3+1 =+3=2+3sin(+)，其中满足=3.又由任意的1，2均有(1)(2)成立即(1)+(1)4 3成立可知()最大值为 2 3.学科网（北京）股份有限公司2+3=2 3，又 0，=3，=2sin(+6)，又 0 知6 +6 +6，又()0,在 上存在唯一实数0使 0=3即sin 0+6=12，76

5、 +6116，1 53.选 A.9.【答案】ACD【详解】对选项 A：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；13，错误对选项 B：E(x)np 30，D(x)np1 p 20，解得 p；1对选项 C：根据正态分布的对称性知，P(0)12，P(1)p，则 P(1 0)P(0 1)2 p，正确；对选项 D：X B(10,0.8)，故 p X n C1n0 0.8n 10.810n，p X n p X n1p X n p X n1，即1011111010101191010C0.80.2C0.80.2C0.80.2C0.80.2nnnnnnnnnnnn，解得 39445 n5，故

6、n 8，D 正确.故选：ACD10.【答案】BC【解析】对于 A，11annn1恒成立，存在正数 M 1，使得 an M 恒成立，数列an是有界的，A 错误；111222nnn an sin n 对于 B，1 sin n 1，211112222nn1Sn a1 a2 an1，211112222nn 1Sn a1 a2 an 1，所以存在正数 M 1，使得 M 恒成立，则数列SSnn 是有界的，B 正确；对于 C，当 n 为偶数时，Sn 0；当 n 为奇数时，Sn 1；Sn 1，存在正数 M 1，使得 Sn M 恒成立，数列Sn是有界的，C 正确；1411n2对于 D，n2 42n42n 1 4

7、 2n 1121n，学科网（北京）股份有限公司113352nSn 2n 1 22n12 312 n112 2n 41 1 1 1 1 2n 2n8 2n 4n 21 2n11n 2n21 21；13,y x 2x21 在0,上单调递增，n 2n21，不存在正数 M，使得 M 恒成立，数列SSnn是无界的，D 错误.故选：BC.11.【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为 2，=2(0 2)，则(,2,2)，(2,1,0).1=(2,2,2)，1 1=2 0，故1与1不垂直，故错误.由=1知 2+22+22=(2)2+12+22 =14 0,2，故正确.11=11=

8、13 2 11=13 2 12 2 2=43，为定值.故正确.又1=(2,1,0)，1=,2,2，设平面1的法向量1=(,)，由 1 11=01=02+=0+2+2=0，令=2 则=4，=4 ，1=(2,4,4 )，又平面11的法向量2=(0,0,1)，|2=422+4 2+4 2=1201+()42，1,2|66，23.又 0 2，4 (4 )2 16，|故错误.（几何法）记棱11，1，1中点分别为，易知1 平面，则1 ，若1 平面1，则1 1，所以1 平面1，矛盾，故1不垂直于平面1.故错误.连接，1，易知 ，1，设正方体棱长为 2，知=5，1=2 2，记=(0 2)，(2 )2+则=2+

9、5，1=8，由 2+5=(2 )2+8，学科网（北京）股份有限公司得=74 0,2.故正确.11=11=13 2 11=13 2 12 2 2=43，为定值.故正确.过点作 11于点，易知 1，过点作 1于点，知1 平面，所以 1，则二面角 1 1的平面角为，现在 中求解.设正方体棱长为 2，=，则=2+4，=2+4，只需求取值范围即可:记=(0 2)，则1=，分析易知在1时取到最大值，此时=11，在1时取到最小值，此时=12，又1 111=111即11=2 25=455，1211=11即12=2 15=255，5所以2 5 455即45 2 156，=2+41=42+4 66,23.故错误.

10、12.【解析】法 1：=11=22=22，又 =(+1)，知 在(,1)上递减，在(1,+)上递增，又当 0 时，0 时，0，()最小值=1=1，由图可知：当 0时，=有唯一解，故1=2，且1 0，12=22=，故正确；从而12=(0)，设=，则 1=2，令 =0 =，易知 在(0,上单调递增，在,+)上单调递减，=1，12 1，12，故正确；=+1=0 =1，=1，易知 在(0,1)上递减，在(1,+)上递增，=1=1，存在=1，使 1=1=0，故错误；令 =()，令 =，则 =1，易知 在(0,+)上递增，又12=2 0，存在0 (12,1)，使 0=0，在(0,0)上递减，在(0,+)上

