44、三角形“垂心”定理的7种证法.pdf

1、-1-BACDFE图（2）BCAFEDCBA图（1）三角形“垂心”定理的 7 种证法三角形“垂心”定理的证法1.1 定理：三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）.已知，如图（1）ABC中,AD,BE,CF分别是边 BC,CA,AB 上的高.求证:AD,BE,CF 相交于一点1.2 预备定理:1.塞瓦(Ceva)定理:设 D、E、F 分别是 ABC三边 BC、CA、AB上的点,若1EACEDCBDFBAF,则 AD,BE,CF 交于一点.2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做三角形的外心.3.三角形“内心”定理:三角

2、形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三角形的内心.1.3 定理的证法1.3.1 证法 1如图（1），由已知可得，CAF BAEABDABACAEAF,CBFCBABBFBD，ACDBCE.ACBCCDCE 三式相乘得：.1.1AECECDBDBFAFACBCCBABABACCDCEBFBDAEAF即由塞瓦定理可得 AD，BE，CF 相交于一点.1.3.2 证法 2如图（2）分别过A、B、C 做它们所在高的垂线，使之相交成CBA.则/,/CBBCBAABCBABABCB为平行四边形四边形-2-3142FEB图（3）DCAH123ECB图（4）FDA同理，,CBCACAABCABA为平

3、行四边形四边形可见，CF 为边BA的中垂线。同理可得，BE 为边 AC的中垂线，AD 为边CB的中垂线.CFBEAD,为CBA三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、BE、CF 相交于一点.1.3.3 证法 3如图（3）连结 DE，EF，FD，则 A、B、D、E 四点共圆，.21在ABERt和ACFRt中，易知32，.31又 A、F、D、C 四点共圆，43，41.可见，AD 平分EDF.同理可得，BE平分DEF，CF 平分EFD.在 DEF中，由“内心”定理可得，AD，BE，CF 相交于一点.1.3.4 证法 4如图（4）设 AB 边上的高 CF 与 BC 边上的高 AD 相交于 H，连结

4、BH 并延长交AC 于 E.连结 DF，因 A、F、D、C 四点共圆，21又 B、D、H、F 四点共圆，32，31在BAE和中 CAF中，可知090AFCAEB，ACBE，BE 为边 AC 上的高.由此可见，高 AD、BE、CF相交于一点.-3-54321FEDCBA图（5）H1.3.5 证法 5如图（5）设边 BC，AC 上的高 AD，BE 相交于 H.连结 DE，作ABHF 于 F。连结 CH，则 A、B、D、E 四点共圆，21又1 与3 互余，2 与4 互余.43又 C、E、H、D 四点共圆，54，53。又01805BHC，01803BHC，C、H、F 三点共线。即 AB 边上的高 CF

5、 经过 H 点。因而三条高 AD、BE、CF 相交于一点.1.3.6 证法 6如图（6）设 BC 边上的高 AD 与 AB 边上的高 CF 相交于 H，连结 BH 并延长交AC 于 E.建立如图所示的直角坐标系，并设 A、B、C 三点的坐标分别为：A（0，a），B（b,0），C（c,0）,则xyEB(b,0)A(0,a)图（6）FD(0,0)C(c,0)H-4-ACBEcaaccacaacbabcabcHHabcyxcxabycxyCFabABCFbabaKKKKKKKACBHACBHCFCFAB1)(.00.00.0.,0).()(0,.00又，坐标为点得令即所在直线方程即 BE 为 AC

6、边上的高。可见高 AD、BE、CF 相交于一点.1.3.7 证法 7如图（7），设边 BC 上的高 AD 与 AB 边上的高 CF 相交于 H，连结 BH 并延长交AC 于 E。cbaHE图（7）FDBCA设aHA，bHB，cHC 则abAB。0HCABABCF即0,.,HABCBCADbcBCcacbcab，且又，即0abcACacacbbacbbaca,0，0ACHB可见，ACBE，即 BE 是 AC 边上的高.ABC三边上的高 AD、BE、CF 相交于一点.上述 7 种证法中，其中证法 2 是由高斯最早发现的，所以此证法又叫做高斯“外心”证法。证法 3 是由杨乐（我国数学家）最早（读初中时）发现的，所以此证法又叫做杨乐“内心”证法。其余证法是由后人所创.