2021年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.docx

1、不同函数增长的差异A级基础巩固1.下列函数中函数值随x的增大而增大,且增长速度越来越快的是()A.y=1100exB.y=100ln xC.y=x100D.y=100x答案:A2.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点答案:D3.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.以下四种说法:前三年产量增长的速度越来越快;前三年产量增长的速度越来越慢;第三年后这种产品停止生产;第三年后产量保持不变.其中正确说法的序号是.4.一个居民小区收

2、取冬季供暖费,住户可以从以下两种方案中任选其一:(1)按照使用面积缴纳,每平方米25元;(2)按照建筑面积缴纳,每平方米20元.李华家的住房使用面积是90 m2,如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费较少,那么他家的建筑面积最多不超过112.5m2.5.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(单位:m)与生长时间t(单位:年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个比较合适?并预测第8年的松树高度.t/年123456h/m0.611.31.51.61.7解:据表中数据作出图象,如图所示.由图可以看出用一次函数模型不合适,选用对数型函数比较合

3、适.将(2,1)代入h=loga (t+1),得1=loga3,解得a=3,即h=log3 (t+1).当t=8时,h=log3(8+1)=2,故可预测第8年的松树高度为2 m.B级能力提升6.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标,特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为x万元(4x10)时,奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过2万元,同时不超过销售利润的12,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg 20.3,lg 30.48,lg 50.7)()A.y=0.4xB.y=lgx+1C.y=x12D.y=1.125x

4、解析:由题意,知符合公司要求的模型只需满足:当x4,10时,函数为增函数;函数的最大值不超过2;y12x.选项A中,y=0.4x满足,但当x5时,y2,不满足;选项B中,y=lgx+1满足,当x10时,y取得最大值2,作出函数y=lgx+1和函数y=12x的图象(图略),可知该函数满足,故B项满足公司要求;选项C中,y=x12满足,但当x4时,y2,不满足;选项D中,y=1.125x满足,但当xlog982时y2,不满足.故选B.答案:B7.某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t0,a0,且a1)的图象如图所示.有以下说法:第4

5、个月时,剩留量就会低于15;每月减少的有害物质的量都相等;当剩留量为12,14,18时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确说法的序号是.解析:由于函数的图象经过点(2,49),故函数的解析式为y=(23)t.当t=4时,y=168115,故正确;当t=1时,y=23,相比开始减少了13,当t=2时,y=49,相比上月减少了29,故每月减少的有害物质的量不相等,故不正确;分别令y=12,14,18,代入y=(23)t,解得t1=log2312,t2=log2314,t3=log2318,所以t1+t2=t3,故正确.8.有甲,乙两家健身中心,两家设备和服务都相当

6、,但收费方式不同.甲中心每小时5元;乙中心按月计算,一个月中30 h 以内(含30 h)90元,超过30 h的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动,其活动时间不少于15 h,也不超过40 h.(1)设在甲健身中心活动x h的收费为f(x),在乙健身中心活动x h的收费为g(x),试求f(x)和g(x);(2)选择哪家健身中心比较合算?为什么?解:(1)f(x)=5x,15x40,g(x)=90,15x30,30+2x,30x40.(2)当5x=90时,x=18,即当15x18时,f(x)g(x);当x=18时,f(x)=g(x).当18g(x)；所以当15x18时,选甲

7、健身中心比较合算;当x=18时,两家健身中心一样合算;当180)的增长速度大于对数函数y=logax(a1)的增长速度B.对任意x0,kxlogax(k0,a1)C.对任意x0,axlogaxD.当a1,k0时,一定存在x0,当xx0时,总有axkxlogax解析:易知选项A,D正确,对于选项B,可能存在x0,使得kx0logax0,故选项B错误,同理,选项C错误.答案:AD10.多空题生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.A B C D 解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与图对应;B容器由下到上,先变粗,再变细,水的高度变化为快慢快,应与图对应;C,D容器上下一样粗的,水的高度的变化图象都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水的高度的变化速度快的为C容器,与图对应,变化速度慢的为D容器,与图对应.