11、递增（其中0满足0=10，即0=0）.0=0 0=0+10 2，=2，2，故正确.故选.x学科网（北京）股份有限公司法 2：对于选项可以采用如下方法，由11=，22=得1=1，2=2，故1，2分别为函数=，=与=(0)的两个交2=2=1，从而12=，1=2，12=，以点的横坐标，由对称性可知点坐标为(2,1)，下同解法 1.13.6【详解】二项式()6的展开式通项公式为+1=66()，6，当 r=5 时，6=5665()5=65，所以所求系数为6.故答案为：614.10【解析】=+1 4，=sin +1 4=1 4，f(x)f(x)8，又 f(3)2，则 f 3 8 2 10，故答案为：10

12、115.3根据偏导数的定义，在求对 x 偏导数时，f(x,y)中 y 可作为常数，即函数可看作是 x 的一元函数求导，同理在求对 y 偏导数时，f(x,y)中 x 可作为常数，即函数可看作是 y 的一元函数求导，所以 fx(x,y)2x 2y，f y(x,y)2x 3y 2，11fx(x0,y0)f y(x0,y0)2x0 2y0 2x0 3y02 3y02 2y0 3(y0 3)2 13，最小值是 3.16.【解析】易知的方程为=2(2)，从而直线过定点(0,2)，从而在直线上的射影的轨迹 3 2=1，当与 相切时，斜率分别为 3，3，由图可知 ,3就是：2+)3,+.17【详解】解：（1）

13、设等差数列an的公差为d，则 a2 a1 d，a3 a1 2d，1 分学科网（北京）股份有限公司133dada3a由题意得 a111 2d 8，解得12ad 3或1a3d4，3分所以由等差数列通项公式可得 an 2 3(n 1)3n 5 或 an 4 3(n 1)3n 7 故 an 3n 5或 an 3n 7；5 分（2）当 an 3n 5时，a2,a3,a1分别为 1，4，2，不成等比数列；6 分当 an 3n 7 时，a2,a3,a1分别为 1，2，4 成等比数列，满足条件故371,237,3nnannn3n 7，7分记数列ann(32n 11)的前 n项和为 Sn，Sn.8 分a1a2T

14、20a20 a1 a2 a3 a1 0 S10 2S2 105.10 分18【详解】（1）2a sin B 3b，由正弦定理，sinsincBinCabAs3sin B cos B，1 分于是 3sin Bsin A cos Bsin A sin B sinC sin B sin(A B)，2 分，即3sin Bsin A cos Bsin A sin B sin Acos B sin Bcos A，得 3sin Bsin A sin B sin Bcos A，3 分由 B(0,)，则sin B 0，4 分得到 3sin A 1 cos A，16根据辅助角公式可得，sin2A 566,6，结合

15、 A0,A，故 A66，可得A 36 分2122cbb2c a2（2）法一：在 ABC 中，由余弦定理得：cosA，得b2 c2 a2 bc，7 分又因为 BCDD，所以 BD DCa 2，且ADB ADC ，即cosADBcosADC 0，8 分1ADB 和ADC 中，由余弦定理得b2 c2 8 2 a2，10 分16联立消去 a2 得b2 c2 16 bc 2bc bc3.11 分学科网（北京）股份有限公司4 3（当且仅b c3时等号成立），14 34所以 ABC 的面积 S33 bc2bcsinA.所以 ABC 面积最大值为 4 3.123分法二：延长至，使=，连，则=120.=12 s

16、in120=34，8 分在 中，2+2 2 sin=2即2+2+2+=3，136，当且仅当=时“=”成立，10 分 =34 34 163=433，当且仅当=时，的面积最大值为 4 3.123分19【详解】（1）取 PC 中点 M，连接 FM,BM.1在PCD 中，M,F 分别为 PC,PD 的中点，所以 MF/DC,MF 2 DC.1在菱形 ABCD中，因为 AB/DC,BE 2 DC，所以 BE/MF,BE MF.所以四边形 BEMF 为平行四边形，所以 EF/BM.又因为 EF 平面 PBC,BM 平面 PBC，所以 EF/平面 PBC.（判定定理 3 条，证明线线平行 2 分，其余两条

17、1 分）4 分（2）因为 PD 平面 ABCD,DB,DC,DE 平面 ABCD，所以 PD DB,PD DC,PD DE.连接 BD，因为 PB2 PD2 BD2,PC 2 PD2 DC 2，且 PB PC，所以 BD DC，在菱形 ABCD中，AB BD AD，即ADB 为正三角形.又因为 E 为 AB 中点，所以 DE DC，6 分以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz.学科网（北京）股份有限公司又因为 ABDC,DE AB.3，所以 DE 3因为ADB 为正三角形且 AD 2.设 F 0,0,t(t 0),E 3,0,0,C0,2 3,0，7 分则 EF 3,0,t,

18、E 3,2C3,0，ur根据条件，可得平面 FCD 的法向量为 n1 1,0,0.8 分uur设平面 EFC 的法向量为 n2 x,y,z，0n n2 EC 02 E则 F，所以3032x3txz y 0，取 x 2t，则 y 3t,z 6，所以 n2 2t,3t,6，10 分由题意，二面角 E FC D 的大小为45，所以12122224ntn n3t2 t2 36 ncosn1,n2，解得t 6（舍负）.11 分因为 F 是 PD 的中点，所以 PD 的长为 12.12 分经检验符合题意.11132220.【解析】（1）得 2 分即回答 1 题正确或者回答 2 题都错误，所以 p22 4，

19、1 分得 3 分即回答 2 题 1 题正确，1 题错误或者回答 3 题都错误，11111522222所以 p3 C821；3 分（2）方法 1：由题意可知，Xn的所有可能取值为 n,n 1,n 2,n k,2n.4 分111222knnkp(X n n k)Cnk Cnk 10 k n,n N*5分故 Xn的分布列如下学科网（北京）股份有限公司Xnnn 1n k2nP12nCn0 12n1 C n12nCnk 12nCnn 11112222nnnn所以 E X n nCn0 1 n 1Cn n k Cnk 2nCnn 8 分12n C nnCn0 Cn91 2Cn2 kCnk nCnn1 Cn

20、k Cnn分1!1)!nk)!k)n!又由 kCnk k k!(nn n (k (nCnk11 10分Cn0 Cn1 Cnk Cnn 2n，Cn01 C1n1 Cnk1 Cnn11 2n1 11 分1113222nnnE(X n)n2n n2n1 n2n nCn01 C n1 Cnn1112 分方法 2：设回答n次，其中正确回答次数为，由于正确回答每题的概率都为12，且每次回答问题是相互独12)，5立的，故 B(n,分又由 X n 2 (n)n 7 分从而 Xn的分布列及数学期望分别如下111222knnkP(X n n k)P(k)Cnk Cnk 10 k n,n N*10分13.22nE(

21、X n)E(n)n E()n n12分21.【解析】（1）易知=2 12=2 2 =2=2 5，=5，故椭圆的方程为92+25=1.4 分（2）法 1：设的方程为=2+，1,12,2，由=2+29+2552+=1,9 2+20 25=0，5 分 1+2=2052+9，1 2=2552+9，1+2 1 2=45，6 分学科网（北京）股份有限公司设(92,)，则2=25，1+3=1521+2522，8 分2 1+3=2525 10 1+2+4 21 2 2 10 2+51+2+41 225 10=5 205 2+94+2 2552+92+10 5 2052+9+4 2552+952+2=5 59+

22、4252+109+4251=5 2=2.12 分法 2：设的方程为=2+，1,1,2,2，由=2+29+2552+=1,9 2+20 25=0，5 分 1+2=2052+9，1 2=2552+9，6 分1+2 1 2=45，即1+2=45 1 2，7 分设(92,)，则 11+3=52 1 2+52 25=+521+2+21 2254 52 1+2+21 25=5+2 45 1 2+21 2254 52 45 1 2+21 25=4521 225421 2=45=2 2，11 分21+3=12.12 分22.【解析】（1）依题意得，f(0)1 a，此时 f(x)sin 2 x e x x，f(

23、x)sin 2x e x 1，1 分则切线斜率为 f(0)2，2 分故切线方程：y 1 2(x 0)，即 y 2x 13 分（2）时=1，=2 ，则 =2 1，=2 1 0，4 分学科网（北京）股份有限公司 0在,2 上单调递减，5 分又 0=1，2=1 2 2，1 值域为2 2,1.6 分（3）=+12 2 12=(0 0 ；0 .,减区间为,+，增区间为，7分 =1+.当=1 时，1+=0，()0，()在(,+)上有且仅有一个零点；8 分当 0 1 时，令 =1+(0 0，在(0,1)上单调递增，1=0，9 分又 0=0，2在(,)上有一个零点，又=1+2 ，11 分令 =1 +2(0 1)，则=1 2 1=0，2 0，在(,2)上有一个零点.12 分综上所述，=1 时，()有一个零点，0 1 时，()有 2 个零点.注：若用无穷远代替 x 2ln a，该 2 分不给学科网（北京）股份有限公司